La numerología validada , o computación rigurosa , computación verificada , computación confiable , verificación numérica ( en alemán : Zuverlässiges Rechnen ) es numérica que incluye la evaluación matemáticamente estricta de errores (error de redondeo, error de truncamiento, error de discretización), y es un campo del análisis numérico . Para el cálculo, se utiliza la aritmética de intervalos y todos los resultados se representan por intervalos. Warwick Tucker utilizó la numérica validada para resolver el decimocuarto problema de Smale , [1] y hoy en día se la reconoce como una herramienta poderosa para el estudio de sistemas dinámicos . [2]
Importancia
El cálculo sin verificación puede dar lugar a resultados desafortunados. A continuación se muestran algunos ejemplos.
El ejemplo de Rump
En la década de 1980, Rump planteó un ejemplo. [3] [4] Hizo una función complicada e intentó obtener su valor. Los resultados de precisión simple, precisión doble y precisión extendida parecían ser correctos, pero su signo más-menos era diferente del valor verdadero.
Solución fantasma
Breuer–Plum–McKenna utilizó el método del espectro para resolver el problema de valor límite de la ecuación de Emden, e informó que se obtuvo una solución asimétrica. [5] Este resultado del estudio entró en conflicto con el estudio teórico de Gidas–Ni–Nirenberg que afirmaba que no existe una solución asimétrica. [6] La solución obtenida por Breuer–Plum–McKenna fue una solución fantasma causada por un error de discretización. Este es un caso raro, pero nos dice que cuando queremos discutir estrictamente ecuaciones diferenciales, las soluciones numéricas deben verificarse.
Accidentes causados por errores numéricos
Los siguientes ejemplos se conocen como accidentes causados por errores numéricos:
- Fracaso en la interceptación de misiles en la Guerra del Golfo (1991) [7]
- Fallo del cohete Ariane 5 (1996) [8]
- Errores en la totalización de resultados electorales [9]
Temas principales
El estudio de la numérica validada se divide en los siguientes campos:
- Verificación en álgebra lineal numérica
- Validación de soluciones numéricas de un sistema dado de ecuaciones lineales [10] [11]
- Validación de valores propios obtenidos numéricamente [12] [13] [14]
- Cálculo riguroso de determinantes [15]
- Validación de soluciones numéricas de ecuaciones matriciales [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22]
- Verificación de funciones especiales :
- Verificación de la cuadratura numérica [31] [32] [33]
- Verificación de ecuaciones no lineales (Se estudian el teorema de Kantorovich , [34] el método de Krawczyk, el método de intervalo de Newton y el método de Durand-Kerner-Aberth).
- Verificación de soluciones de EDO, EDP [35] (Para EDP se utilizan conocimientos de análisis funcional . [34] )
- Verificación de la programación lineal [36]
- Verificación de geometría computacional
- Verificación en un entorno informático de alto rendimiento
Herramientas
- Biblioteca INTLAB creada por MATLAB / GNU Octave
- Biblioteca kv creada en C++ . Esta biblioteca puede obtener múltiples salidas de precisión mediante GNU MPFR .
- Biblioteca Arb creada por C. Es capaz de calcular rigurosamente varias funciones especiales .
- CAPD Una colección de módulos C++ flexibles que están diseñados principalmente para el cálculo de homología de conjuntos, mapas y números validados para sistemas dinámicos .
- JuliaIntervals en GitHub (biblioteca creada por Julia )
- Boost Safe Numerics: biblioteca de encabezado C++ únicamente de reemplazos validados para todos los tipos de enteros incorporados.
- Valores numéricos seguros en GitHub
Véase también
Referencias
- ^ Tucker, Warwick . (1999). "El atractor de Lorenz existe". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences-Series I-Mathematics , 328(12), 1197–1202.
- ^ Zin Arai, Hiroshi Kokubu, Paweãl Pilarczyk. Desarrollo reciente de métodos computacionales rigurosos en sistemas dinámicos.
- ^ Rump, Siegfried M. (1988). "Algoritmos para inclusiones verificadas: teoría y práctica". En Confiabilidad en computación (pp. 109-126). Academic Press.
- ^ Loh, Eugene; Walster, G. William (2002). El ejemplo de Rump revisado. Reliable Computing, 8(3), 245-248.
- ^ Breuer, B.; Plum, Michael; McKenna, Patrick J. (2001). "Inclusiones y pruebas de existencia para soluciones de un problema de valor límite no lineal mediante métodos numéricos espectrales". En Temas de análisis numérico (págs. 61-77). Springer, Viena.
- ^ Gidas, B.; Ni, Wei-Ming; Nirenberg, Louis (1979). "Simetría y propiedades relacionadas a través del principio del máximo". Communications in Mathematical Physics , 68(3), 209–243.
- ^ "El fracaso del misil Patriot".
- ^ Fallo del vuelo 501 del ARIANE 5, http://sunnyday.mit.edu/nasa-class/Ariane5-report.html
- ^ El error de redondeo cambia la composición del Parlamento
- ^ Yamamoto, T. (1984). Límites de error para soluciones aproximadas de sistemas de ecuaciones. Revista Japonesa de Matemáticas Aplicadas, 1(1), 157.
- ^ Oishi, S. y Rump, SM (2002). Verificación rápida de soluciones de ecuaciones matriciales. Numerische Mathematik, 90(4), 755-773.
- ^ Yamamoto, T. (1980). Límites de error para valores propios y vectores propios calculados. Numerische Mathematik, 34(2), 189-199.
