Ideal de aumento

En álgebra , un ideal de aumento es un ideal que puede definirse en cualquier anillo de grupo .

Si G es un grupo y R un anillo conmutativo , hay un homomorfismo de anillo , llamado mapa de aumento , del anillo del grupo a , definido tomando una suma (finita ^{[Nota 1]} ) a (Aquí y .) En términos menos formales , para cualquier elemento , para cualquier elemento y , y luego se extiende a un homomorfismo de R - módulos de la manera obvia. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \sum r_{i}g_{i}}$ ${\displaystyle \sum r_{i}.}$ ${\displaystyle r_{i}\in R}$ ${\displaystyle g_{i}\in G}$ ${\displaystyle \varepsilon (g)=1_{R}}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \varepsilon (rg)=r}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

El ideal de aumento A es el núcleo de R [ G ] y, por lo tanto, es un ideal bilateral en R [ G ]. ${\displaystyle \varepsilon }$

A se genera por las diferencias de los elementos del grupo. De manera equivalente, también es generado por , que es una base como módulo R libre . ${\displaystyle g-g'}$ ${\displaystyle \{g-1:g\in G\}}$

Para R y G como arriba, el anillo de grupo R [ G ] es un ejemplo de R -álgebra aumentada . Tal álgebra viene equipada con un homomorfismo de anillo para R . El núcleo de este homomorfismo es el ideal de aumento del álgebra.

El ideal de aumento juega un papel básico en la cohomología de grupos , entre otras aplicaciones.

Ejemplos de cocientes por el ideal de aumento

• Sea G un grupo y el grupo suene sobre los números enteros. Denotemos el ideal de aumento de . Entonces el cociente I / I ² es isomorfo a la abelianización de G , definida como el cociente de G por su subgrupo conmutador. ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$
• Una representación compleja V de un grupo G es un módulo -. Las coinvariantes de V pueden entonces describirse como el cociente de V por IV , donde I es el ideal de aumento en . ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$
• Otra clase de ejemplos de ideal de aumento puede ser el núcleo de la unidad de cualquier álgebra de Hopf . ${\displaystyle \varepsilon }$

Notas

1. Al construir R [ G ] , restringimos R [ G ] solo a sumas finitas (formales)

Referencias

• DL Johnson (1990). Presentaciones de grupos . Textos estudiantiles de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 15. Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 149-150. ISBN 0-521-37203-8.
• Dummit y Foote, Álgebra abstracta