Campos de trama en la relatividad general

El espacio-tiempo modelado por cuatro campos vectoriales puntuales ortonormales

Un campo de trama en la relatividad general (también llamado tétrada o vierbein) es un conjunto de cuatro campos vectoriales puntuales ortonormales, uno temporal y tres espaciales , definidos en una variedad lorentziana que se interpreta físicamente como un modelo del espacio - tiempo . El campo vectorial unitario temporal se denota a menudo por y los tres campos vectoriales unitarios espaciales por . Todas las cantidades tensoriales definidas en la variedad se pueden expresar utilizando el campo de trama y su campo dual co-trama. ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},\,{\vec {e}}_{3}}$

Los campos de marco fueron introducidos en la relatividad general por Albert Einstein en 1928 ^[1] y por Hermann Weyl en 1929. ^[2]

La notación de índice para tétradas se explica en tétrada (notación de índice) .

Interpretación física

Los campos de referencia de una variedad lorentziana siempre corresponden a una familia de observadores ideales inmersos en el espacio-tiempo dado; las curvas integrales del campo vectorial unitario temporal son las líneas de mundo de estos observadores, y en cada evento a lo largo de una línea de mundo dada, los tres campos vectoriales unitarios espaciales especifican la tríada espacial transportada por el observador. La tríada puede considerarse como la definición de los ejes de coordenadas espaciales de un marco de referencia de laboratorio local , lo cual es válido muy cerca de la línea de mundo del observador.

En general, las líneas de mundo de estos observadores no necesitan ser geodésicas temporales . Si alguna de las líneas de mundo se desvía de una trayectoria geodésica en alguna región, podemos pensar en los observadores como partículas de prueba que aceleran mediante el uso de motores de cohetes ideales con un empuje igual a la magnitud de su vector de aceleración . Alternativamente, si nuestro observador está unido a un poco de materia en una bola de fluido en equilibrio hidrostático , este poco de materia en general se acelerará hacia afuera por el efecto neto de la presión que sostiene la bola de fluido contra la atracción de su propia gravedad. Otras posibilidades incluyen un observador unido a una partícula de prueba cargada libre en una solución de electrovacío , que por supuesto será acelerada por la fuerza de Lorentz , o un observador unido a una partícula de prueba giratoria , que puede ser acelerada por una fuerza de espín-espín.

Es importante reconocer que los marcos son objetos geométricos . Es decir, los campos vectoriales tienen sentido (en una variedad suave) independientemente de la elección de un gráfico de coordenadas , y (en una variedad lorentziana), también lo tienen las nociones de ortogonalidad y longitud. Por lo tanto, al igual que los campos vectoriales y otras cantidades geométricas, los campos de marcos se pueden representar en varios gráficos de coordenadas. Los cálculos de los componentes de las cantidades tensoriales, con respecto a un marco dado, siempre arrojarán el mismo resultado, independientemente del gráfico de coordenadas que se utilice para representar el marco.

Estos campos son necesarios para escribir la ecuación de Dirac en el espacio-tiempo curvo .

Especificación de un marco

Para escribir un marco, se debe elegir un diagrama de coordenadas en la variedad de Lorentz. Luego, cada campo vectorial en la variedad se puede escribir como una combinación lineal de los cuatro campos vectoriales de base de coordenadas :

${\displaystyle {\vec {X}}=X^{\mu }\,\partial _{x^{\mu }}.}$

Aquí se utiliza la convención de suma de Einstein y los campos vectoriales se consideran operadores diferenciales lineales de primer orden y los componentes se denominan a menudo componentes contravariantes . Esto sigue las convenciones de notación estándar para las secciones de un fibrado tangente . Las notaciones alternativas para los campos vectoriales de base de coordenadas de uso común son ${\displaystyle X^{\mu }}$ ${\displaystyle \partial /\partial x^{\mu }\equiv \partial _{x^{\mu }}\equiv \partial _{\mu }.}$

En particular, los campos vectoriales en el marco se pueden expresar de esta manera:

${\displaystyle {\vec {e}}_{a}={e_{a}}^{\mu }\,\partial _{x^{\mu }}.}$

Al "diseñar" un marco, naturalmente hay que asegurarse, utilizando la métrica dada , de que los cuatro campos vectoriales sean ortonormales en todas partes.

