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cúbico retorcido

En matemáticas , una cúbica torcida es una curva suave y racional C de grado tres en el espacio proyectivo tridimensional P 3 . Es un ejemplo fundamental de una curva oblicua . Es esencialmente única, hasta la transformación proyectiva ( la cúbica torcida, por lo tanto). En geometría algebraica , la cúbica torcida es un ejemplo simple de una variedad proyectiva que no es lineal ni una hipersuperficie , de hecho no es una intersección completa . Es el caso tridimensional de la curva normal racional , y es la imagen de una función veronesa de grado tres sobre la línea proyectiva .

Definición

La cúbica torcida se da más fácilmente de forma paramétrica como la imagen del mapa.

que asigna a la coordenada homogénea el valor

En un parche de coordenadas del espacio proyectivo, el mapa es simplemente la curva de momento.

Es decir, es el cierre por un solo punto en el infinito de la curva afín .

La cúbica torcida es una variedad proyectiva , definida como la intersección de tres cuádricas . En coordenadas homogéneas en P 3 , la cúbica torcida es el subesquema cerrado definido por la desaparición de los tres polinomios homogéneos.

Se puede comprobar que estas tres formas cuadráticas se desvanecen de forma idéntica cuando se utiliza la parametrización explícita anterior; es decir, se sustituye x 3 por X , y así sucesivamente.

Más fuertemente, el ideal homogéneo de la cúbica torcida C es generado por estos tres polinomios homogéneos de grado 2.

Propiedades

La cúbica torcida tiene las siguientes propiedades:

Referencias