Fórmula de Larmor

Gives the total power radiated by an accelerating, nonrelativistic point charge

Antena Yagi-Uda . Las ondas de radio pueden irradiarse desde una antena acelerando los electrones en ella. Se trata de un proceso coherente , por lo que la potencia total irradiada es proporcional al cuadrado del número de electrones que se aceleran.

En electrodinámica , la fórmula de Larmor se utiliza para calcular la potencia total irradiada por una carga puntual no relativista a medida que se acelera. Fue derivada por primera vez por JJ Larmor en 1897, ^[1] en el contexto de la teoría ondulatoria de la luz .

Cuando una partícula cargada (como un electrón , un protón o un ion ) se acelera, se irradia energía en forma de ondas electromagnéticas . Para una partícula cuya velocidad es pequeña en relación con la velocidad de la luz (es decir, no relativista), la potencia total que irradia la partícula (cuando se considera como una carga puntual) se puede calcular mediante la fórmula de Larmor: donde o es la aceleración propia, es la carga y es la velocidad de la luz. ^[2] Una generalización relativista la dan los potenciales de Liénard-Wiechert . $${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c}}\left({\frac {\dot {v}}{c}}\right)^{2}={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}={\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}=\mu _{0}{\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi c}}{\text{ (SI units)}}}$$ $${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}}{\text{ (cgs units)}}}$$ ${\displaystyle {\dot {v}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle c}$

En cualquier sistema de unidades, la potencia irradiada por un solo electrón se puede expresar en términos del radio electrónico clásico y la masa del electrón como: $${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {m_{e}r_{e}a^{2}}{c}}}$$

Una de las consecuencias es que un electrón que orbita alrededor de un núcleo, como en el modelo de Bohr , debería perder energía, caer al núcleo y el átomo colapsar. Este enigma no se resolvió hasta que se introdujo la teoría cuántica .

Derivación

Para calcular la potencia radiada por una carga puntual en una posición , con una velocidad, integramos el vector de Poynting sobre la superficie de una esfera de radio R, para obtener: ^[3] Los campos eléctrico y magnético están dados por las ecuaciones de campo de Liénard-Wiechert, El vector de radio, , es la distancia desde la posición de la partícula cargada en el tiempo retardado hasta el punto de observación de los campos electromagnéticos en el tiempo presente, es la velocidad de la carga dividida por , es la aceleración de la carga dividida por , y . Las variables, , , , y se evalúan todas en el tiempo retardado, . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (t),}$ $${\displaystyle P={\frac {R^{2}}{4\pi }}\oint {\bf {{\hat {r}}\cdot [E(r}},t)\times {\bf {B(r}},t)]d\Omega .}$$ $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {q({\bf {{\hat {r}}_{r}}}-{{\boldsymbol {\beta }}_{r})}}{r_{r}^{2}\gamma _{r}^{2}(1-{\bf {{\hat {r}}_{r}}}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{r})^{3}}}+{\frac {q}{c}}\left\{{\frac {{\bf {\hat {r}}}_{r}\times [({\bf {\hat {r}}}_{r}-{\boldsymbol {\beta }}_{r})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{r}]}{r_{r}(1-{\bf {\hat {r}}}_{r}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{r})^{3}}}\right\},}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {E.} }$$ ${\displaystyle {\bf {r}}_{r}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2}}$ ${\displaystyle {\bf {r}}_{r}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{r}}$ ${\displaystyle \gamma _{r}}$ ${\displaystyle {\bf {a}}_{r}}$ ${\displaystyle t_{r}=t-r_{r}/c}$

Realizamos una transformación de Lorentz al marco de reposo de la carga puntual donde , y Aquí, es la aceleración en el marco de reposo paralela a , y es la aceleración en el marco de reposo perpendicular a . ${\displaystyle {\bf {v'=0}}}$ $${\displaystyle \mathbf {a'} _{\parallel }=\mathbf {a} _{\parallel }\gamma ^{3}}$$ $${\displaystyle {\bf {a'_{\perp }=\mathbf {a} _{\perp }\gamma ^{2}.}}}$$ ${\displaystyle {\bf {a'}}_{\parallel }}$ ${\displaystyle {\bf {v}}}$ ${\displaystyle {\bf {a'_{\perp }}}}$ ${\displaystyle {\bf {v}}}$

Integramos el vector de Poynting del sistema de reposo sobre la superficie de una esfera de radio R', para obtener. Tomamos el límite En este límite, , y por lo tanto el campo eléctrico está dado por con todas las variables evaluadas en el momento actual. $${\displaystyle P'={\frac {R'^{2}}{4\pi }}\oint {\bf {{\hat {r}}'\cdot [E'(r'}},t')\times {\bf {B'(r'}},t')]d\Omega ',}$$ ${\displaystyle R'\rightarrow 0.}$ ${\displaystyle t'_{r}=t'}$ ${\displaystyle {\bf {a'}}_{r}={\bf {a'}},}$ $${\displaystyle {\bf {E'(r'}},t')={\frac {q{\bf {{\hat {r}}'}}}{r'^{2}}}+{\frac {q[{\bf {{{\hat {r}}'}({{\hat {r}}'}\cdot a')-a'}}]}{c^{2}r'}},}$$