Los textos más modernos adoptan la notación para y o para . Esto permite el truco visualmente ingenioso de escribir la métrica del espacio-tiempo como el producto externo de los vectores tangentes de coordenadas: ${\displaystyle \mathbf {g} _{\mu }}$ ${\displaystyle \partial _{x^{\mu }}}$ ${\displaystyle \gamma _{a}}$ ${\displaystyle \sigma _{a}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{a}}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\mathbf {g} _{\mu }\otimes \mathbf {g} _{\nu }}$

y la métrica de Minkowski del espacio plano como producto de las gammas:

${\displaystyle \eta _{ab}=\gamma _{a}\otimes \gamma _{b}}$

La elección de para la notación es una fusión intencional con la notación utilizada para las matrices de Dirac ; permite que se tomen no solo como vectores, sino como elementos de un álgebra, el álgebra del espacio-tiempo . Si se utiliza de manera apropiada, esto puede simplificar parte de la notación utilizada para escribir una conexión de espín . ${\displaystyle \gamma _{a}}$ ${\displaystyle \gamma _{a}}$

Una vez que se adopta una firma, por dualidad cada vector de una base tiene un covector dual en la cobase y viceversa. Por lo tanto, cada campo de marco está asociado con un campo de comarco único , y viceversa; un campo de comarco es un conjunto de cuatro secciones ortogonales del fibrado cotangente .

Especificación de la métrica mediante un coframe

Alternativamente, el tensor métrico se puede especificar escribiendo un coframe en términos de una base de coordenadas y estipulando que el tensor métrico está dado por

${\displaystyle g=-\sigma ^{0}\otimes \sigma ^{0}+\sum _{i=1}^{3}\sigma ^{i}\otimes \sigma ^{i},}$

donde denota producto tensorial . Esta es solo una forma elegante de decir que el coframe es ortonormal . Ya sea que esto se use para obtener el tensor métrico después de escribir el marco (y pasarlo al coframe dual), o comenzar con el tensor métrico y usarlo para verificar que se ha obtenido un marco por otros medios, siempre debe ser cierto. ${\displaystyle \otimes }$

Relación con el tensor métrico, en base a coordenadas

El campo Vierbein, , tiene dos tipos de índices: etiqueta la coordenada general del espacio-tiempo y etiqueta el espacio-tiempo de Lorentz local o las coordenadas del laboratorio local. ${\displaystyle e_{\ a}^{\mu }}$ ${\displaystyle \mu \,}$ ${\displaystyle a\,}$

El campo de Vierbein o campos de marco pueden considerarse como la "raíz cuadrada matricial" del tensor métrico , , ya que en una base de coordenadas, ${\displaystyle g^{\mu \nu }\,}$

${\displaystyle g^{\mu \nu }=e_{\ a}^{\mu }e_{\ b}^{\nu }\eta ^{ab}\,}$

¿Dónde está la métrica de Lorentz ? ${\displaystyle \eta ^{ab}\,}$

Los índices de Lorentz locales se elevan y se reducen con la métrica de Lorentz de la misma manera que las coordenadas generales del espacio-tiempo se elevan y se reducen con el tensor métrico. Por ejemplo:

${\displaystyle T^{a}=\eta ^{ab}T_{b}.}$

El campo de Vierbein permite la conversión entre el espacio-tiempo y los índices locales de Lorentz. Por ejemplo:

${\displaystyle T_{a}=e_{\ a}^{\mu }T_{\mu }.}$

El campo Vierbein en sí se puede manipular de la misma manera:

${\displaystyle e_{\ a}^{\nu }=e_{\ a}^{\mu }e_{\ \mu }^{\nu }\,}$, desde ${\displaystyle e_{\ \mu }^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }.}$

Y estos pueden combinarse.

