Cicatriz cuántica

Fenómeno en sistemas cuánticos

Cicatriz de salto cuántico inducida por perturbación en un pozo cuántico desordenado con un campo magnético externo. ^[1]

En mecánica cuántica , la cicatrización cuántica es un fenómeno en el que los estados propios de un sistema cuántico clásicamente caótico tienen una densidad de probabilidad mejorada alrededor de las trayectorias de órbitas periódicas clásicas inestables. ^{[2] [3]} La inestabilidad de la órbita periódica es un punto decisivo que diferencia las cicatrices cuánticas de la observación más trivial de que la densidad de probabilidad aumenta en la vecindad de órbitas periódicas estables. Esta última puede entenderse como un fenómeno puramente clásico, una manifestación del principio de correspondencia de Bohr , mientras que en la primera, la interferencia cuántica es esencial. Como tal, la cicatrización es a la vez un ejemplo visual de correspondencia cuántico-clásica y, simultáneamente, un ejemplo de una supresión cuántica (local) del caos.

Un sistema clásicamente caótico también es ergódico y, por lo tanto, (casi) todas sus trayectorias eventualmente exploran de manera uniforme todo el espacio de fase accesible. Por lo tanto, sería natural esperar que los estados propios de la contraparte cuántica llenaran el espacio de fase cuántico de manera uniforme hasta fluctuaciones aleatorias en el límite semiclásico. Sin embargo, las cicatrices son una corrección significativa a esta suposición. Por lo tanto, las cicatrices pueden considerarse como una contraparte de estado propio de cómo las órbitas periódicas cortas proporcionan correcciones a las estadísticas espectrales universales de la teoría de matrices aleatorias . Existen teoremas matemáticos rigurosos sobre la naturaleza cuántica de la ergodicidad, ^{[4] [5] [6]} que prueban que el valor esperado de un operador converge en el límite semiclásico al promedio clásico microcanónico correspondiente. No obstante, los teoremas de ergodicidad cuántica no excluyen la cicatrización si el volumen del espacio de fase cuántico de las cicatrices desaparece gradualmente en el límite semiclásico.

En el lado clásico, no existe un análogo directo de las cicatrices. En el lado cuántico, pueden interpretarse como una analogía de los estados propios de cómo las órbitas periódicas cortas corrigen las estadísticas de valores propios de la teoría de matrices aleatorias universales. Las cicatrices corresponden a estados no ergódicos que están permitidos por los teoremas de ergodicidad cuántica. En particular, los estados con cicatrices proporcionan un contraejemplo visual sorprendente a la suposición de que los estados propios de un sistema clásicamente caótico no tendrían estructura. Además de las cicatrices cuánticas convencionales, el campo de las cicatrices cuánticas ha experimentado su período de renacimiento, desencadenado por los descubrimientos de las cicatrices inducidas por perturbaciones y las cicatrices de muchos cuerpos (véase más adelante).

Teoría de la cicatriz

Estados propios con cicatrices típicos del estadio (Bunimovich). La figura muestra la densidad de probabilidad para tres estados propios diferentes. Las cicatrices, que se refieren a las regiones de densidad de probabilidad concentrada, son generadas por órbitas periódicas (inestables), dos de las cuales se ilustran.

