El tablero de Galton , también conocido como caja de Galton o quincuncio o máquina de frijoles (o incorrectamente tablero de Dalton ), es un dispositivo inventado por Francis Galton [1] para demostrar el teorema del límite central , en particular que con un tamaño de muestra suficiente la distribución binomial se aproxima a una distribución normal . Entre sus aplicaciones, proporcionó información sobre la regresión a la media o "reversión a la mediocridad".
El tablero de Galton consiste en un tablero vertical con filas intercaladas de clavijas. Las cuentas se dejan caer desde la parte superior y, cuando el dispositivo está nivelado, rebotan hacia la izquierda o hacia la derecha al chocar con las clavijas. Finalmente, se recogen en contenedores en la parte inferior, donde la altura de las columnas de cuentas acumuladas en los contenedores se aproxima a una curva de campana . Al superponer el triángulo de Pascal sobre las clavijas, se muestra la cantidad de caminos diferentes que se pueden tomar para llegar a cada contenedor. [2]
Se pueden ver modelos funcionales a gran escala de este dispositivo creado por Charles y Ray Eames en las exhibiciones Mathematica: A World of Numbers... and Beyond que se exhiben permanentemente en el Museo de Ciencias de Boston , el Salón de Ciencias de Nueva York o el Museo Henry Ford . [3] La máquina del Museo Ford se exhibió en el Pabellón IBM durante la Feria Mundial de Nueva York de 1964-65 , y luego apareció en el Centro de Ciencias del Pacífico en Seattle. [4] [5] Otra versión a gran escala se exhibe en el vestíbulo de Index Fund Advisors en Irvine, California . [6]
Se pueden construir tableros para otras distribuciones cambiando la forma de los pines o sesgándolos hacia una dirección, e incluso son posibles los tableros bimodales. [7] Un tablero para la distribución log-normal (común en muchos procesos naturales , particularmente los biológicos), que utiliza triángulos isósceles de anchos variables para 'multiplicar' la distancia que recorre la cuenta en lugar de pasos de tamaños fijos que la 'sumarían', fue construido por Jacobus Kapteyn mientras estudiaba y popularizaba las estadísticas de la log-normal para ayudar a visualizarla y demostrar su plausibilidad. [8] A partir de 1963, se conservó en la Universidad de Groningen . [9] También hay una máquina log-normal mejorada que utiliza triángulos sesgados cuyos lados derechos son más largos, y así evita desplazar la mediana de las cuentas hacia la izquierda. [10]
Si una cuenta rebota hacia la derecha k veces en su camino hacia abajo (y hacia la izquierda en las clavijas restantes) termina en el k ésimo contenedor contando desde la izquierda. Denotando el número de filas de clavijas en un tablero de Galton por n , el número de caminos hacia el k ésimo contenedor en la parte inferior está dado por el coeficiente binomial . Tenga en cuenta que el contenedor más a la izquierda es el contenedor 0 , al lado está el contenedor 1 , etc. y el más a la derecha es el contenedor n - haciendo así que el número total de contenedores sea igual a n + 1 (cada fila no necesita tener más clavijas que el número que identifica la fila misma, por ejemplo, la primera fila tiene 1 clavija, la segunda 2 clavijas, hasta la n -ésima fila que tiene n clavijas que corresponden a los contenedores n + 1 ). Si la probabilidad de rebotar en una clavija es p (que equivale a 0,5 en una máquina de nivel imparcial), la probabilidad de que la pelota acabe en el k -ésimo contenedor es igual a . Esta es la función de masa de probabilidad de una distribución binomial . El número de filas corresponde al tamaño de una distribución binomial en número de intentos, mientras que la probabilidad p de cada bolo es la p del binomio .
Según el teorema del límite central (más específicamente, el teorema de De Moivre-Laplace ), la distribución binomial se aproxima a la distribución normal siempre que tanto el número de filas como el de bolas sean grandes. Variar las filas dará como resultado diferentes desviaciones estándar o anchos de la curva en forma de campana o de la distribución normal en los intervalos.
Otra interpretación más precisa desde el punto de vista físico la da la Entropía : dado que la energía que lleva cada grano que cae es finita, incluso en cualquier punto sus colisiones son caóticas porque la derivada no está definida (no hay forma de averiguar de antemano por qué lado va a caer), la media y la varianza de cada grano están restringidas a ser finitas (nunca saldrán de la caja), y la forma gaussiana surge porque es la distribución de probabilidad de máxima entropía para un proceso continuo con media y varianza definidas. El surgimiento de la distribución normal podría interpretarse como que toda la información posible que lleva cada grano relacionada con el camino que ha recorrido ya se ha perdido por completo a través de sus colisiones cuesta abajo.
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Francis Galton escribió en 1889 su libro Herencia natural :
Orden en el Caos Aparente: No conozco casi nada que pueda impresionar tanto a la imaginación como la maravillosa forma de orden cósmico expresada por la Ley de Frecuencia de Error. Los griegos habrían personificado y deificado la ley si la hubieran conocido. Reina con serenidad y en completo anonimato en medio de la más salvaje confusión. Cuanto más grande es la multitud y mayor la aparente anarquía, más perfecto es su dominio. Es la ley suprema de la Irracionalidad. Siempre que se toma en la mano una gran muestra de elementos caóticos y se los ordena por orden de magnitud, se demuestra que una insospechada y bellísima forma de regularidad ha estado latente todo el tiempo. [1] : 66
Se han desarrollado varios juegos utilizando la idea de que los bolos cambien la ruta de las bolas u otros objetos:
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