En la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas , un cardenal fuertemente compacto es un cierto tipo de cardenal grande .
Un κ cardinal es fuertemente compacto si y solo si cada filtro κ completo puede extenderse a un ultrafiltro κ completo.
Los cardinales fuertemente compactos se definieron originalmente en términos de lógica infinita , donde a los operadores lógicos se les permite tomar infinitos operandos. La lógica de un cardinal regular κ se define exigiendo que el número de operandos de cada operador sea menor que κ; entonces κ es fuertemente compacto si su lógica satisface un análogo de la propiedad de compacidad de la lógica finita. Específicamente, un enunciado que se deriva de alguna otra colección de enunciados también debería derivarse de alguna subcolección que tenga cardinalidad menor que κ.
La propiedad de compacidad fuerte puede debilitarse si solo se requiere que esta propiedad de compacidad se cumpla cuando la colección original de declaraciones tiene una cardinalidad por debajo de un cierto cardinal λ; entonces podemos referirnos a λ-compacidad. Un cardinal es débilmente compacto si y sólo si es κ-compacto; esta era la definición original de ese concepto.
Una compacidad fuerte implica mensurabilidad y está implícita en supercompacidad . Dado que existen los cardinales relevantes, es consistente con ZFC que el primer cardenal mensurable sea fuertemente compacto o que el primer cardenal fuertemente compacto sea supercompacto; Sin embargo, ambas cosas no pueden ser ciertas. Un límite mensurable de cardinales fuertemente compactos es fuertemente compacto, pero el límite mínimo no es supercompacto.
La fuerza de consistencia de una compacidad fuerte está estrictamente por encima de la de un cardenal de Woodin . Algunos teóricos de conjuntos conjeturan que la existencia de un cardenal fuertemente compacto es equiconsistente con la de un cardenal supercompacto. Sin embargo, es poco probable que se obtenga una prueba hasta que se desarrolle una teoría del modelo interno canónico para cardinales supercompactos.
Jech obtuvo una variante de la propiedad del árbol que es válida para un cardenal inaccesible si y sólo si es fuertemente compacto. [1]
La extensibilidad es un análogo de segundo orden de una gran compacidad.