Promedio móvil integrado fraccionariamente autorregresivo

En estadística , los modelos autorregresivos de media móvil integrada fraccionariamente son modelos de series temporales que generalizan los modelos ARIMA ( media móvil integrada autorregresiva ) al permitir valores no enteros del parámetro de diferenciación . Estos modelos son útiles para modelar series temporales con memoria larga , es decir, en las que las desviaciones de la media de largo plazo decaen más lentamente que una caída exponencial. A menudo se utilizan las siglas "ARFIMA" o "FARIMA", aunque también es convencional simplemente extender la notación "ARIMA( p , d , q )" para los modelos, simplemente permitiendo que el orden de diferenciación, d , tome valores fraccionarios. La diferenciación fraccionaria y el modelo ARFIMA fueron introducidos a principios de la década de 1980 por Clive Granger , Roselyne Joyeux y Jonathan Hosking. ^{[1] [2] [3]}

Lo esencial

En un modelo ARIMA , la parte integrada del modelo incluye el operador de diferenciación (1 − B ) (donde B es el operador de retroceso ) elevado a una potencia entera. Por ejemplo,

${\displaystyle (1-B)^{2}=1-2B+B^{2}\,,}$

dónde

${\displaystyle B^{2}X_{t}=X_{t-2}\,,}$

de modo que

${\displaystyle (1-B)^{2}X_{t}=X_{t}-2X_{t-1}+X_{t-2}.}$

En un modelo fraccionario , se permite que la potencia sea fraccionaria, con el significado del término identificado utilizando la siguiente expansión formal de la serie binomial

${\displaystyle {\begin{aligned}(1-B)^{d}&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{d \choose k}\;(-B)^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\frac {\prod _{a=0}^{k-1}(d-a)\ (-B)^{k}}{k!}}\\&=1-dB+{\frac {d(d-1)}{2!}}B^{2}-\cdots \,.\end{aligned}}}$

ARFIMA(0,d, 0)

El modelo integrado fraccionariamente autorregresivo más simple, ARFIMA(0, d , 0), es, en notación estándar,

${\displaystyle (1-B)^{d}X_{t}=\varepsilon _{t},}$

donde esto tiene la interpretación

${\displaystyle X_{t}-dX_{t-1}+{\frac {d(d-1)}{2!}}X_{t-2}-\cdots =\varepsilon _{t}.}$

ARFIMA(0, d , 0) es similar al ruido gaussiano fraccionario (fGn): con d = H − 1 ⁄ 2 , sus covarianzas tienen la misma descomposición de la ley de potencia. La ventaja de fGn sobre ARFIMA(0, d ,0) es que muchas relaciones asintóticas se cumplen para muestras finitas. ^[4] La ventaja de ARFIMA(0, d ,0) sobre fGn es que tiene una densidad espectral especialmente simple — $${\displaystyle f(\lambda )={\frac {1}{2\pi }}\left(2\sin \left({\frac {\lambda }{2}}\right)\right)^{-2d}}$$

—y es un caso particular de ARFIMA( p , d , q ), que es una familia versátil de modelos. ^[4]

Forma general: ARFIMA(pag,d,q)

Un modelo ARFIMA comparte la misma forma de representación que el proceso ARIMA ( p , d , q ), específicamente:

${\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p}\phi _{i}B^{i}\right)\left(1-B\right)^{d}X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}B^{i}\right)\varepsilon _{t}\,.}$

A diferencia del proceso ARIMA ordinario, el "parámetro de diferencia", d , puede tomar valores no enteros.

Mejora de los modelos ARMA ordinarios

La mejora de los modelos ARMA ordinarios es la siguiente:

1. Tome la serie de datos original y fíltrela con un filtro de paso alto con diferenciación fraccionaria suficiente para que el resultado sea estacionario, y recuerde el orden d de esta diferencia fraccionaria, d generalmente entre 0 y 1... posiblemente hasta 2+ en casos más extremos. La diferencia fraccionaria de 2 es la 2.ª derivada o 2.ª diferencia.
   • Nota: al aplicar la diferenciación fraccionaria, se cambian las unidades del problema. Si comenzamos con precios y luego tomamos las diferencias fraccionarias, ya no estamos en unidades de precios.
   • Determinar el orden de diferenciación para hacer que una serie temporal sea estacionaria puede ser un proceso iterativo y exploratorio.
2. Calcule los términos ARMA simples a través de los métodos habituales para ajustarlos a este conjunto de datos temporales estacionarios que está en unidades sustitutivas.
3. Pronostique ya sea sobre datos existentes (pronóstico estático) o “adelantado” (pronóstico dinámico, hacia adelante en el tiempo) con estos términos ARMA.
4. Aplique la operación de filtro inverso ( integración fraccional al mismo nivel d que en el paso 1) a la serie pronosticada, para devolver el pronóstico a las unidades del problema original (por ejemplo, convertir las unidades sustitutivas nuevamente en Precio).
   • La diferenciación fraccionaria y la integración fraccionaria son la misma operación con valores opuestos de d: por ejemplo, la diferencia fraccionaria de una serie temporal con d = 0,5 se puede invertir (integrar) aplicando la misma operación de diferenciación fraccionaria (de nuevo) pero con la fracción d = -0,5. Véase la función fracdiff de GRETL.

