Teoría asintótica (estadística)

En estadística , la teoría asintótica , o teoría de muestras grandes , es un marco para evaluar las propiedades de los estimadores y las pruebas estadísticas . Dentro de este marco, a menudo se supone que el tamaño de la muestra $n$ puede crecer indefinidamente; las propiedades de los estimadores y las pruebas se evalúan entonces bajo el límite de $n \to \infty$ . En la práctica, se considera que una evaluación límite es aproximadamente válida también para tamaños de muestra finitos grandes. ^[1]

Descripción general

La mayoría de los problemas estadísticos comienzan con un conjunto de datos de tamaño $n$ . La teoría asintótica procede asumiendo que es posible (en principio) seguir recopilando datos adicionales, por lo que el tamaño de la muestra crece infinitamente, es decir, $n \to \infty$ . Bajo el supuesto, se pueden obtener muchos resultados que no están disponibles para muestras de tamaño finito. Un ejemplo es la ley débil de los grandes números . La ley establece que para una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (IID) $X$ $1$ $,$ $X$ $2$ $, ...$ , si se extrae un valor de cada variable aleatoria y el promedio de los primeros $n$ valores se calcula como $X$ $n$ , entonces los $X$ $n$ convergen en probabilidad a la media de la población $E[$ $X$ $i$ $]$ cuando $n$ $\to \infty$ . ^[2]

En la teoría asintótica, el enfoque estándar es $n \to \infty$ . Para algunos modelos estadísticos , se pueden utilizar enfoques asintóticos ligeramente diferentes. Por ejemplo, con datos de panel , se supone comúnmente que una dimensión de los datos permanece fija, mientras que la otra dimensión crece: $T = constante$ y $N \to \infty$ , o viceversa. ^[2]

Además del enfoque estándar para la asintótica, existen otros enfoques alternativos:

Dentro del marco de normalidad asintótica local , se supone que el valor del "parámetro verdadero" en el modelo varía ligeramente con $n$ , de modo que el $n$ -ésimo modelo corresponde a $θ$ $n$ $=$ $θ$ $+$ $h$ $/$ $\sqrt$ $n$ . Este enfoque nos permite estudiar la regularidad de los estimadores .
Cuando se estudian las pruebas estadísticas por su capacidad para distinguir las alternativas que están cerca de la hipótesis nula, se hace dentro del marco de las llamadas "alternativas locales": la hipótesis nula es $H 0 : θ = θ 0$ y la alternativa es $H 1 : θ = θ 0 + h / \sqrt n$ . Este enfoque es especialmente popular para las pruebas de raíz unitaria .
Hay modelos en los que la dimensión del espacio de parámetros $Θ n$ se expande lentamente con $n$ , lo que refleja el hecho de que cuantas más observaciones haya, más efectos estructurales se pueden incorporar de manera factible en el modelo.
En la estimación de la densidad del núcleo y la regresión del núcleo , se supone un parámetro adicional: el ancho de banda $h$ . En esos modelos, normalmente se supone que $h \to 0$ cuando $n \to \infty$ . Sin embargo, la tasa de convergencia debe elegirse con cuidado, normalmente $h \propto n -1/5$ .

En muchos casos, se pueden obtener resultados muy precisos para muestras finitas mediante métodos numéricos (es decir, computadoras); sin embargo, incluso en esos casos, el análisis asintótico puede ser útil. Small (2010, §1.4) planteó este punto de la siguiente manera.

Un objetivo primordial del análisis asintótico es obtener una comprensión cualitativa más profunda de las herramientas cuantitativas . Las conclusiones de un análisis asintótico a menudo complementan las conclusiones que se pueden obtener mediante métodos numéricos.

Modos de convergencia de variables aleatorias

Propiedades asintóticas

Estimadores

Consistencia

Se dice que una secuencia de estimaciones es consistente si converge en probabilidad al valor verdadero del parámetro que se está estimando:

{\hat {\theta }}_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ \theta _{0}.

Es decir, en términos generales, con una cantidad infinita de datos, el estimador (la fórmula para generar las estimaciones) casi seguramente daría el resultado correcto para el parámetro que se está estimando. ^[2]

Distribución asintótica

Si es posible encontrar secuencias de constantes no aleatorias ${a n$ }, ${b n$ } (posiblemente dependiendo del valor de $θ 0$ ), y una distribución no degenerada $G$ tal que

b_{n}({\hat {\theta }}_{n}-a_{n})\ {\xrightarrow {d}}\ G,

Entonces se dice que la secuencia de estimadores tiene la distribución asintótica G. $\textstyle {\hat {\theta }}_{n}$

La mayoría de las veces, los estimadores que se encuentran en la práctica son asintóticamente normales , lo que significa que su distribución asintótica es la distribución normal , con $a n = θ 0$ , $b n = \sqrt n$ y $G = N (0, V)$ :

{\sqrt {n}}({\hat {\theta }}_{n}-\theta _{0})\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {N}}(0, V).

Regiones de confianza asintótica

Teoremas asintóticos

Véase también

Referencias

^ Höpfner, R. (2014), Estadísticas asintóticas, Walter de Gruyter. 286 pág. ISBN 3110250241 , ISBN 978-3110250244
^ abc A. DasGupta (2008), Teoría asintótica de la estadística y la probabilidad , Springer. ISBN 0387759700 , ISBN 978-0387759708

Bibliografía

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Borovkov, AA ; Borovkov, KA (2010), Análisis asintótico de paseos aleatorios, Cambridge University Press
Buldygin, VV; Solntsev, S. (1997), Comportamiento asintótico de sumas de variables aleatorias transformadas linealmente, Springer, ISBN 9789401155687
Le Cam, Lucien ; Yang, Grace Lo (2000), Asintótica en estadística (2.ª ed.), Springer
Dawson, D.; Kulik, R.; Ould Haye, M.; Szyszkowicz, B.; Zhao, Y., eds. (2015), Leyes y métodos asintóticos en estocástica , Springer-Verlag
Höpfner, R. (2014), Estadística asintótica , Walter de Gruyter
Lin'kov, Yu. N. (2001), Métodos estadísticos asintóticos para procesos estocásticos , American Mathematical Society
Oliveira, PE (2012), Asintótica para variables aleatorias asociadas , Springer
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Shiryaev, AN; Spokoiny, VG (2000), Experimentos y decisiones estadísticas: teoría asintótica , World Scientific
Small, CG (2010), Expansiones y asintóticas para estadística , Chapman & Hall
van der Vaart, AW (1998), Estadística asintótica , Cambridge University Press