Cálculo operacional

Técnica para resolver ecuaciones diferenciales

El cálculo operacional , también conocido como análisis operacional , es una técnica mediante la cual los problemas de análisis , en particular las ecuaciones diferenciales , se transforman en problemas algebraicos, generalmente el problema de resolver una ecuación polinómica .

Historia

La idea de representar los procesos de cálculo, diferenciación e integración, como operadores tiene una larga historia que se remonta a Gottfried Wilhelm Leibniz . El matemático Louis François Antoine Arbogast fue uno de los primeros en manipular estos símbolos independientemente de la función a la que se aplicaran. ^[1]

Este enfoque fue desarrollado aún más por Francois-Joseph Servois, quien desarrolló notaciones convenientes. ^[2] Servois fue seguido por una escuela de matemáticos británicos e irlandeses que incluía a Charles James Hargreave , George Boole , Bownin, Carmichael, Doukin, Graves, Murphy, William Spottiswoode y Sylvester.

Robert Bell Carmichael escribió tratados que describen la aplicación de métodos de operadores a ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales ^[3] en 1855 y Boole en 1859 ^[4].

Esta técnica fue desarrollada plenamente por el físico Oliver Heaviside en 1893, en relación con su trabajo en telegrafía .

Guiado en gran medida por su intuición y su riqueza de conocimientos sobre la física detrás de sus estudios de circuitos, [Heaviside] desarrolló el cálculo operacional que ahora lleva su nombre. ^[5]

En aquella época, los métodos de Heaviside no eran rigurosos y su trabajo no fue desarrollado por los matemáticos. El cálculo operacional encontró aplicaciones por primera vez en problemas de ingeniería eléctrica , para el cálculo de transitorios en circuitos lineales después de 1910, bajo el impulso de Ernst Julius Berg , John Renshaw Carson y Vannevar Bush .

Una justificación matemática rigurosa de los métodos operacionales de Heaviside llegó sólo después del trabajo de Bromwich que relacionaba el cálculo operacional con los métodos de transformación de Laplace (ver los libros de Jeffreys, Carslaw o MacLachlan para una exposición detallada). Otras formas de justificar los métodos operacionales de Heaviside fueron introducidas a mediados de la década de 1920 utilizando técnicas de ecuaciones integrales (como las realizadas por Carson) o la transformación de Fourier (como las realizadas por Norbert Wiener ).

En la década de 1930, el matemático polaco Jan Mikusiński desarrolló un enfoque diferente al cálculo operacional , utilizando el razonamiento algebraico.

Norbert Wiener sentó las bases de la teoría de operadores en su revisión del estatus existencial del cálculo operacional en 1926: ^[6]

El brillante trabajo de Heaviside es puramente heurístico, desprovisto incluso de la pretensión de rigor matemático. Sus operadores se aplican a voltajes y corrientes eléctricas, que pueden ser discontinuas y ciertamente no necesitan ser analíticas. Por ejemplo, el corpus vírico favorito en el que prueba sus operadores es una función que se anula a la izquierda del origen y es 1 a la derecha. Esto excluye cualquier aplicación directa de los métodos de Pincherle…

Aunque los desarrollos de Heaviside no han sido justificados por el estado actual de la teoría puramente matemática de los operadores, hay una gran cantidad de lo que podríamos llamar evidencia experimental de su validez, y son muy valiosos para los ingenieros eléctricos . Sin embargo, hay casos en los que conducen a resultados ambiguos o contradictorios.

Principio

El elemento clave del cálculo operacional es considerar la diferenciación como un operador p = ⁠d/el o⁠ actuando sobre funciones . Las ecuaciones diferenciales lineales pueden entonces ser reformuladas en forma de "funciones" F (p) del operador p actuando sobre la función desconocida igualando la función conocida. Aquí, F está definiendo algo que toma un operador p y devuelve otro operador F (p) . Las soluciones se obtienen entonces haciendo que el operador inverso de F actúe sobre la función conocida. El cálculo operacional generalmente se tipifica por dos símbolos: el operador p y la función unitaria 1 . El operador en su uso probablemente sea más matemático que físico, la función unitaria más física que matemática. El operador p en el cálculo de Heaviside inicialmente es para representar el diferenciador de tiempo ⁠d/el o⁠ . Además, se desea que este operador tenga la relación recíproca tal que p ⁻¹ denota la operación de integración. ^[5]

En la teoría de circuitos eléctricos, se intenta determinar la respuesta de un circuito eléctrico a un impulso. Debido a la linealidad, es suficiente considerar un paso unitario :

Función escalón de Heaviside : H ( t ) tal que H ( t ) = 0 si t < 0 y H ( t ) = 1 si t > 0.