${\displaystyle T^{a}=e_{\mu }^{\ a}T^{\mu }.}$

Algunos ejemplos más: el espacio-tiempo y las coordenadas locales de Lorentz se pueden mezclar:

${\displaystyle T^{\mu a}=e_{\nu }^{\ a}T^{\mu \nu }.}$

Las coordenadas locales de Lorentz se transforman de forma diferente a las coordenadas generales del espacio-tiempo. En una transformación de coordenadas generales tenemos:

${\displaystyle T'^{\mu a}={\frac {\partial x'^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}T^{\nu a}}$

Mientras que bajo una transformación local de Lorentz tenemos:

${\displaystyle T'^{\mu a}=\Lambda (x)_{\ b}^{a}T^{\mu b}.}$

Comparación con base de coordenadas

Los vectores de base de coordenadas tienen la propiedad especial de que sus corchetes de Lie por pares se anulan. Excepto en regiones localmente planas, al menos algunos corchetes de Lie de campos vectoriales de un marco no se anularán. El bagaje resultante necesario para realizar cálculos con ellos es aceptable, ya que los componentes de los objetos tensoriales con respecto a un marco (pero no con respecto a una base de coordenadas) tienen una interpretación directa en términos de mediciones realizadas por la familia de observadores ideales correspondientes al marco.

Los vectores de base de coordenadas pueden ser nulos , lo que, por definición, no puede suceder con los vectores de marco.

Marcos inerciales y no giratorios

Algunos marcos son más agradables que otros. Particularmente en soluciones de vacío o electrovacío , la experiencia física de los observadores inerciales (que no sienten fuerzas) puede ser de particular interés. La caracterización matemática de un marco inercial es muy simple: las curvas integrales del campo vectorial unitario temporal deben definir una congruencia geodésica , o en otras palabras, su vector de aceleración debe anularse:

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{0}=0}$

A menudo también es deseable garantizar que la tríada espacial que lleva cada observador no rote . En este caso, la tríada puede considerarse giroestabilizada . El criterio para un marco inercial sin giro (NSI) es nuevamente muy simple:

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{j}=0,\;\;j=0\dots 3}$

Esto dice que a medida que nos movemos a lo largo de la línea de mundo de cada observador, su tríada espacial se transporta en paralelo . Los marcos inerciales sin giro ocupan un lugar especial en la relatividad general, porque son lo más cercano que podemos llegar en una variedad lorentziana curva a los marcos de Lorentz utilizados en la relatividad especial (estos son marcos inerciales especiales sin giro en el vacío de Minkowski ).

De manera más general, si la aceleración de nuestros observadores no es cero, podemos reemplazar las derivadas covariantes ${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{0}\neq 0}$

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{j},\;j=1\dots 3}$

con las derivadas de Fermi-Walker (proyectadas espacialmente) para definir un marco no giratorio .

Dada una variedad lorentziana, podemos encontrar infinitos cuerpos de referencia, incluso si necesitamos propiedades adicionales como el movimiento inercial. Sin embargo, un cuerpo de referencia dado podría perfectamente estar definido solo en una parte de la variedad.

Ejemplo: Observadores estáticos en el vacío de Schwarzschild

Resultará instructivo considerar con cierto detalle algunos ejemplos sencillos. Consideremos el famoso vacío de Schwarzschild , que modela el espacio-tiempo fuera de un objeto masivo, simétrico y esférico, que no gira y está aislado, como una estrella. En la mayoría de los libros de texto se encuentra el tensor métrico escrito en términos de un diagrama esférico polar estático, de la siguiente manera:

${\displaystyle ds^{2}=-(1-2m/r)\,dt^{2}+{\frac {dr^{2}}{1-2m/r}}+r^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\right)}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\;2m<r<\infty ,\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

Más formalmente, el tensor métrico se puede expandir con respecto a la cobase de coordenadas como

${\displaystyle g=-(1-2m/r)\,dt\otimes dt+{\frac {1}{1-2m/r}}\,dr\otimes dr+r^{2}\,d\theta \otimes d\theta +r^{2}\sin(\theta )^{2}\,d\phi \otimes d\phi }$

Un coframe se puede leer a partir de esta expresión:

${\displaystyle \sigma ^{0}={\sqrt {1-2m/r}}\,dt,\;\sigma ^{1}={\frac {dr}{\sqrt {1-2m/r}}},\;\sigma ^{2}=rd\theta ,\;\sigma ^{3}=r\sin(\theta )d\phi }$

Para ver que este coframe realmente corresponde al tensor métrico de Schwarzschild, simplemente conecte este coframe en

${\displaystyle g=-\sigma ^{0}\otimes \sigma ^{0}+\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}+\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{2}+\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{3}}$

El marco dual es el comarco inverso como se muestra a continuación: (el marco dual también se transpone para mantener el índice local en la misma posición).

