cardenal ramsey

En matemáticas , un cardenal de Ramsey es un cierto tipo de número cardinal grande introducido por Erdős y Hajnal (1962) y llamado así en honor a Frank P. Ramsey , cuyo teorema establece que ω goza de una determinada propiedad que los cardenales de Ramsey generalizan al caso incontable .

Sea [ κ ] ^<ω el conjunto de todos los subconjuntos finitos de κ . Un número cardinal κ se llama Ramsey si, para cada función

f : [ κ ] ^<ω → {0, 1}

existe un conjunto A de cardinalidad κ que es homogéneo para f . Es decir, para cada n , la función f es constante en los subconjuntos de cardinalidad n de A. Un cardinal κ se llama inefablemente Ramsey si se puede elegir que A sea un subconjunto estacionario de κ . Un cardinal κ se llama virtualmente Ramsey si para cada función

f : [ κ ] ^<ω → {0, 1}

hay C , un subconjunto cerrado e ilimitado de κ , de modo que para cada λ en C de cofinalidad incontable , hay un subconjunto ilimitado de λ que es homogéneo para f ; ligeramente más débil es la noción casi de Ramsey donde se requieren conjuntos homogéneos para f de tipo de orden λ , para cada λ < κ .

La existencia de cualquiera de estos tipos de cardinal de Ramsey es suficiente para probar la existencia de 0 # , o incluso que todo conjunto con rango menor que κ tiene un sostenido .

Cada cardenal mensurable es un cardenal de Ramsey, y cada cardenal de Ramsey es un cardenal de Rowbottom .

Una propiedad intermedia en fuerza entre Ramseyness y mensurabilidad es la existencia de un κ -ideal normal no principal completo I en κ tal que para cada A ∉ I y para cada función

f : [ κ ] ^<ω → {0, 1}

hay un conjunto B ⊂ A que no está en I y que es homogéneo para f . Esto es estrictamente más fuerte que κ siendo inefablemente Ramsey.

La existencia de un cardenal de Ramsey implica la existencia de 0 # y esto a su vez implica la falsedad del Axioma de Constructibilidad de Kurt Gödel .

Definición por modelos κ

Un cardinal regular κ es Ramsey si y sólo si ^[1] para cualquier conjunto A ⊂ κ , existe un conjunto transitivo M ⊨ ZFC ^- (es decir, ZFC sin el axioma de powerset) de tamaño κ con A ∈ M y un ultrafiltro no principal U en el álgebra de Boole P(κ) ∩ M tal que:

U es un ultrafiltro M: para cualquier secuencia ⟨ X _β : β < κ ⟩ ∈ M de miembros de U , la intersección diagonal Δ X _β = { α < κ : ∀ β < α ( α ∈ X _β )} ∈ U ,
U es débilmente adaptable: para cualquier secuencia ⟨ X _β : β < κ ⟩ ∈ M de subconjuntos de κ , el conjunto { β < κ : X _β ∈ U } ∈ M , y
U es σ-completo: la intersección de cualquier familia contable de miembros de U está nuevamente en U.

Referencias

^ Gitman, Victoria (2008). "Cardenales tipo Ramsey". arXiv : 0801.4723v2 [matemáticas.LO].

Drake, FR (1974). Teoría de conjuntos: introducción a los cardinales grandes (estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas; V. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2.
Erdős, Paul ; Hajnal, András (1962), "Algunas observaciones sobre nuestro artículo" Sobre la estructura de los mapeos de conjuntos . Inexistencia de una medida σ de dos valores para el primer cardenal inaccesible incontable", Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae , 13 (1–2): 223–226, doi :10.1007/BF02033641, ISSN 0001-5954, MR 0141603, S2CID 121179872
Kanamori, Akihiro (2003). El infinito superior: grandes cardinales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2ª ed.). Saltador. ISBN 3-540-00384-3.