El ejemplo más simple de aplicación del cálculo operacional es resolver: p y = H ( t ) , lo que da

${\displaystyle y=\operatorname {p} ^{-1}H=\int _{0}^{t}H(u)\,du=t\,H(t).}$

En este ejemplo, se puede ver que representa la integración . Además, n integraciones iteradas se representan por lo que ${\displaystyle \operatorname {p} ^{-1}}$ ${\displaystyle \operatorname {p} ^{-n},}$

${\displaystyle \operatorname {p} ^{-n}H(t)={\frac {t^{n}}{n!}}H(t).}$

Continuando tratando p como si fuera una variable,

${\displaystyle {\frac {\operatorname {p} }{\operatorname {p} -a}}H(t)={\frac {1}{1-{\frac {a}{\operatorname {p} }}}}\,H(t),}$

que puede reescribirse utilizando una expansión de serie geométrica : $${\displaystyle {\frac {1}{1-{\frac {a}{\operatorname {p} }}}}H(t)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\operatorname {p} ^{-n}H(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{n}t^{n}}{n!}}H(t)=e^{at}H(t).}$$

Utilizando la descomposición en fracciones parciales , se puede definir cualquier fracción en el operador p y calcular su acción sobre H ( t ) . Además, si la función 1/ F (p) tiene una expansión en serie de la forma

${\displaystyle {\frac {1}{F(\operatorname {p} )}}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\operatorname {p} ^{-n},}$

Es fácil de encontrar

${\displaystyle {\frac {1}{F(\operatorname {p} )}}H(t)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}H(t).}$

Aplicando esta regla, la resolución de cualquier ecuación diferencial lineal se reduce a un problema puramente algebraico.

Heaviside fue más allá y definió la potencia fraccionaria de p, estableciendo así una conexión entre el cálculo operacional y el cálculo fraccionario .

Utilizando la expansión de Taylor , también se puede verificar la fórmula de traducción de Lagrange-Boole , e ^{a p} f ( t ) = f ( t + a ) , por lo que el cálculo operacional también es aplicable a ecuaciones de diferencias finitas y a problemas de ingeniería eléctrica con señales retardadas.

Véase también

• Cálculo de diferencias finitas
• Cálculo umbral

Referencias

1. Louis Arbogast (1800) El cálculo de las derivaciones, enlace desde Google Books
2. Francois-Joseph Servois (1814) Análisis trascendente. Essai sur un Nouveau Mode d'Exposition des Principes der Calcul Differential, Annales de Gergonne 5: 93-140
3. Robert Bell Carmichael (1855) Un tratado sobre el cálculo de operaciones, Longman, enlace desde Google Books
4. George Boole (1859) Tratado sobre ecuaciones diferenciales, capítulos 16 y 17: Métodos simbólicos, enlace desde HathiTrust
5. BL Robertson (1935) Método operacional de análisis de circuitos, Transactions of the American Institute of Electrical Engineers 54(10):1035–45, enlace desde IEEE Explore
6. Norbert Wiener (1926) El cálculo operacional, Mathematische Annalen 95:557, enlace de Göttingen Digitalisierungszentrum

Otras fuentes

Durante la vida de Heaviside

• Terquem y Geroñó (1855). " [sin título citado] ". Nuevos anales de matemáticas . 14 : 83.—Algunas referencias históricas sobre la obra precursora hasta Carmichael].

• Heaviside, Oliver (1892). Electrical Papers . Londres, Reino Unido.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

• Heaviside, Oliver (1902) [1893, 1899]. Teoría electromagnética . Londres, Reino Unido.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

• Heaviside, Oliver (1893). "III. Sobre operadores en matemáticas físicas. Parte I". Actas de la Royal Society de Londres . 52 : 504–529. doi :10.1098/rspl.1892.0093. ISSN  0370-1662.