Entonces, la integral de superficie para la potencia radiada se reduce a La potencia radiada se puede volver a poner en términos de la aceleración original en el marco móvil, para dar Las variables en esta ecuación están en el marco móvil original, pero la tasa de emisión de energía en el lado izquierdo de la ecuación todavía se da en términos de las variables del marco en reposo. Sin embargo, se mostrará a continuación que el lado derecho es un invariante de Lorentz, por lo que la potencia radiada se puede transformar de Lorentz al marco móvil, dando finalmente Este resultado (en dos formas) es el mismo que la extensión relativista de Liénard ^[4] de la fórmula de Larmor, y se da aquí con todas las variables en el momento actual. Su reducción no relativista se reduce a la fórmula original de Larmor. $${\displaystyle P'={\frac {q^{2}}{4\pi c^{3}}}\oint {\bf {{\hat {r}}'}}\cdot [{\bf {a'\times ({{\hat {r}}'}\times a')}}]d\Omega '={\frac {2q^{2}a'^{2}}{3c^{3}}}.}$$ $${\displaystyle P'={\frac {2q^{2}}{3c^{3}}}(a_{\parallel }^{2}\gamma ^{6}+a_{\perp }^{2}\gamma ^{4})={\frac {2q^{2}\gamma ^{6}}{3c^{3}}}[a^{2}-({\bf {v}}\times {\bf {a}}/c)^{2}].}$$ $${\displaystyle P={\frac {2q^{2}\gamma ^{4}}{3c^{3}}}(a_{\parallel }^{2}\gamma ^{2}+a_{\perp }^{2})={\frac {2q^{2}\gamma ^{6}}{3c^{3}}}[a^{2}-({\bf {v}}\times {\bf {a}}/c)^{2}].}$$

Para energías altas, parece que la potencia irradiada para la aceleración paralela a la velocidad es un factor mayor que la de la aceleración perpendicular. Sin embargo, escribir la fórmula de Liénard en términos de velocidad da una implicación engañosa. En términos de momento en lugar de velocidad, la fórmula de Liénard se convierte en ${\displaystyle \gamma ^{2}}$

${\displaystyle P={\frac {2q^{2}}{3c^{3}m^{2}}}\left[\left({\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)_{\parallel }^{2}+\gamma ^{2}\left({\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)_{\perp }^{2}\right].}$

Esto demuestra que la potencia emitida en dirección perpendicular a la velocidad es mayor en un factor de que la potencia emitida en dirección paralela a la velocidad. Esto hace que la amortiguación de la radiación sea despreciable para los aceleradores lineales, pero un factor limitante para los aceleradores circulares. ${\displaystyle {\bf {dp}}/dt}$ ${\displaystyle \gamma ^{2}}$ ${\displaystyle {\bf {dp}}/dt}$

Forma covariante

La potencia radiada es en realidad un escalar de Lorentz, expresado en forma covariante como

${\displaystyle P=-{\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}.}$

Para demostrarlo, reducimos el producto escalar de cuatro vectores a notación vectorial. Empezamos con $${\displaystyle {\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=\gamma ^{2}\left[\left({\frac {dp_{0}}{dt}}\right)^{2}-\left({\frac {\bf {dp}}{dt}}\right)^{2}\right].}$$

Las derivadas del tiempo son.

$${\displaystyle {\frac {dp_{0}}{dt}}={\frac {d}{dt}}(m\gamma )=m\gamma ^{3}va_{\parallel }}$$ $${\displaystyle {\frac {\bf {dp}}{dt}}={\frac {d}{dt}}(m{\bf {v}}\gamma )=m\gamma ^{3}({\bf {{a}_{\parallel }+a_{\perp }/\gamma ^{2}}}).}$$Cuando se utilizan estas derivadas, obtenemos $${\displaystyle {\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=-m^{2}\gamma ^{4}(\gamma ^{2}{\bf {a}}_{\parallel }^{2}+{\bf {a}}_{\perp }^{2}).}$$

Con esta expresión para el producto escalar, la forma manifiestamente invariante para la potencia concuerda con la forma vectorial anterior, demostrando que la potencia radiada es un escalar de Lorentz.

