Colector de Riemann equipado con una forma p diferencial
En el campo matemático de la geometría diferencial , una variedad calibrada es una variedad de Riemann ( M , g ) de dimensión n equipada con una forma p diferencial φ (para algunos 0 ≤ p ≤ n ) que es una calibración, lo que significa que:
- φ es cerrado: d φ = 0, donde d es la derivada exterior
- para cualquier x ∈ M y cualquier subespacio p -dimensional orientado ξ de T x M , φ | ξ = λ vol ξ con λ ≤ 1. Aquí vol ξ es la forma de volumen de ξ con respecto a g .
Establecer G x ( φ ) = { ξ como arriba: φ | ξ = volumen ξ }. (Para que la teoría no sea trivial, necesitamos que G x ( φ ) no esté vacía). Sea G ( φ ) la unión de G x ( φ ) para x en M .
La teoría de las calibraciones se debe a R. Harvey y B. Lawson y otros. Mucho antes (en 1966) Edmond Bonan introdujo las variedades G 2 y las variedades Spin(7) , construyó todas las formas paralelas y demostró que esas variedades eran Ricci-planas. Las variedades Quaternion-Kähler fueron estudiadas simultáneamente en 1967 por Edmond Bonan y Vivian Yoh Kraines y construyeron la forma 4 paralela.
Subcolectores calibrados
Se dice que una subvariedad p -dimensional Σ de M es una subvariedad calibrada con respecto a φ (o simplemente φ -calibrada) si T Σ se encuentra en G ( φ ).
Un famoso argumento de una línea muestra que las subvariedades p calibradas minimizan el volumen dentro de su clase de homología . De hecho, supongamos que Σ está calibrado y Σ ′ es una subvariedad p en la misma clase de homología. Entonces
![{\displaystyle \int _{\Sigma }\mathrm {vol} _{\Sigma }=\int _{\Sigma }\varphi =\int _{\Sigma '}\varphi \leq \int _{\Sigma ' }\mathrm {vol} _{\Sigma '}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde la primera igualdad se cumple porque Σ está calibrada, la segunda igualdad es el teorema de Stokes (ya que φ es cerrado) y la desigualdad se cumple porque φ es una calibración.
Ejemplos
Referencias
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