Cálculo exterior de elementos finitos.

El cálculo exterior de elementos finitos (FEEC) es un marco matemático que formula métodos de elementos finitos utilizando complejos de cadenas . Su principal aplicación ha sido una teoría integral para métodos de elementos finitos en electromagnetismo computacional, mecánica computacional de sólidos y fluidos. FEEC fue desarrollado a principios de la década de 2000 por Douglas N. Arnold , Richard S. Falk y Ragnar Winther , ^{[1] [2] [3]} entre otros. ^{[4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12]} El cálculo exterior de elementos finitos a veces se denomina como ejemplo de una técnica de discretización compatible y tiene similitudes con el cálculo exterior discreto. , aunque son teorías distintas.

Se comienza reconociendo que los operadores diferenciales utilizados suelen formar parte de complejos: la aplicación sucesiva da como resultado cero. Luego, la redacción de los operadores diferenciales de ecuaciones diferenciales relevantes y condiciones de contorno relevantes como un Hodge Laplaciano . Los términos laplacianos de Hodge se dividen mediante la descomposición de Hodge . Luego se genera una formulación de punto de silla variacional relacionada para cantidades mixtas . La discretización a un subcomplejo relacionado con la malla se realiza requiriendo una colección de operadores de proyección que conmutan con los operadores diferenciales. Entonces se puede demostrar la unicidad y la convergencia óptima en función de la densidad de la malla.

FEEC es de relevancia inmediata para la difusión , la elasticidad , el electromagnetismo y el flujo de Stokes .

Para el importante complejo de Rham , perteneciente a los operadores grad, curl y div, se han generado familias de elementos adecuadas no sólo para tetraedros, sino también para otros elementos conformados como los ladrillos. Además, también conforme a ellos se han generado elementos con forma de prisma y pirámide. Para este último, únicamente, las funciones de forma no son polinomiales. Las cantidades son formas 0 (escalares), formas 1 (gradientes), formas 2 (flujos) y formas 3 (densidades). ^[13] La difusión, el electromagnetismo y la elasticidad, ^[14] el flujo de Stokes, ^[15] la relativa general y, en realidad, todos los complejos conocidos, ^[16] pueden expresarse en términos del complejo de De Rham. Para Navier-Stokes , también puede haber posibilidades. ^{[17] [18]}

Referencias

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2. Arnold, Douglas, Richard Falk y Ragnar Winther. "Cálculo exterior de elementos finitos: de la teoría de Hodge a la estabilidad numérica". Boletín de la sociedad matemática estadounidense 47.2 (2010): 281-354.
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5. Christiansen, Snorre y Ragnar Winther. "Proyecciones suavizadas en cálculo exterior de elementos finitos". Matemáticas de la Computación 77.262 (2008): 813-829.
6. Christiansen, Snorre y Francesca Rapetti. "Sobre espacios de elementos finitos de orden superior de formas diferenciales". Matemáticas de la Computación 85.298 (2016): 517-548.
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