Heaviside, Oliver (1894). "VIII. Sobre operadores en matemáticas físicas. Parte II". Actas de la Royal Society de Londres . 54 (326–330): 105–143. doi :10.1098/rspl.1893.0059. ISSN  0370-1662. S2CID  121790063.

Después de la muerte de Heaviside

• Berg, E. (1929). Cálculo operacional de Heaviside. McGraw-Hill – vía Internet Archive (archive.org).

• Bush, V. (1929). Análisis de circuitos operacionales . John Wiley & Sons. con un apéndice de Norbert Wiener.

• Calvert, James B. (2002). "Heaviside, Laplace y la integral de inversión". mysite.du.edu (pers. académica). Universidad de Denver .

• Carslaw, HS (1941). Métodos operacionales en matemáticas aplicadas. Oxford University Press . Archivado desde el original el 19 de julio de 2011 – vía www.new.dli.ernet.in.

• Carson, JR (enero-febrero de 1926). «El cálculo operacional de Heaviside». Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 32 (1): 43–68. doi : 10.1090/S0002-9904-1926-04162-8 . Consultado el 7 de diciembre de 2023 – a través de Project Euclid (projecteuclid.org).

• Carson, JR (1926). Teoría de circuitos eléctricos y cálculo operacional . McGraw Hill.

• Churchill, RV (1958). Matemáticas operacionales . McGraw-Hill .

• Davis, HT (1936). La teoría de los operadores lineales. Bloomington, IL: Principia Press – vía Internet Archive (archive.org).

• Erdélyi, A. (2013) [1962]. Cálculo operacional y funciones generalizadas (edición reimpresa). Dover. ISBN 978-0486497129.

• Jeffreys, H. (1927). Métodos operacionales en física matemática. Cambridge University Press. Archivado desde el original el 19 de julio de 2011 – vía www.new.dli.ernet.in.

• Jeffreys, H. (1927). Métodos operacionales en física matemática. Cambridge University Press – vía Internet Archive (archive.org).

• Lützen, J. (1979). "El cálculo operacional de Heaviside y los intentos de hacerlo más riguroso". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 21 (2): 161–200. doi :10.1007/BF00330405. S2CID  118606242.

• Mc Lachlan, NW (1941). Cálculo operacional moderno. MacMillan. Archivado desde el original el 19 de julio de 2011 – vía www.new.dli.ernet.in.

• March, HW (mayo-junio de 1927). "El cálculo operacional de Heaviside". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 33 (3): 311–318. doi : 10.1090/S0002-9904-1927-04363-4 – vía Project Euclid (projecteuclid.org).

"Una corrección". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 33 (4): 492. Julio-agosto de 1927. doi :10.1090/S0002-9904-1927-04412-3 . Consultado el 7 de diciembre de 2023 – a través de Project Euclid (projecteuclid.org).

• Mikusiński, J. (1960). Cálculo operacional . Elsevier .

• Nahin, PJ (1985). "Oliver Heaviside: operadores fraccionarios y la edad de la Tierra". IEEE Transactions on Education . E-28 (2): 94–104. Bibcode :1985ITEdu..28...94N. doi :10.1109/TE.1985.4321749. S2CID  7161941 – vía IEEE Explore .

• Rota, GC; Kahaner, D.; Odlyzko, A. (1973). "Sobre los fundamentos de la teoría combinatoria. VIII. Cálculo de operadores finitos". Journal of Mathematical Analysis and Applications . 42 (3): 684. doi : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 .

• van der Pol , B .; Bremmer, H. (1950). Cálculo operacional . Cambridge University Press .

• van der Pol , B. (1950). "Cálculo operacional de Heaviside". Volumen del centenario de Heaviside . Instituto de Ingenieros Eléctricos .

Enlaces externos

• IV Lindell HEAVISIDE REGLAS OPERACIONALES APLICABLES A PROBLEMAS ELECTROMAGNÉTICOS
• Cálculo de Ron Doerfler Heaviside
• Ensayo de Jack Crenshaw que muestra el uso de operadores Más sobre la piedra de Rosetta