La existencia de estados marcados es bastante inesperada si se tiene en cuenta la fórmula de traza de Gutzwiller ^{[7] [8],} que relaciona la densidad mecánica cuántica de estados con las órbitas periódicas en el sistema clásico correspondiente. Según la fórmula de traza, un espectro cuántico no es el resultado de una traza sobre todas las posiciones, sino que está determinado únicamente por una traza sobre todas las órbitas periódicas. Además, cada órbita periódica contribuye a un valor propio, aunque no de forma exactamente igual. Es aún más improbable que una órbita periódica concreta destaque por su contribución a un estado propio concreto en un sistema totalmente caótico, ya que las órbitas periódicas en conjunto ocupan una parte de volumen cero del volumen total del espacio de fases. Por tanto, nada parece implicar que una órbita periódica concreta para un valor propio determinado pueda tener un papel significativo en comparación con otras órbitas periódicas. No obstante, la cicatrización cuántica demuestra que esta suposición es errónea. La cicatrización fue vista por primera vez en 1983 por SW McDonald en su tesis sobre el billar de estadio como una observación numérica interesante. ^[9] No se mostraron bien en su figura porque eran gráficos de "cascada" bastante rudimentarios. Este hallazgo no se informó detalladamente en la discusión del artículo sobre las funciones de onda y los espectros de espaciado de nivel del vecino más cercano para el billar del estadio. ^[10] Un año después, Eric J. Heller publicó los primeros ejemplos de funciones propias con cicatrices junto con una explicación teórica de su existencia. ^[2] Los resultados revelaron grandes huellas de órbitas periódicas individuales que influyeron en algunos estados propios del estadio Bunimovich clásicamente caótico, denominados cicatrices por Heller.

Un análisis de paquetes de ondas fue clave para probar la existencia de las cicatrices, y sigue siendo una herramienta valiosa para comprenderlas. En el trabajo original de Heller, ^[2] el espectro cuántico se extrae propagando un paquete de ondas gaussianas a lo largo de una órbita periódica. Hoy en día, esta idea seminal se conoce como la teoría lineal de las cicatrices. ^{[2] [3] [11] [12]} Las cicatrices se destacan a la vista en algunos estados propios de sistemas clásicamente caóticos, pero se cuantifican mediante la proyección de los estados propios sobre ciertos estados de prueba, a menudo gaussianos, que tienen tanto posición promedio como momento promedio a lo largo de la órbita periódica. Estos estados de prueba dan un espectro demostrablemente estructurado que revela la necesidad de las cicatrices. ^[13] Sin embargo, no existe una medida universal sobre las cicatrices; la relación exacta del exponente de estabilidad con la fuerza de las cicatrices es una cuestión de definición. No obstante, hay una regla general: ^{[3] [7]} la cicatrización cuántica es significativa cuando , y la fuerza escala como . Por lo tanto, las cicatrices cuánticas fuertes se asocian, en general, a órbitas periódicas moderadamente inestables y relativamente cortas. La teoría predice el aumento de la cicatriz a lo largo de una órbita periódica clásica, pero no puede señalar con precisión qué estados en particular están marcados y en qué medida. Más bien, solo se puede afirmar que algunos estados están marcados dentro de ciertas zonas de energía, y al menos en un cierto grado. ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi <2\pi }$ ${\displaystyle \chi ^{-1}}$

La teoría de cicatrización lineal descrita anteriormente se ha ampliado posteriormente para incluir efectos no lineales que tienen lugar después de que el paquete de ondas abandona el dominio de dinámica lineal alrededor de la órbita periódica. ^[12] En tiempos largos, el efecto no lineal puede ayudar a la cicatrización. Esto se debe a las recurrencias no lineales asociadas con las órbitas homoclínicas. Se obtuvo una visión adicional sobre la cicatrización con un enfoque de espacio real por parte de EB Bogomolny ^[14] y una alternativa de espacio de fase por parte de Michael V. Berry ^[15] que complementan los métodos de paquete de ondas y espacio de Hussimi utilizados por Heller y L. Kaplan. ^{[2] [3] [12]}

Las primeras confirmaciones experimentales de cicatrices se obtuvieron en billares de microondas a principios de la década de 1990. ^{[16] [17]} Posteriormente se proporcionaron más pruebas experimentales de cicatrices mediante observaciones en, por ejemplo, pozos cuánticos, ^{[18] [19] [20]} cavidades ópticas ^{[21] [22]} y el átomo de hidrógeno. ^[23] A principios de la década de 2000, se lograron las primeras observaciones en un billar elíptico. ^[24] Muchas trayectorias clásicas convergen en este sistema y conducen a cicatrices pronunciadas en los focos, comúnmente llamadas espejismos cuánticos. ^[25] Además, resultados numéricos recientes indicaron la existencia de cicatrices cuánticas en gases atómicos ultrafríos. ^[26]