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-2m/r}}}\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}={\sqrt {1-2m/r}}\partial _{r},\;{\vec {e}}_{2}={\frac {1}{r}}\partial _{\theta },\;{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}}\partial _{\phi }}$

(El signo más en asegura que apunta hacia el futuro ). Este es el marco que modela la experiencia de los observadores estáticos que usan motores de cohetes para "flotar" sobre el objeto masivo . El empuje que necesitan para mantener su posición está dado por la magnitud del vector de aceleración. ${\displaystyle \sigma ^{0}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{0}=-{\frac {m/r^{2}}{\sqrt {1-2m/r}}}\,{\vec {e}}_{1}}$

Esto apunta radialmente hacia adentro, ya que los observadores necesitan acelerar para alejarse del objeto y evitar caer hacia él. Por otro lado, las derivadas de Fermi proyectadas espacialmente de los vectores de base espacial (con respecto a ) se anulan, por lo que se trata de un marco sin giro. ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

Ahora se pueden calcular los componentes de varias cantidades tensoriales con respecto a nuestro marco y su co-marco dual.

Por ejemplo, el tensor de marea para nuestros observadores estáticos se define utilizando la notación tensorial (para una base de coordenadas) como

${\displaystyle E[X]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}$

donde escribimos para evitar saturar la notación. Sus únicos componentes distintos de cero con respecto a nuestro coframe resultan ser ${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle E[X]_{11}=-2m/r^{3},\;E[X]_{22}=E[X]_{33}=m/r^{3}}$

Los componentes de la base de coordenadas correspondientes son

${\displaystyle E[X]_{rr}=-2m/r^{3}/(1-2m/r),\;E[X]_{\theta \theta }=m/r,\;E[X]_{\phi \phi }=m\sin(\theta )^{2}/r}$

(Una nota rápida sobre la notación: muchos autores colocan signos de circunvalación sobre índices abstractos que hacen referencia a un marco. Al escribir componentes específicos , es conveniente denotar los componentes del marco por 0,1,2,3 y los componentes de coordenadas por . Dado que una expresión como no tiene sentido como ecuación tensorial , no debería haber posibilidad de confusión). ${\displaystyle t,r,\theta ,\phi }$ ${\displaystyle S_{ab}=36m/r}$

Compare el tensor de marea de la gravedad newtoniana, que es la parte sin trazas del hessiano del potencial gravitatorio . Utilizando la notación tensorial para un campo tensorial definido en el espacio euclidiano tridimensional, esto se puede escribir ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \Phi _{ij}=U_{,ij}-{\frac {1}{3}}{U^{,k}}_{,k}\,\eta _{ij}}$

El lector puede desear analizar esto (observe que el término de traza en realidad desaparece de manera idéntica cuando U es armónico) y comparar los resultados con el siguiente enfoque elemental: podemos comparar las fuerzas gravitacionales sobre dos observadores cercanos que se encuentran en la misma línea radial:

${\displaystyle m/(r+h)^{2}-m/r^{2}=-2mh/r^{3}+3mh^{2}/r^{4}+O(h^{3})}$

Como al analizar los tensores estamos tratando con álgebra multilineal , solo conservamos los términos de primer orden, por lo que . De manera similar, podemos comparar la fuerza gravitacional sobre dos observadores cercanos que se encuentran sobre la misma esfera . Usando algo de trigonometría elemental y la aproximación de ángulos pequeños, encontramos que los vectores de fuerza difieren en un vector tangente a la esfera que tiene magnitud ${\displaystyle \Phi _{11}=-2m/r^{3}}$ ${\displaystyle r=r_{0}}$

${\displaystyle {\frac {m}{r_{0}^{2}}}\,\sin(\theta )\approx {\frac {m}{r_{0}^{2}}}\,{\frac {h}{r_{0}}}={\frac {m}{r_{0}^{3}}}\,h}$

Al utilizar la aproximación de ángulos pequeños, hemos ignorado todos los términos de orden , por lo que los componentes tangenciales son . Aquí, nos referimos al marco obvio obtenido a partir del diagrama esférico polar para nuestro espacio euclidiano tridimensional: ${\displaystyle O(h^{2})}$ ${\displaystyle \Phi _{22}=\Phi _{33}=m/r^{3}}$

