Teoría asintótica (estadística)

Estudio de las propiedades de convergencia de estimadores estadísticos.

En estadística , la teoría asintótica , o teoría de muestras grandes , es un marco para evaluar propiedades de estimadores y pruebas estadísticas . Dentro de este marco, a menudo se supone que el tamaño de la muestra n puede crecer indefinidamente; Luego, las propiedades de los estimadores y las pruebas se evalúan bajo el límite de n → ∞ . En la práctica, una evaluación límite se considera aproximadamente válida también para tamaños de muestra finitos grandes. ^[1]

Descripción general

La mayoría de los problemas estadísticos comienzan con un conjunto de datos de tamaño n . La teoría asintótica parte del supuesto de que es posible (en principio) seguir recopilando datos adicionales, de modo que el tamaño de la muestra crece infinitamente, es decir, n → ∞ . Bajo este supuesto, se pueden obtener muchos resultados que no están disponibles para muestras de tamaño finito. Un ejemplo es la ley débil de los grandes números . La ley establece que para una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (IID) X ₁ , X ₂ , ... , si se extrae un valor de cada variable aleatoria y el promedio de los primeros n valores se calcula como X _n , entonces X _n converge en probabilidad a la media poblacional E[ X _i ] cuando n → ∞ . ^[2]

En teoría asintótica, el enfoque estándar es n → ∞ . Para algunos modelos estadísticos , se pueden utilizar enfoques asintóticos ligeramente diferentes. Por ejemplo, con datos de panel , comúnmente se supone que una dimensión de los datos permanece fija, mientras que la otra dimensión crece: T = constante y N → ∞ , o viceversa. ^[2]

Además del enfoque estándar de las asintóticas, existen otros enfoques alternativos:

• Dentro del marco de normalidad asintótica local , se supone que el valor del "parámetro verdadero" en el modelo varía ligeramente con n , de modo que el n -ésimo modelo corresponde a θ _n = θ + h / √ n . Este enfoque nos permite estudiar la regularidad de los estimadores .
• Cuando se estudian las pruebas estadísticas por su poder para distinguir entre las alternativas que se acercan a la hipótesis nula, se hace dentro del marco de las llamadas "alternativas locales": la hipótesis nula es H ₀ : θ = θ ₀ y la alternativa es H ₁ : θ = θ ₀ + h / √ norte . Este enfoque es especialmente popular para las pruebas de raíz unitaria .
• Hay modelos en los que la dimensión del espacio de parámetros Θ _n se expande lentamente con n , lo que refleja el hecho de que cuantas más observaciones haya, más efectos estructurales se pueden incorporar al modelo.
• En la estimación de la densidad del kernel y la regresión del kernel , se supone un parámetro adicional: el ancho de banda h . En esos modelos, normalmente se toma que h → 0 como n → ∞ . Sin embargo, la tasa de convergencia debe elegirse con cuidado, generalmente h ∝ n ^−1/5 .

En muchos casos, se pueden obtener resultados muy precisos para muestras finitas mediante métodos numéricos (es decir, ordenadores); Sin embargo, incluso en tales casos, el análisis asintótico puede resultar útil. Small (2010, §1.4) planteó este punto de la siguiente manera.

Un objetivo principal del análisis asintótico es obtener una comprensión cualitativa más profunda de las herramientas cuantitativas . Las conclusiones de un análisis asintótico a menudo complementan las conclusiones que pueden obtenerse mediante métodos numéricos.

Modos de convergencia de variables aleatorias.

Propiedades asintóticas

Estimadores

Consistencia

Se dice que una secuencia de estimaciones es consistente , si converge en probabilidad al valor verdadero del parámetro que se está estimando:

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ \theta _{0}.}$

Es decir, hablando en términos generales, con una cantidad infinita de datos, el estimador (la fórmula para generar las estimaciones) casi seguramente daría el resultado correcto para el parámetro que se está estimando. ^[2]

Distribución asintótica

Si es posible encontrar secuencias de constantes no aleatorias { a _n }, { b _n } (posiblemente dependiendo del valor de θ _{0 ), y una distribución} G no degenerada tal que

${\displaystyle b_{n}({\hat {\theta }}_{n}-a_{n})\ {\xrightarrow {d}}\ G,}$

entonces se dice que la secuencia de estimadores tiene la distribución asintótica G . ${\displaystyle \textstyle {\hat {\theta }}_{n}}$

La mayoría de las veces, los estimadores que se encuentran en la práctica son asintóticamente normales , lo que significa que su distribución asintótica es la distribución normal , con a _n = θ ₀ , b _n = √ n y G = N (0, V ) :

${\displaystyle {\sqrt {n}}({\hat {\theta }}_{n}-\theta _{0})\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {N}}(0,V).}$

Regiones de confianza asintóticas

Teoremas asintóticos

• Teorema del límite central
• Teorema de mapeo continuo
• Teorema de Glivenko-Cantelli
• ley de los grandes números
• Ley del logaritmo iterado
• teorema de slutsky
• método delta

Ver también

• Análisis asintótico
• Estadísticas exactas
• Teoría de las grandes desviaciones

Referencias

1. Höpfner, R. (2014), Estadísticas asintóticas, Walter de Gruyter. 286 pág. ISBN  3110250241 , ISBN 978-3110250244 
2. A. DasGupta (2008), Teoría asintótica de la estadística y la probabilidad , Springer. ISBN 0387759700 , ISBN 978-0387759708  

Bibliografía

• Balakrishnan, N.; Ibragimov, IAVB; Nevzorov, VB, eds. (2001), Métodos asintóticos en probabilidad y estadística con aplicaciones, Birkhäuser , ISBN 9781461202097
• Borovkov, AA ; Borovkov, KA (2010), Análisis asintótico de paseos aleatorios, Cambridge University Press
• Buldygin, VV; Solntsev, S. (1997), Comportamiento asintótico de sumas de variables aleatorias transformadas linealmente, Springer, ISBN 9789401155687
• Le Cam, Lucien ; Yang, Grace Lo (2000), Asintótica en estadística (2ª ed.), Springer
• Dawson, D.; Kulik, R.; Ould Haye, M.; Szyszkowicz, B.; Zhao, Y., eds. (2015), Leyes y métodos asintóticos en estocástica , Springer-Verlag
• Höpfner, R. (2014), Estadística asintótica , Walter de Gruyter
• Lin'kov, Yu. N. (2001), Métodos estadísticos asintóticos para procesos estocásticos , Sociedad Matemática Estadounidense
• Oliveira, PE (2012), Asintóticas para variables aleatorias asociadas , Springer
• Petrov, VV (1995), Teoremas límite de la teoría de la probabilidad , Oxford University Press
• Sen, PK; Cantante, JM; Pedroso de Lima, AC (2009), De la muestra finita a los métodos asintóticos en estadística , Cambridge University Press
• Shiryaev, AN; Spokoiny, VG (2000), Decisiones y experimentos estadísticos: teoría asintótica , World Scientific
• Small, CG (2010), Expansiones y asintóticas para estadística , Chapman & Hall
• van der Vaart, AW (1998), Estadística asintótica , Cambridge University Press