Distribución angular

La distribución angular de la potencia radiada se da mediante una fórmula general, aplicable independientemente de que la partícula sea relativista o no. En unidades CGS, esta fórmula es ^[5] donde es un vector unitario que apunta desde la partícula hacia el observador. En el caso del movimiento lineal (velocidad paralela a la aceleración), esto se simplifica a ^[6] donde es el ángulo entre el observador y el movimiento de la partícula. $${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}|{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}.}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\left|\mathbf {\hat {n}} \times \left[(\mathbf {\hat {n}} -{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}\right]\right|^{2}}{(1-\mathbf {\hat {n}} \cdot {\boldsymbol {\beta }})^{5}}},}$$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi c^{3}}}{\frac {\sin ^{2}\theta }{(1-\beta \cos \theta )^{5}}},}$$ ${\displaystyle \theta }$

Reacción a la radiación

La radiación de una partícula cargada transporta energía y momento. Para satisfacer la conservación de la energía y el momento, la partícula cargada debe experimentar un retroceso en el momento de la emisión. La radiación debe ejercer una fuerza adicional sobre la partícula cargada. Esta fuerza se conoce como fuerza de Abraham-Lorentz, mientras que su límite no relativista se conoce como fuerza propia de Lorentz y las formas relativistas se conocen como fuerza de Lorentz-Dirac o fuerza de Abraham-Lorentz-Dirac. El fenómeno de la reacción a la radiación es uno de los problemas y consecuencias clave de la fórmula de Larmor. Según la electrodinámica clásica, una partícula cargada produce radiación electromagnética a medida que acelera. La partícula pierde momento y energía como resultado de la radiación, que la aleja de ella. La fuerza de respuesta a la radiación, por otro lado, también actúa sobre la partícula cargada como resultado de la radiación.

La dinámica de las partículas cargadas se ve afectada significativamente por la existencia de esta fuerza. En particular, provoca un cambio en su movimiento que puede explicarse mediante la fórmula de Larmor, un factor de la ecuación de Lorentz-Dirac.

Según la ecuación de Lorentz-Dirac, la velocidad de una partícula cargada se verá influida por una "fuerza propia" resultante de su propia radiación. Un comportamiento no físico como las soluciones descontroladas, cuando la velocidad o la energía de la partícula se vuelven infinitas en un tiempo finito, podría ser resultado de esta fuerza propia.

Una solución a las paradojas resultantes de la introducción de una fuerza propia debido a la emisión de radiación electromagnética es que no se produce ninguna fuerza propia. La aceleración de una partícula cargada produce radiación electromagnética, cuya energía saliente reduce la energía de la partícula cargada. Esto da como resultado una "reacción de radiación" que disminuye la aceleración de la partícula cargada, no como una fuerza propia, sino simplemente como una menor aceleración de la partícula. ^[7]

Física atómica

La invención de la física cuántica, en particular el modelo atómico de Bohr, permitió explicar esta brecha entre la predicción clásica y la realidad actual. El modelo de Bohr proponía que las transiciones entre distintos niveles de energía, en los que sólo podían habitar los electrones, podrían explicar las líneas espectrales observadas en los átomos. Las propiedades ondulatorias de los electrones y la idea de la cuantificación de la energía se utilizaron para explicar la estabilidad de estas órbitas electrónicas.

La fórmula de Larmor sólo se puede utilizar para partículas no relativistas, lo que limita su utilidad. El potencial de Liénard-Wiechert es una fórmula más completa que debe emplearse para partículas que viajan a velocidades relativistas. En determinadas situaciones, podrían ser necesarios cálculos más complejos, incluidas técnicas numéricas o teoría de perturbaciones, para calcular con precisión la radiación que emite la partícula cargada.

Véase también

• Teoría atómica
• Radiación ciclotrónica
• Ecuación de onda electromagnética
• Las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo
• Reacción a la radiación
• Ecuación de onda
• Teoría de absorción de Wheeler-Feynman

Referencias

1. Larmor, J (1897). "LXIII. Sobre la teoría de la influencia magnética en los espectros; y sobre la radiación de iones en movimiento". Revista filosófica . 5. 44 (271): 503–512. doi :10.1080/14786449708621095.La fórmula se menciona en el texto de la última página.
2. Lorentz, Hendrik Antoon (1909). La teoría de los electrones y sus aplicaciones a los fenómenos de la luz y el calor radiante . Leipzig: BG Teubner. págs. 49–52.
3. Franklin, Jerrold (2021). "Energía electromagnética emitida por una carga puntual en aceleración". págs. 1–5. arXiv : 2103.09317 .
4. Liénard, Alfred-Marie (1898). "Producto eléctrico y magnético por una carga eléctrica". Eclairage Electr.16,5–14 . 16 .
5. Jackson, John D. (1998). Electrodinámica clásica (3.ª ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.(Sección 14.2ff)
6. Jackson 1998, ecuación 14.39.
7. Franklin, Jerrold (2023). "Reacción de radiación en una carga puntual acelerada". Revista Internacional de Física Moderna A . 38 : 350005–1–6. arXiv : 2308.02628 . doi :10.1142/S0217751X23500057.