El objetivo del prefiltrado es reducir las frecuencias bajas en el conjunto de datos que pueden causar no estacionariedades en los datos, no estacionariedades que los modelos ARMA no pueden manejar bien (o en absoluto)... pero solo lo suficiente para que las reducciones se puedan recuperar después de que se construya el modelo.

La diferenciación fraccionaria y la operación inversa de integración fraccionaria (ambas direcciones se utilizan en el proceso de modelado y pronóstico de ARFIMA) pueden considerarse operaciones de filtrado y "desfiltrado" digitales. Como tal, es útil estudiar la respuesta de frecuencia de dichos filtros para saber qué frecuencias se mantienen y cuáles se atenúan o descartan. ^[5]

Tenga en cuenta que cualquier filtrado que sustituya a la diferenciación fraccionaria y la integración en este modelo AR(FI)MA debe ser igualmente invertible que la diferenciación y la integración (suma) para evitar la pérdida de información. Por ejemplo, un filtro de paso alto que descarta por completo muchas frecuencias bajas (a diferencia del filtro de paso alto de diferenciación fraccionaria que solo descarta por completo la frecuencia 0 [comportamiento constante en la señal de entrada] y simplemente atenúa otras frecuencias bajas, consulte el PDF anterior) puede no funcionar tan bien, porque después de ajustar los términos ARMA a la serie filtrada, la operación inversa para devolver el pronóstico ARMA a sus unidades originales no podría volver a aumentar esas frecuencias bajas atenuadas, ya que las frecuencias bajas se redujeron a cero.

Estos estudios de respuesta de frecuencia pueden sugerir otras familias similares de filtros (reversibles) que podrían ser reemplazos útiles para la parte "FI" del flujo de modelado ARFIMA, como el conocido filtro Butterworth de paso alto, fácil de implementar y con mínima distorsión, o similar. ^[6]

Véase también

• Cálculo fraccionario : diferenciación fraccionaria
• Diferencial integral : integración fraccionaria y diferenciación
• Movimiento browniano fraccional : un proceso estocástico de tiempo continuo con una base similar
• Dependencia de largo alcance

Referencias

1. Granger, CWJ; Joyeux, Roselyne (1980). "Introducción a los modelos de series temporales de memoria larga y a la diferenciación fraccionaria". Journal of Time Series Analysis . 1 (1): 15–29. doi :10.1111/j.1467-9892.1980.tb00297.x. ISSN  0143-9782.
2. Hosking, JRM (1981). "Diferenciación fraccional". Biometrika . 68 (1): 165–176. doi :10.2307/2335817. ISSN  0006-3444.
3. Robinson, Peter M., ed. (2011). Series temporales con memoria larga . Textos avanzados de econometría (edición revisada). Oxford: Oxford Univ. Press. ISBN 978-0-19-925730-0.
4. Taqqu, MS; Teverovsky, V.; Willinger, W. (1995). "Estimadores para dependencia de largo alcance: un estudio empírico". Fractales . 3 (4): 785–798. arXiv : 0901.0762 . doi :10.1142/S0218348X95000692.
5. "fracdiff/freqrespfracdiff.pdf en master · diffent/fracdiff" (PDF) . GitHub . Consultado el 30 de octubre de 2023 .
6. Fenga, Livio (2017). Rojas, Ignacio; Pomares, Héctor; Valenzuela, Olga (eds.). "Predicción de series temporales ruidosas ARIMA mediante el filtro digital Butterworth". Avances en el análisis y pronóstico de series temporales . Contribuciones a la estadística. Cham: Springer International Publishing: 173–196. doi :10.1007/978-3-319-55789-2_13. ISBN 978-3-319-55789-2.