Superficie cónica

Superficie dibujada por una línea en movimiento que pasa por un punto fijo

Un cono elíptico, un caso especial de superficie cónica

En geometría , una superficie cónica es una superficie tridimensional formada a partir de la unión de líneas que pasan por un punto fijo y una curva espacial .

Definiciones

Una superficie cónica ( general ) es la superficie ilimitada formada por la unión de todas las líneas rectas que pasan por un punto fijo —el vértice— y cualquier punto de alguna curva fija del espacio —la directriz— que no contenga el vértice. Cada una de esas líneas se llama generatriz de la superficie. La directriz se toma a menudo como una curva plana , en un plano que no contiene el vértice, pero esto no es un requisito. ^[1]

En general, una superficie cónica consta de dos mitades congruentes e ilimitadas unidas por el vértice. Cada mitad se denomina manto y es la unión de todos los rayos que comienzan en el vértice y pasan por un punto de alguna curva espacial fija. ^[2] A veces se utiliza el término "superficie cónica" para referirse a un solo manto. ^[3]

Casos especiales

Si la directriz es un círculo y el vértice está situado en el eje del círculo (la línea que contiene el centro de y es perpendicular a su plano), se obtiene la superficie cónica circular recta o cono doble . ^[2] De manera más general, cuando la directriz es una elipse o cualquier sección cónica y el vértice es un punto arbitrario que no está en el plano de , se obtiene un cono elíptico ^[4] (también llamado cono cuadrático o cuádrico cónico ), ^[5] que es un caso especial de una superficie cuádrica . ^{[4] [5]} ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

Ecuaciones

Una superficie cónica se puede describir paramétricamente como ${\displaystyle S}$

${\displaystyle S(t,u)=v+uq(t)}$,

donde es el vértice y es la directriz. ^[6] ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle q}$

Superficie relacionada

Las superficies cónicas son superficies regladas , superficies que tienen una línea recta a través de cada uno de sus puntos. ^[7] Los parches de superficies cónicas que evitan el vértice son casos especiales de superficies desarrollables , superficies que pueden desplegarse hasta un plano sin estirarse. Cuando la directriz tiene la propiedad de que el ángulo que subtiende desde el vértice es exactamente , entonces cada napa de la superficie cónica, incluido el vértice, es una superficie desarrollable. ^[8] ${\displaystyle 2\pi }$

Una superficie cilíndrica puede considerarse como un caso límite de una superficie cónica cuyo vértice se desplaza hasta el infinito en una dirección particular. De hecho, en geometría proyectiva una superficie cilíndrica es simplemente un caso especial de una superficie cónica. ^[9]

Véase también

• Sección cónica
• Cuadrárica

Referencias

1. Adler, Alphonse A. (1912), "1003. Superficie cónica", La teoría del dibujo técnico , D. Van Nostrand, pág. 166
2. Wells, Webster; Hart, Walter Wilson (1927), Geometría sólida moderna, curso graduado, libros 6-9, DC Heath, págs. 400-401
3. Shutts, George C. (1913), "640. Superficie cónica", Geometría sólida , Atkinson, Mentzer, pág. 410
4. Young, JR (1838), Geometría analítica, J. Souter, pág. 227
5. Odehnal, Boris; Stachel, Hellmuth; Glaeser, Georg (2020), "Enfoque algebraico lineal de las cuádricas", El universo de las cuádricas , Springer, págs. 91-118, doi :10.1007/978-3-662-61053-4_3, ISBN 9783662610534
6. Gray, Alfred (1997), "19.2 Superficies planas regladas", Geometría diferencial moderna de curvas y superficies con Mathematica (2.ª ed.), CRC Press, págs. 439–441, ISBN 9780849371646
7. Sociedad Matemática de Japón (1993), Ito, Kiyosi (ed.), Diccionario enciclopédico de matemáticas, vol. I: A – N (2ª ed.), MIT Press, pág. 419
8. Audoly, Basile; Pomeau, Yves (2010), Elasticidad y geometría: desde los rizos del cabello hasta la respuesta no lineal de las capas, Oxford University Press, págs. 326-327, ISBN 9780198506256
9. Giesecke, FE; Mitchell, A. (1916), Geometría descriptiva, Von Boeckmann–Jones Company, pág. 66