Atlas (topología)

Conjunto de gráficos que describen una variedad

En matemáticas , particularmente en topología , un atlas es un concepto utilizado para describir una variedad . Un atlas consiste en gráficos individuales que, en términos generales, describen regiones individuales de la variedad. En general, la noción de atlas subyace a la definición formal de una variedad y estructuras relacionadas, como los fibrados vectoriales y otros fibrados de fibras .

Gráficos

La definición de un atlas depende de la noción de gráfico . Un gráfico para un espacio topológico M es un homeomorfismo de un subconjunto abierto U de M a un subconjunto abierto de un espacio euclidiano . El gráfico se registra tradicionalmente como el par ordenado . ^[1] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (U,\varphi )}$

Cuando se elige un sistema de coordenadas en el espacio euclidiano, este define coordenadas en : las coordenadas de un punto de se definen como las coordenadas de El par formado por un gráfico y dicho sistema de coordenadas se denomina sistema de coordenadas local , gráfico de coordenadas , parche de coordenadas , mapa de coordenadas o marco local . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \varphi (P).}$

Definición formal de atlas

Un atlas de un espacio topológico es una familia indexada de cartas en la que se encuentran cubiertas (es decir, ). Si para algún n fijo , la imagen de cada carta es un subconjunto abierto del espacio euclidiano n -dimensional , entonces se dice que es una variedad n -dimensional . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha }):\alpha \in I\}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\textstyle \bigcup _{\alpha \in I}U_{\alpha }=M}$ ${\displaystyle M}$

El plural de atlas es atlases , aunque algunos autores utilizan atlantes . ^{[2] [3]}

Un atlas sobre una variedad -dimensional se denomina atlas adecuado si se cumplen las siguientes condiciones: ^{[ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$

• La imagen de cada gráfico es o , donde es el semiespacio cerrado , ^{[ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$
• ${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}}$es una cubierta abierta localmente finita de , y ${\displaystyle M}$
• ${\textstyle M=\bigcup _{i\in I}\varphi _{i}^{-1}\left(B_{1}\right)}$, donde es la bola abierta de radio 1 centrada en el origen. ${\displaystyle B_{1}}$

Toda variedad de segundo número contable admite un atlas adecuado. ^[4] Además, si es una cobertura abierta de la variedad de segundo número contable , entonces hay un atlas adecuado en , tal que es un refinamiento de . ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {V}}=\left(V_{j}\right)_{j\in J}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

Mapas de transición

Un mapa de transición permite comparar dos cartas de un atlas. Para ello, se considera la composición de una carta con la inversa de la otra. Esta composición no está bien definida a menos que limitemos ambas cartas a la intersección de sus dominios de definición. (Por ejemplo, si tenemos una carta de Europa y una carta de Rusia, podemos comparar estas dos cartas en su superposición, es decir, la parte europea de Rusia).

Para ser más precisos, supongamos que y son dos gráficos para una variedad M tal que no está vacía . El mapa de transición es el mapa definido por ${\displaystyle (U_{\alpha },\varphi _{\alpha })}$ ${\displaystyle (U_{\beta },\varphi _{\beta })}$ ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$ ${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }:\varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}$ $${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}.}$$

Nótese que dado que y son ambos homeomorfismos, el mapa de transición también es un homeomorfismo. ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$ ${\displaystyle \varphi _{\beta }}$ ${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }}$

Más estructura

A menudo se desea que una variedad tenga más estructura que la simple estructura topológica. Por ejemplo, si se desea una noción inequívoca de diferenciación de funciones en una variedad, entonces es necesario construir un atlas cuyas funciones de transición sean diferenciables . Una variedad de este tipo se llama diferenciable . Dada una variedad diferenciable, se puede definir inequívocamente la noción de vectores tangentes y luego las derivadas direccionales .

Si cada función de transición es una función suavizada , entonces el atlas se denomina atlas suavizado y la variedad misma se denomina suavizada . Alternativamente, se podría exigir que las funciones de transición tengan solo k derivadas continuas, en cuyo caso se dice que el atlas es . ${\displaystyle C^{k}}$

De manera muy general, si cada función de transición pertenece a un pseudogrupo de homeomorfismos del espacio euclidiano, entonces el atlas se denomina -atlas. Si las funciones de transición entre los gráficos de un atlas conservan una trivialización local , entonces el atlas define la estructura de un haz de fibras. ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Véase también

• Atlas liso
• Marco liso

Referencias

1. Jänich, Klaus (2005). Vektoranalysis (en alemán) (5 ed.). Saltador. pag. 1.ISBN​ 3-540-23741-0.
2. Jost, Jürgen (11 de noviembre de 2013). Geometría riemanniana y análisis geométrico. Springer Science & Business Media. ISBN 9783662223857. Recuperado el 16 de abril de 2018 – vía Google Books.
3. Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan (9 de marzo de 2013). Cálculo de variaciones II. Springer Science & Business Media. ISBN 9783662062012. Recuperado el 16 de abril de 2018 – vía Google Books.
4. Kosinski, Antoni (2007). Variedades diferenciales . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8.OCLC 853621933  .

• Dieudonné, Jean (1972). "XVI. Variedades diferenciales". Tratado de análisis . Matemáticas puras y aplicadas. Vol. III. Traducido por Ian G. Macdonald . Academic Press . MR  0350769.
• Lee, John M. (2006). Introducción a las variedades lisas . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
• Loomis, Lynn ; Sternberg, Shlomo (2014). "Variedades diferenciables". Cálculo avanzado (edición revisada). World Scientific. págs. 364–372. ISBN 978-981-4583-93-0.Señor 3222280  .
• Sepanski, Mark R. (2007). Grupos de Lie compactos . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-30263-8.
• Husemoller, D (1994), Haces de fibras , SpringerCapítulo 5 "Descripción de coordenadas locales de haces de fibras".

Enlaces externos

• Atlas de Rowland, Todd