Además de no existir una medida universal para el nivel de cicatrización, tampoco hay una definición generalmente aceptada de la misma. Originalmente, se afirmó ^[2] que se ha demostrado que ciertas órbitas periódicas inestables cicatrizan permanentemente algunas funciones propias cuánticas como , en el sentido de que una densidad adicional rodea la región de la órbita periódica. Sin embargo, una definición más formal para la cicatrización sería la siguiente: ^[3] Un estado propio cuántico de un sistema clásicamente caótico es cicatrizado por un periódico si su densidad en las variedades invariantes clásicas cerca y a lo largo de ese periódico se mejora sistemáticamente por encima de la densidad clásica, estadísticamente esperada a lo largo de esa órbita. Una consecuencia fascinante de esta mejora es la anticiclación. ^{[3] [27]} Dado que puede haber estados fuertemente cicatrizados entre los estados propios, la necesidad de un promedio uniforme sobre una gran cantidad de estados requiere la existencia de anticicatrices con baja probabilidad en la región de cicatrices "regulares". Además, se ha descubierto ^[27] que algunos procesos de desintegración tienen estados anticicatrices con tiempos de escape anómalamente largos. ${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$

La mayor parte de la investigación sobre cicatrices cuánticas se ha restringido a sistemas cuánticos no relativistas descritos por la ecuación de Schrödinger , donde la dependencia de la energía de la partícula con el momento es cuadrática. Sin embargo, la cicatrización puede ocurrir en un sistema cuántico relativista descrito por la ecuación de Dirac, donde la relación energía-momento es lineal. ^{[28] [29] [30]} Heurísticamente, estas cicatrices relativistas son una consecuencia del hecho de que ambos componentes del espinor satisfacen la ecuación de Helmholtz, en analogía a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Por lo tanto, las cicatrices relativistas tienen el mismo origen que la cicatrización convencional ^[2] introducida por EJ Heller. Sin embargo, existe una diferencia en términos de recurrencia con respecto a la variación de energía. Además, se demostró que los estados con cicatrices pueden conducir a fuertes fluctuaciones de conductancia en los puntos cuánticos abiertos correspondientes a través del mecanismo de transmisión resonante. ^[28]

Además de las cicatrices descritas anteriormente, hay varios fenómenos similares, conectados ya sea por teoría o apariencia. En primer lugar, cuando las cicatrices se identifican visualmente, algunos de los estados pueden recordar el movimiento clásico de "pelota rebotando", excluido de las cicatrices cuánticas en su propia categoría. Por ejemplo, un billar de estadio admite estos estados propios altamente no ergódicos, que reflejan un movimiento de rebote atrapado entre las paredes rectas. ^[3] Se ha demostrado que los estados de rebote persisten en el límite , pero al mismo tiempo este resultado sugiere un porcentaje decreciente de todos los estados en acuerdo con los teoremas de ergodicidad cuántica de Alexander Schnirelman, Yves Colin de Verdière y Steven Zelditch . ^{[4] [5] [6]} En segundo lugar, las cicatrices no deben confundirse con fluctuaciones estadísticas. Estructuras similares de una densidad de probabilidad mejorada ocurren incluso como superposiciones aleatorias de ondas planas, ^[31] en el sentido de la conjetura de Berry. ^{[32] [33]} Además, existe un género de cicatrices, no causadas por órbitas periódicas reales, sino por sus remanentes, conocidas como fantasmas . Se refieren a órbitas periódicas que se encuentran en un sistema cercano en el sentido de algún parámetro externo del sistema ajustable. ^{[34] [35]} Las cicatrices de este tipo se han asociado a órbitas casi periódicas. ^[36] Otra subclase de fantasmas proviene de órbitas periódicas complejas que existen en las proximidades de los puntos de bifurcación. ^{[37] [38]} ${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$