${\displaystyle {\vec {\epsilon }}_{1}=\partial _{r},\;{\vec {\epsilon }}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta },\;{\vec {\epsilon }}_{3}={\frac {1}{r\sin \theta }}\,\partial _{\phi }}$

Es evidente que los componentes de coordenadas calculados anteriormente ni siquiera tienen la escala adecuada, por lo que claramente no pueden corresponder a lo que un observador mediría ni siquiera de manera aproximada. (Por coincidencia, los componentes del tensor de marea newtoniano coinciden exactamente con los componentes del tensor de marea relativista que escribimos anteriormente). ${\displaystyle E[X]_{\theta \theta },\,E[X]_{\phi \phi }}$

Ejemplo: Observadores de Lemaître en el vacío de Schwarzschild

Para encontrar un sistema inercial, podemos impulsar nuestro sistema estático en la dirección de un parámetro de impulso indeterminado (dependiendo de la coordenada radial), calcular el vector de aceleración del nuevo sistema indeterminado, igualarlo a cero y resolver el parámetro de impulso desconocido. El resultado será un sistema que podemos usar para estudiar la experiencia física de los observadores que caen libre y radialmente hacia el objeto masivo. Al elegir apropiadamente una constante de integración, obtenemos el sistema de los observadores de Lemaître , que caen desde el reposo en el infinito espacial . (Esta frase no tiene sentido, pero el lector sin duda no tendrá dificultad en entender nuestro significado). En el diagrama esférico polar estático, este sistema se obtiene a partir de las coordenadas de Lemaître y se puede escribir como ${\displaystyle {\vec {e}}_{1}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\frac {1}{1-2m/r}}\,\partial _{t}-{\sqrt {2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{1}=\partial _{r}-{\frac {\sqrt {2m/r}}{1-2m/r}}\,\partial _{t}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }}$

Nótese que , y que "se inclina hacia adentro", como debería, ya que sus curvas integrales son geodésicas temporales que representan las líneas del universo de los observadores que caen . De hecho, dado que las derivadas covariantes de los cuatro vectores de base (tomados con respecto a ) se desvanecen de manera idéntica, nuestro nuevo marco es un marco inercial sin rotación . ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}\neq {\vec {f}}_{0},\;{\vec {e}}_{1}\neq {\vec {f}}_{1}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

Si nuestro objeto masivo es de hecho un agujero negro (no giratorio) , probablemente queramos seguir la experiencia de los observadores de Lemaître mientras caen a través del horizonte de sucesos en . Dado que las coordenadas esféricas polares estáticas tienen una singularidad de coordenadas en el horizonte, necesitaremos cambiar a un gráfico de coordenadas más apropiado. La opción más simple posible es definir una nueva coordenada de tiempo mediante ${\displaystyle r=2m}$

${\displaystyle T(t,r)=t-\int {\frac {\sqrt {2m/r}}{1-2m/r}}\,dr=t+2{\sqrt {2mr}}+2m\log \left({\frac {{\sqrt {r}}-{\sqrt {2m}}}{{\sqrt {r}}+{\sqrt {2m}}}}\right)}$

Esto da como resultado el gráfico Painlevé . El nuevo elemento de línea es

${\displaystyle ds^{2}=-dT^{2}+\left(dr+{\sqrt {2m/r}}\,dT\right)^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\right)}$

${\displaystyle -\infty <T<\infty ,\;0<r<\infty ,\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

Con respecto al gráfico de Painlevé, el marco de Lemaître es

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}=\partial _{T}-{\sqrt {2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{1}=\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }}$

Observe que su tríada espacial se parece exactamente al marco del espacio euclidiano tridimensional que mencionamos anteriormente (cuando calculamos el tensor de marea newtoniano). De hecho, las hipersecciones espaciales resultan ser localmente isométricas respecto del espacio euclidiano tridimensional plano (esta es una propiedad notable y bastante especial del vacío de Schwarzschild; la mayoría de los espacio-tiempos no admiten una división en secciones espaciales planas). ${\displaystyle T=T_{0}}$

