En matemáticas , la noción de cancelatividad (o cancelabilidad ) es una generalización de la noción de invertibilidad .
Un elemento a en un magma ( M , ∗ ) tiene la propiedad de cancelación por la izquierda (o es cancelativo por la izquierda ) si para todos b y c en M , a ∗ b = a ∗ c siempre implica que b = c .
Un elemento a en un magma ( M , ∗ ) tiene la propiedad de cancelación por la derecha (o es cancelativo por la derecha ) si para todos b y c en M , b ∗ a = c ∗ a siempre implica que b = c .
Un elemento a en un magma ( M , ∗) tiene la propiedad de cancelación bilateral (o es cancelativo ) si es cancelativo tanto por la izquierda como por la derecha.
Un magma ( M , ∗) tiene la propiedad de cancelación por la izquierda (o es cancelable por la izquierda) si todos los a en el magma son cancelantes por la izquierda, y se aplican definiciones similares para las propiedades canceladoras por la derecha o cancelantes de dos lados.
Un elemento invertible a la izquierda es cancelable a la izquierda, y de manera análoga para el derecho y el de dos lados. Si a⁻¹ es la inversa de a, entonces a ∗ b = a ∗ c implica a⁻¹ ∗ a ∗ b = a⁻¹ ∗ a ∗ c, lo que implica b = c.
Por ejemplo, todo cuasigrupo y, por tanto, todo grupo , es cancelativo.
Decir que un elemento a en un magma ( M , ∗ ) es cancelativo por la izquierda, es decir que la función g : x ↦ a ∗ x es inyectiva . [1] Que la función g sea inyectiva implica que dada alguna igualdad de la forma a ∗ x = b , donde la única incógnita es x , sólo hay un valor posible de x que satisfaga la igualdad. Más precisamente, podemos definir alguna función f , la inversa de g , tal que para todo x f ( g ( x )) = f ( a ∗ x ) = x . Dicho de otra manera, para todo x e y en M , si a * x = a * y , entonces x = y . [2]
De manera similar, decir que el elemento a es cancelativo por la derecha, es decir que la función h : x ↦ x ∗ a es inyectiva y que para todo x e y en M , si x * a = y * a , entonces x = y .
Los números enteros positivos (igualmente no negativos) forman un semigrupo cancelador bajo la suma. Los números enteros no negativos forman un monoide cancelador bajo la suma. Cada uno de estos es un ejemplo de magma cancelador que no es un cuasigrupo.
De hecho, cualquier semigrupo o monoide libre obedece la ley canceladora y, en general, cualquier semigrupo o monoide incrustado en un grupo (como lo hacen claramente los ejemplos anteriores) obedecerá la ley canceladora.
En otro sentido, (un subsemigrupo de) el semigrupo multiplicativo de elementos de un anillo que no son divisores de cero (que es simplemente el conjunto de todos los elementos distintos de cero si el anillo en cuestión es un dominio , como los números enteros) tiene la propiedad de cancelación . Tenga en cuenta que esto sigue siendo válido incluso si el anillo en cuestión no es conmutativo y/o no unitario.
Aunque la ley de cancelación es válida para la suma, resta, multiplicación y división de números reales y complejos (con la única excepción de la multiplicación por cero y la división de cero por otro número), hay varias estructuras algebraicas en las que la ley de cancelación no es válida. .
El producto cruzado de dos vectores no obedece la ley de cancelación. Si a × b = a × c , entonces no se sigue que b = c incluso si a ≠ 0 (tome c = b + a por ejemplo)
La multiplicación de matrices tampoco obedece necesariamente a la ley de cancelación. Si AB = AC y A ≠ 0 , entonces se debe demostrar que la matriz A es invertible (es decir, tiene det ( A ) ≠ 0 ) antes de poder concluir que B = C. Si det( A ) = 0 , entonces B podría no ser igual a C , porque la ecuación matricial AX = B no tendrá una solución única para una matriz A no invertible .
También tenga en cuenta que si AB = CA y A ≠ 0 y la matriz A es invertible (es decir, tiene det ( A ) ≠ 0 ), no es necesariamente cierto que B = C. La cancelación funciona solo para AB = AC y BA = CA (siempre que la matriz A sea invertible ) y no para AB = CA y BA = AC .