- ^ Yamamoto, T. (1982). Límites de error para valores propios y vectores propios calculados. II. Numerische Mathematik, 40(2), 201-206.
- ^ Mayer, G. (1994). Verificación de resultados para vectores propios y valores propios. Temas de cálculos validados, Elsevier, Ámsterdam, 209-276.
- ^ Ogita, T. (2008). Cálculo numérico verificado del determinante de la matriz. SCAN'2008 El Paso, Texas, 29 de septiembre–3 de octubre de 2008, 86.
- ^ Shinya Miyajima, Cálculo verificado para la solución definida positiva hermítica de la ecuación algebraica de Riccati conjugada en tiempo discreto, Journal of Computational and Applied Mathematics, Volumen 350, Páginas 80-86, abril de 2019.
- ^ Shinya Miyajima, Cálculo rápido verificado para la solución mínima no negativa de la ecuación algebraica no simétrica de Riccati, Computational and Applied Mathematics, Volumen 37, Número 4, Páginas 4599-4610, septiembre de 2018.
- ^ Shinya Miyajima, Cálculo rápido verificado para la solución de la ecuación de Sylvester de congruencia T, Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, Volumen 35, Número 2, Páginas 541-551, julio de 2018.
- ^ Shinya Miyajima, Cálculo rápido verificado para el solvente de la ecuación matricial cuadrática, The Electronic Journal of Linear Algebra, Volumen 34, Páginas 137-151, marzo de 2018
- ^ Shinya Miyajima, Cálculo rápido verificado para soluciones de ecuaciones algebraicas de Riccati que surgen en la teoría del transporte, Álgebra lineal numérica con aplicaciones, Volumen 24, Número 5, Páginas 1-12, octubre de 2017.
- ^ Shinya Miyajima, Cálculo rápido verificado para estabilizar soluciones de ecuaciones algebraicas de Riccati en tiempo discreto, Journal of Computational and Applied Mathematics, Volumen 319, Páginas 352-364, agosto de 2017.
- ^ Shinya Miyajima, Cálculo rápido verificado para soluciones de ecuaciones algebraicas de Riccati en tiempo continuo, Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, Volumen 32, Número 2, Páginas 529-544, julio de 2015.
- ^ Rump, Siegfried M. (2014). Límites precisos verificados para la función gamma real en todo el rango de coma flotante. Teoría no lineal y sus aplicaciones, IEICE, 5(3), 339-348.
- ^ Yamanaka, Naoya; Okayama, Tomoaki; Oishi, Shin'ichi (noviembre de 2015). Límites de error verificados para la función gamma real utilizando la fórmula exponencial doble en un intervalo semiinfinito. En la Conferencia internacional sobre aspectos matemáticos de las ciencias de la computación y la información (pp. 224-228). Springer.
- ^ Johansson, Fredrik (2019). Evaluación numérica de funciones elípticas, integrales elípticas y formas modulares. En Integrales elípticas, funciones elípticas y formas modulares en la teoría cuántica de campos (pp. 269-293). Springer, Cham.
- ^ Johansson, Fredrik (2019). Cálculo riguroso de funciones hipergeométricas. ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS), 45(3), 30.
- ^ Johansson, Fredrik (2015). Cálculo riguroso y de alta precisión de la función zeta de Hurwitz y sus derivadas. Algoritmos numéricos, 69(2), 253-270.
- ^ Miyajima, S. (2018). Cálculo rápido verificado para la raíz pth principal de la matriz. en :Journal of Computational and Applied Mathematics , 330, 276-288.
- ^ Miyajima, S. (2019). Cálculo verificado para el logaritmo principal de la matriz. Álgebra lineal y sus aplicaciones, 569, 38-61.
- ^ Miyajima, S. (2019). Cálculo verificado de la matriz exponencial. Avances en Matemática Computacional, 45(1), 137-152.
- ^ Johansson, Fredrik (2017). Arb: aritmética de intervalos de radio de punto medio de precisión arbitraria eficiente. IEEE Transactions on Computers, 66(8), 1281-1292.
- ^ Johansson, Fredrik (julio de 2018). Integración numérica en aritmética de bolas de precisión arbitraria. En International Congress on Mathematical Software (pp. 255-263). Springer, Cham.
- ^ Johansson, Fredrik; Mezzarobba, Marc (2018). Cálculo rápido y riguroso de precisión arbitraria de nodos y pesos de cuadratura de Gauss-Legendre. Revista SIAM sobre computación científica , 40(6), C726-C747.
- ^ de Eberhard Zeidler , Análisis funcional no lineal y sus aplicaciones IV. Springer Science & Business Media .
- ^ Mitsuhiro T. Nakao, Michael Plum, Yoshitaka Watanabe (2019) Métodos de verificación numérica y pruebas asistidas por computadora para ecuaciones diferenciales parciales (Serie Springer en matemáticas computacionales).
- ^ Oishi, Shin'ichi; Tanabe, Kunio (2009). Inclusión numérica del punto óptimo para programación lineal. JSIAM Letters, 1, 5-8.
Lectura adicional
Enlaces externos
- Valores numéricos validados para peatones
- Reliable Computing, una revista electrónica abierta dedicada a cálculos numéricos con precisión garantizada, delimitación de rangos, pruebas matemáticas basadas en aritmética de punto flotante y otras teorías y aplicaciones de aritmética de intervalos y redondeo dirigido.
