Biholomorfismo

Función holomorfa biyectiva con inversa holomorfa

La función exponencial compleja que asigna biholomórficamente un rectángulo a un cuarto de anillo .

En la teoría matemática de funciones de una o más variables complejas , y también en geometría algebraica compleja , un biholomorfismo o función biholomórfica es una función holomorfa biyectiva cuya inversa también es holomorfa .

Definición formal

Formalmente, una función biholomórfica es una función definida en un subconjunto abierto U del espacio complejo -dimensional C ⁿ con valores en C ⁿ que es holomorfa y biyectiva , tal que su imagen es un conjunto abierto en C ⁿ y la inversa también es holomorfa . De manera más general, U y V pueden ser variedades complejas . Como en el caso de funciones de una única variable compleja, una condición suficiente para que una función holomorfa sea biholomórfica sobre su imagen es que la función sea inyectiva, en cuyo caso la inversa también es holomorfa (p. ej., véase Gunning 1990, Teorema I.11 o Corolario E.10 pág. 57). ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}:V\to U}$

Si existe un biholomorfismo , decimos que U y V son biholomórficamente equivalentes o que son biholomórficos . ${\displaystyle \phi \colon U\to V}$

Teorema de mapeo de Riemann y generalizaciones

Si todo conjunto abierto simplemente conexo distinto del plano complejo entero es biholomorfo con respecto al disco unidad (este es el teorema de aplicación de Riemann ). La situación es muy diferente en dimensiones superiores. Por ejemplo, las bolas unitarias abiertas y los polidiscos unitarios abiertos no son biholomorfos equivalentes, ya que De hecho, ni siquiera existe una función holomorfa propia de una a la otra. ${\displaystyle n=1,}$ ${\displaystyle n>1.}$

Definiciones alternativas

En el caso de las funciones f  : U → C definidas en un subconjunto abierto U del plano complejo C , algunos autores (p. ej., Freitag 2009, Definición IV.4.1) definen una función conforme como una función inyectiva con derivada distinta de cero, es decir, f '( z )≠ 0 para cada z en U . Según esta definición, una función f  : U → C es conforme si y solo si f : U → f ( U ) es biholomorfa. Nótese que por definición de biholomorfismos, no se asume nada acerca de sus derivadas, por lo que esta equivalencia contiene la afirmación de que un homeomorfismo que es complejo diferenciable debe tener en realidad derivada distinta de cero en todas partes. Otros autores (p. ej., Conway 1978) definen una función conforme como una con derivada distinta de cero, pero sin requerir que la función sea inyectiva. Según esta definición más débil, una función conforme no necesita ser biholomórfica, aunque sea localmente biholomórfica, por ejemplo, por el teorema de la función inversa. Por ejemplo, si f : U → U se define por f ( z ) = z ² con U = C –{0}, entonces f es conforme en U , ya que su derivada f '( z ) = 2 z ≠ 0, pero no es biholomórfica, ya que es 2-1.

Referencias

• Conway, John B. (1978). Funciones de una variable compleja . Springer-Verlag. ISBN 3-540-90328-3.
• D'Angelo, John P. (1993). Varias variables complejas y la geometría de hipersuperficies reales . CRC Press. ISBN 0-8493-8272-6.
• Freitag, Eberhard; Busam, Rolf (2009). Análisis complejo . Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-93982-5.
• Gunning, Robert C. (1990). Introducción a las funciones holomorfas de varias variables, vol. II . Wadsworth. ISBN 0-534-13309-6.
• Krantz, Steven G. (2002). Teoría de funciones de varias variables complejas . American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2724-3.

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