El tensor de marea tomado con respecto a los observadores de Lemaître es

${\displaystyle E[Y]_{ab}=R_{ambn}\,Y^{m}\,Y^{n}}$

donde escribimos para evitar saturar la notación. Este es un tensor diferente del que obtuvimos anteriormente, porque se define utilizando una familia diferente de observadores . No obstante, sus componentes no nulos parecen familiares: . (Esta es nuevamente una propiedad bastante especial del vacío de Schwarzschild). ${\displaystyle Y={\vec {f}}_{0}}$ ${\displaystyle E[Y]_{11}=-2m/r^{3},\,E[Y]_{22}=E[Y]_{33}=m/r^{3}}$

Obsérvese que simplemente no hay manera de definir observadores estáticos en el horizonte de eventos o dentro de él. Por otro lado, los observadores de Lemaître tampoco están definidos en toda la región exterior cubierta por el gráfico esférico polar estático, por lo que en estos ejemplos, ni el marco de Lemaître ni el marco estático están definidos en toda la variedad.

Ejemplo: Observadores de Hagihara en el vacío de Schwarzschild

De la misma manera que encontramos los observadores de Lemaître, podemos aumentar nuestro marco estático en la dirección mediante un parámetro indeterminado (dependiendo de la coordenada radial), calcular el vector de aceleración y exigir que este se anule en el plano ecuatorial . El nuevo marco de Hagihara describe la experiencia física de los observadores en órbitas circulares estables alrededor de nuestro objeto masivo. Al parecer, fue discutido por primera vez por el astrónomo Yusuke Hagihara . ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}}$ ${\displaystyle \theta =\pi /2}$

En el gráfico esférico polar estático, el marco de Hagihara es

${\displaystyle {\vec {h}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-3m/r}}}\,\partial _{t}+{\frac {\sqrt {m/r^{3}}}{{\sqrt {1-3m/r}}\,\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{1}={\sqrt {1-2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{3}={\frac {\sqrt {1-2m/r}}{r{\sqrt {1-3m/r}}\,\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }+{\frac {\sqrt {m/r}}{{\sqrt {1-2m/r}}\,{\sqrt {1-3m/r}}}}\,\partial _{t}}$

que en el plano ecuatorial se convierte en

${\displaystyle {\vec {h}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-3m/r}}}\,\partial _{t}+{\frac {\sqrt {m/r^{3}}}{\sqrt {1-3m/r}}}\,\partial _{\phi }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{1}={\sqrt {1-2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{3}={\frac {\sqrt {1-2m/r}}{r{\sqrt {1-3m/r}}}}\,\partial _{\phi }+{\frac {\sqrt {m/r}}{{\sqrt {1-2m/r}}\,{\sqrt {1-3m/r}}}}\,\partial _{t}}$

El tensor de marea resulta estar dado (en el plano ecuatorial) por ${\displaystyle E[Z]_{ab}}$ ${\displaystyle {\vec {Z}}={\vec {h}}_{0}}$

${\displaystyle E[Z]_{11}=-{\frac {m}{r^{3}}}\,{\frac {2-3m/r}{1-2m/r}}=-{\frac {2m}{r^{3}}}-{\frac {m^{2}}{r^{4}}}+O(1/r^{5})}$

${\displaystyle E[Z]_{22}={\frac {m}{r^{3}}}\,{\frac {1}{1-3m/r}}=-{\frac {m}{r^{3}}}+{\frac {3m^{2}}{r^{4}}}+O(1/r^{5})}$

${\displaystyle E[Z]_{33}={\frac {m}{r^{3}}}}$

Así, en comparación con un observador estático flotando en un radio de coordenadas dado, un observador de Hagihara en una órbita circular estable con el mismo radio de coordenadas medirá fuerzas de marea radiales que son ligeramente mayores en magnitud, y fuerzas de marea transversales que ya no son isotrópicas (sino ligeramente mayores ortogonales a la dirección del movimiento).

