Teselaciones euclidianas uniformes en 3D y sus duales
Las 13 teselaciones arquitectónicas o catóptricas, mostradas como centros de celdas uniformes, y celdas catóptricas, dispuestas como múltiplos de la celda más pequeña en la parte superior.
En geometría , John Horton Conway define las teselaciones arquitectónicas y catóptricas como las teselaciones uniformes (o panales ) del 3-espacio euclidiano con grupos espaciales primos y sus duales , como análogo tridimensional de la teselación platónica, arquimediana y catalana del plano. La figura de vértice singular de una teselación arquitectónica es el dual de la celda de la teselación catóptrica correspondiente , y viceversa. La cubilla es la única teselación platónica (regular) del 3-espacio, y es autodual. Hay otros panales uniformes construidos como giros o pilas prismáticas (y sus duales) que están excluidos de estas categorías.
Enumeración
A continuación se enumeran los pares de teselaciones arquitectónicas y catóptricas con su grupo de simetría . Estas teselaciones solo representan cuatro grupos espaciales de simetría y, además, todas dentro del sistema cristalino cúbico . Muchas de estas teselaciones se pueden definir en múltiples grupos de simetría, por lo que en cada caso se expresa la simetría más alta.
Figuras de vértice
A continuación se muestran las figuras de los vértices de todos los panales arquitectónicos y las celdas duales de todos los panales catóptricos, a la misma escala y con la misma orientación:
Simetría
Estos son cuatro de los 35 grupos espaciales cúbicos.
Estos cuatro grupos de simetría están etiquetados como:
Referencias
^ Para referenciar de forma cruzada los sólidos arquitectónicos, se dan con índices de lista de Andreini (1-22), Williams (1-2,9-19), Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51-52, 61-65) y Grünbaum (1-28). Los nombres de Coxeter se basan en δ 4 como un panal cúbico , hδ 4 como un panal cúbico alternado y qδ 4 como un cuarto de panal cúbico .
^ Hestenes, David; Holt, Jeremy (27 de febrero de 2007). "Grupos espaciales cristalográficos en álgebra geométrica" (PDF) . Journal of Mathematical Physics . 48 (2). AIP Publishing LLC: 023514. doi :10.1063/1.2426416. ISSN 1089-7658.
Cristalografía de cuasicristales: conceptos, métodos y estructuras por Walter Steurer, Sofia Deloudi (2009), pág. 54-55. 12 empaquetamientos de 2 o más poliedros uniformes con simetría cúbica
Lectura adicional
Conway, John H. ; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008). "21. Denominación de poliedros y teselas arquimedianos y catalanes". The Symmetries of Things . AK Peters, Ltd. pp. 292–298. ISBN 978-1-56881-220-5.
Inchbald, Guy (julio de 1997). "Los duales de panal de Arquímedes". The Mathematical Gazette . 81 (491). Leicester: The Mathematical Association: 213–219. doi :10.2307/3619198. JSTOR 3619198.[1]
A. Andreini , (1905) Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (Sobre las redes regulares y semirregulares de poliedros y sobre las correspondientes redes correlativas), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 75–129. PDF [2]
George Olshevsky, (2006) Tetracombs panoploides uniformes , manuscrito PDF [3]
Pearce, Peter (1980). La estructura en la naturaleza es una estrategia para el diseño. The MIT Press. Págs. 41–47. ISBN 9780262660457.
Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [4]
(Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45] Véase pág. 318 [5]
