En matemáticas, una forma cúbica cuaternaria es un polinomio homogéneo de grado 3 con cuatro variables. Los ceros forman una superficie cúbica en un espacio proyectivo tridimensional.
Salmon (1860) y Clebsch (1861, 1861b) estudiaron el anillo de invariantes de una cúbica cuaternaria, que es un anillo generado por invariantes de grados 8, 16, 24, 32, 40, 100. Los generadores de grados 8, 16, 24, 32, 40 generan un anillo polinomial. El generador de grado 100 es un invariante oblicuo, cuyo cuadrado es un polinomio en los otros generadores dados explícitamente por Salmon. Salmon también dio una fórmula explícita para el discriminante como un polinomio en los generadores, aunque Edge (1980) señaló que la fórmula tiene un error de imprenta ampliamente copiado.
Una cúbica cuaternaria genérica puede escribirse como una suma de 5 cubos de formas lineales, únicas hasta la multiplicación por raíces cúbicas de la unidad. Esto fue conjeturado por Sylvester en 1851, y demostrado 10 años después por Clebsch . La unión de los 5 planos donde se anulan estas 5 formas lineales se llama pentaedro de Sylvester .