Tenga en cuenta que el marco de Hagihara solo está definido en la región . De hecho, las órbitas circulares estables solo existen en , por lo que el marco no debe usarse dentro de este lugar geométrico. ${\displaystyle r>3m}$ ${\displaystyle r>6m}$

El cálculo de las derivadas de Fermi muestra que el campo de marco que acabamos de dar está, de hecho, girando con respecto a un marco giroestabilizado. La razón principal es fácil de detectar: ​​en este marco, cada observador de Hagihara mantiene sus vectores espaciales alineados radialmente , por lo que giran a medida que el observador orbita alrededor del objeto masivo central. Sin embargo, después de corregir esta observación, aún permanece una pequeña precesión del eje de giro de un giroscopio llevado por un observador de Hagihara; este es el efecto de precesión de De Sitter (también llamado efecto de precesión geodésica ). ${\displaystyle {\vec {h}}_{1},\;{\vec {h}}_{3}}$ ${\displaystyle {\vec {h}}_{2}}$

Generalizaciones

Este artículo se ha centrado en la aplicación de los marcos a la relatividad general, y en particular en su interpretación física. Aquí esbozamos muy brevemente el concepto general. En una variedad riemanniana n -dimensional o variedad pseudo-riemanniana , un campo de marcos es un conjunto de campos vectoriales ortonormales que forman una base para el espacio tangente en cada punto de la variedad. Esto es posible globalmente de manera continua si y solo si la variedad es paralelizable . Como antes, los marcos se pueden especificar en términos de una base de coordenadas dada, y en una región no plana, algunos de sus corchetes de Lie por pares no se desvanecerán.

De hecho, dado cualquier espacio de producto interno , podemos definir un nuevo espacio que consiste en todas las tuplas de bases ortonormales para . Aplicando esta construcción a cada espacio tangente obtenemos el fibrado ortonormal de una variedad (pseudo)riemanniana y un cuerpo de fibra es una sección de este fibrado. De manera más general, podemos considerar fibrados de fibra asociados a cualquier fibrado vectorial , o incluso fibrados principales arbitrarios de fibras . La notación se vuelve un poco más complicada porque es más difícil evitar distinguir entre índices que hacen referencia a la base e índices que hacen referencia a la fibra. Muchos autores hablan de componentes internos cuando se refieren a componentes indexados por la fibra. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Véase también

• Soluciones exactas en relatividad general
• Georges Lemaître
• Karl Schwarzschild
• Marco móvil
• Paul Painlevé
• Formalismo de tétrada
• Yusuke Hagihara

Referencias

1. Albert Einstein "Riemann-Geometrie mit Aufrechterhaltung des Begriffes des Fernparallelismus", Sitzungsberichte der Preussischen Akademieder Wissenschaften, Physikalisch-MathematischeKlasse , p217-221, 7.6.1928, http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/MPIWG:YP5DFQU1 . Traducción al inglés disponible en Jeffrey Yepez, "Einstein's Vierbein Field Theory of Curved Space", https://arxiv.org/abs/1106.2037.
2. Hermann Weyl "Elektron und Gravitation I", Zeitschrift Physik , 56, p330-352, 1929.

• Manuel Tecchiolli (2019). "Sobre las matemáticas del formalismo de Coframe y la teoría de Einstein-Cartan: una breve revisión". Universe . 5(10) (Torsion Gravity): 206. arXiv : 2008.08314 . Bibcode :2019Univ....5..206T. doi : 10.3390/universe5100206 .
• Flanders, Harley (1989). Formas diferenciales con aplicaciones a las ciencias físicas . Nueva York: Dover. ISBN 0-486-66169-5.Véase el Capítulo IV para los marcos en E ³ , y luego el Capítulo VIII para los cuerpos de marcos en las variedades de Riemann . Este libro no cubre realmente las variedades de Lorentz, pero con estos antecedentes en la mano el lector está bien preparado para la próxima cita.
• Misner, Charles; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.En este libro, un campo de marco (campo de comarco) se denomina base anholonómica de vectores (covectores) . La información esencial está muy dispersa, pero se puede encontrar fácilmente utilizando el extenso índice.
• Landau, LD; Lifschitz, EF (1980). La teoría clásica de campos (4.ª ed.) . Londres: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-2768-9.En este libro, un cuerpo de marco se denomina tétrada ( no debe confundirse con el término ahora estándar tétrada NP utilizado en el formalismo de Newman-Penrose ). Véase la Sección 98 .
• De Felice, F.; Clarke, CJ (1992). Relatividad en variedades curvas . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-42908-0.Consulte el Capítulo 4 para obtener información sobre marcos y comarcos. Si alguna vez necesita más información sobre los campos de marco, este podría ser un buen lugar para buscar.