Cartera de autofinanciamiento

En matemáticas financieras , una cartera autofinanciada es una cartera que tiene la característica de que, si no hay una infusión o retirada exógena de dinero, la compra de un nuevo activo debe financiarse con la venta de uno antiguo. ^{[ cita requerida ]} Este concepto se utiliza para definir, por ejemplo, estrategias admisibles y carteras replicantes , siendo estas últimas fundamentales para la fijación de precios de derivados sin arbitraje .

Definición matemática

Tiempo discreto

Supongamos que se nos da un espacio de probabilidad filtrado discreto y sea el cono de solvencia (con o sin costos de transacción ) en el momento t para el mercado. Denotemos por . Entonces, una cartera (en unidades físicas, es decir, la cantidad de cada acción) se autofinancia (y se negocia solo en un conjunto finito de tiempos) si ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t=0}^{T},P)}$ ${\displaystyle K_{t}}$ ${\displaystyle L_{d}^{p}(K_{t})=\{X\in L_{d}^{p}({\mathcal {F}}_{T}):X\in K_{t}\;P-a.s.\}}$ ${\displaystyle (H_{t})_{t=0}^{T}}$

porque todo lo que tenemos es la convención de que . ^[1] ${\displaystyle t\in \{0,1,\dots ,T\}}$ ${\displaystyle H_{t}-H_{t-1}\in -K_{t}\;P-a.s.}$ ${\displaystyle H_{-1}=0}$

Si sólo nos interesa el conjunto que puede tener la cartera en algún momento futuro, entonces podemos decir que . ${\displaystyle H_{\tau }\in -K_{0}-\sum _{k=1}^{\tau }L_{d}^{p}(K_{k})}$

Si hay costos de transacción, entonces solo se debe considerar el comercio discreto, y en tiempo continuo, los cálculos anteriores se deben llevar al límite tal que . ${\displaystyle \Delta t\to 0}$

Tiempo continuo

Sea un mercado sin fricción de semimartingala de dimensión d y un proceso estocástico predecible de dimensión d de modo que existan las integrales estocásticas . El proceso denota la cantidad de acciones de la acción número en la cartera en el momento y el precio de la acción número . Denote el proceso de valor de la estrategia comercial por ${\displaystyle S=(S_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle h=(h_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle h^{i}\cdot S^{i}}$ ${\displaystyle \forall \,i=1,\dots ,d}$ ${\displaystyle h_{t}^{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle S_{t}^{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle V_{t}=\sum _{i=1}^{n}h_{t}^{i}S_{t}^{i}.}$

Entonces la cartera/estrategia comercial se llama autofinanciación si ${\displaystyle h=\left((h_{t}^{1},\dots ,h_{t}^{d})\right)_{t}}$

${\displaystyle V_{t}=\sum _{i=1}^{n}\left\{h_{0}^{i}S_{0}^{i}+\int _{0}^{t}h_{u}^{i}\mathrm {d} S_{u}^{i}\right\}=h_{0}\cdot S_{0}+\int _{0}^{t}h_{u}\cdot \mathrm {d} S_{u}}$. ^[2]

El término corresponde al patrimonio inicial de la cartera, mientras que es la ganancia o pérdida acumulada de las operaciones hasta el momento . Esto significa, en particular, que no ha habido ninguna inyección de dinero en la cartera ni ninguna retirada de dinero de la misma. ${\displaystyle h_{0}\cdot S_{0}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{t}h_{u}\cdot \mathrm {d} S_{u}}$ ${\displaystyle t}$

Véase también

• Cartera de réplicas
• Autofinanciación

Referencias

1. Hamel, Andreas; Heyde, Frank; Rudloff, Birgit (30 de noviembre de 2010). "Medidas de riesgo con valores establecidos para modelos de mercado cónicos". arXiv : 1011.5986v1 [q-fin.RM].
2. Björk, Tomas (2009). Teoría del arbitraje en tiempo continuo (3.ª ed.). Oxford University Press. pág. 87. ISBN 978-0-19-877518-8.