Cicatrices cuánticas inducidas por perturbaciones

Ejemplo de cicatrización en puntos cuánticos desordenados. El potencial no perturbado tiene la forma de y está perturbado con protuberancias gaussianas dispersas aleatoriamente (los marcadores rojos indican la ubicación y el tamaño de las protuberancias). La figura muestra uno de los estados propios del pozo cuántico perturbado que está fuertemente marcado por una órbita periódica del sistema no perturbado (línea azul continua). ${\displaystyle V(r)\propto r^{5}}$

Se descubrió una nueva clase de cicatrices cuánticas en nanoestructuras bidimensionales desordenadas. ^{[39] [40] [1] [41] [42]} Aunque son similares en apariencia a las cicatrices cuánticas ordinarias descritas anteriormente, estas cicatrices tienen un origen fundamentalmente diferente. En este caso, el desorden que surge de pequeñas perturbaciones (ver puntos rojos en la figura) es suficiente para destruir la estabilidad clásica a largo plazo. Por lo tanto, no hay un periódico moderadamente inestable en la contraparte clásica a la que correspondería una cicatriz en la teoría de cicatrices ordinaria. En cambio, las cicatrices se forman alrededor de órbitas periódicas del sistema no perturbado correspondiente . La teoría de cicatrices ordinaria se excluye además por el comportamiento de las cicatrices como una función de la fuerza del desorden. Cuando las protuberancias potenciales se hacen más fuertes mientras se mantienen inalteradas, las cicatrices se hacen más fuertes y luego se desvanecen sin cambiar su orientación. Por el contrario, una cicatriz causada por la teoría convencional debería debilitarse rápidamente debido al aumento del exponente de estabilidad de una órbita periódica con el aumento del desorden. Además, la comparación de cicatrices a diferentes energías revela que ocurren sólo en unas pocas orientaciones distintas. Esto también contradice las predicciones de la teoría de cicatrices ordinaria.

Cicatrices cuánticas de muchos cuerpos

El área de las cicatrices cuánticas de muchos cuerpos es un tema de investigación activa. ^{[43] [44]}

Se han producido cicatrices en investigaciones para aplicaciones potenciales de estados de Rydberg a la computación cuántica , específicamente actuando como qubits para simulación cuántica . ^{[45] [46]} Las partículas del sistema en una configuración alterna de estado fundamental -estado de Rydberg se enredaron y desenredaron continuamente en lugar de permanecer enredadas y sufrir termalización . ^{[45] [46] [47]} Los sistemas de los mismos átomos preparados con otros estados iniciales se termalizaron como se esperaba. ^{[46] [47]} Los investigadores denominaron al fenómeno "cicatrización cuántica de muchos cuerpos". ^{[48] [49]}

Las causas de las cicatrices cuánticas no se comprenden bien. ^[45] Una posible explicación propuesta es que las cicatrices cuánticas representan sistemas integrables , o casi lo hacen, y esto podría evitar que la termalización ocurra. ^{[50] Esto ha generado críticas que argumentan que un} hamiltoniano no integrable subyace a la teoría. ^[51] Recientemente, una serie de trabajos ^{[52] [53]} ha relacionado la existencia de cicatrices cuánticas con una estructura algebraica conocida como simetrías dinámicas. ^{[54] [55]}

Se desean computadoras cuánticas tolerantes a fallas , ya que cualquier perturbación en los estados de qubit puede causar que los estados se termalicen, lo que lleva a la pérdida de información cuántica . ^[45] La cicatrización de los estados de qubit se considera una forma potencial de proteger los estados de qubit de perturbaciones externas que conducen a la decoherencia y la pérdida de información.

Véase también

• Caos cuántico

Referencias

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