Generando transformación de función

En matemáticas, una transformación de la función generadora de una secuencia proporciona un método para convertir la función generadora de una secuencia en una función generadora que enumera otra. Estas transformaciones generalmente involucran fórmulas integrales aplicadas a una función generadora de secuencia (ver transformaciones integrales) o sumas ponderadas sobre las derivadas de orden superior de estas funciones (ver transformaciones derivadas).

Dada una secuencia, la función generadora ordinaria (OGF) de la secuencia, denotada , y la función generadora exponencial (EGF) de la secuencia, denotada , están definidas por la serie de potencias formal ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle {\widehat {F}}(z)}$

${\displaystyle F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}z^{n}=f_{0}+f_{1}z+f_{2}z^{2}+\cdots }$

${\displaystyle {\widehat {F}}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f_{n}}{n!}}z^{n}={\frac {f_{0}}{0!}}+{\frac {f_{1}}{1!}}z+{\frac {f_{2}}{2!}}z^{2}+\cdots .}$

En este artículo, utilizamos la convención de que la función generadora ordinaria (exponencial) para una secuencia se denota mediante la función mayúscula / para alguna función fija o formal cuando el contexto de esta notación es claro. Además, utilizamos la notación entre corchetes para la extracción de coeficientes de la referencia de Matemáticas Concretas que viene dada por . El artículo principal ofrece ejemplos de generación de funciones para muchas secuencias. Otros ejemplos de variantes de funciones generadoras incluyen las funciones generadoras de Dirichlet (DGF), las series de Lambert y las series de Newton . En este artículo nos centramos en las transformaciones de funciones generadoras en matemáticas y mantenemos una lista actualizada de transformaciones y fórmulas de transformación útiles. ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle {\widehat {F}}(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle [z^{n}]F(z):=f_{n}}$

Extraer progresiones aritméticas de una secuencia

La multisección de series proporciona fórmulas para generar funciones que enumeran la secuencia dada una función generadora ordinaria donde , y . En los dos primeros casos , podemos expandir estas funciones generadoras de progresión aritmética directamente en términos de : ${\displaystyle \{f_{an+b}\}}$ ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle a\geq 2}$ ${\displaystyle 0\leq b<a}$ ${\displaystyle (a,b):=(2,0),(2,1)}$ ${\displaystyle F(z)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{2n}z^{2n}={\frac {1}{2}}\left(F(z)+F(-z)\right)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{2n+1}z^{2n+1}={\frac {1}{2}}\left(F(z)-F(-z)\right).}$

De manera más general, supongamos que y eso denota la raíz primitiva de la unidad . Luego tenemos la siguiente fórmula, ^[1] a menudo conocida como raíz del filtro unitario: ${\displaystyle a\geq 3}$ ${\displaystyle \omega _{a}:=\exp \left({\frac {2\pi \imath }{a}}\right)}$ ${\displaystyle a^{th}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{an+b}z^{an+b}={\frac {1}{a}}\times \sum _{m=0}^{a-1}\omega _{a}^{-mb}F\left(\omega _{a}^{m}z\right).}$

Para los números enteros , la identidad genera otra fórmula útil que proporciona progresiones aritméticas de piso algo invertidas ^[2] ${\displaystyle m\geq 1}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{\lfloor {\frac {n}{m}}\rfloor }z^{n}={\frac {1-z^{m}}{1-z}}F(z^{m})=\left(1+z+\cdots +z^{m-2}+z^{m-1}\right)F(z^{m}).}$

Poderes de un OGF y composición con funciones

Los polinomios exponenciales de Bell , están definidos por la función generadora exponencial ^[3] ${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n}):=n!\cdot [t^{n}u^{k}]\Phi (t,u)}$

${\displaystyle \Phi (t,u)=\exp \left(u\times \sum _{m\geq 1}x_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}\right)=1+\sum _{n\geq 1}\left\{\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots )u^{k}\right\}{\frac {t^{n}}{n!}}.}$

Las siguientes fórmulas para potencias, logaritmos y composiciones de series de potencias formales se amplían mediante estos polinomios con variables en los coeficientes de las funciones generadoras originales. ^{[4] [5]} La fórmula para el exponencial de una función generadora está dada implícitamente a través de los polinomios de Bell por el EGF para estos polinomios definidos en la fórmula anterior para alguna secuencia de . ${\displaystyle \{x_{i}\}}$

Recíprocos de una OGF (caso especial de la fórmula de potencias)

La serie de potencias para el recíproco de una función generadora, , se expande por ${\displaystyle F(z)}$

${\displaystyle {\frac {1}{F(z)}}={\frac {1}{f_{0}}}-{\frac {f_{1}}{f_{0}^{2}}}z+{\frac {\left(f_{1}^{2}-f_{0}f_{2}\right)}{f_{0}^{3}}}z^{2}-{\frac {f_{1}^{3}-2f_{0}f_{1}f_{2}+f_{0}^{2}f_{3}}{f_{0}^{4}}}+\cdots .}$

Si denotamos los coeficientes en la expansión de la función generadora recíproca, entonces tenemos la siguiente relación de recurrencia: ${\displaystyle b_{n}:=[z^{n}]1/F(z)}$

${\displaystyle b_{n}=-{\frac {1}{f_{0}}}\left(f_{1}b_{n-1}+f_{2}b_{n-2}+\cdots +f_{n}b_{0}\right),n\geq 1.}$

Poderes de un OGF

Sea fijo, supongamos que y denotemos . Entonces tenemos una expansión en serie para dada por ${\displaystyle m\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f_{0}=1}$ ${\displaystyle b_{n}^{(m)}:=[z^{n}]F(z)^{m}}$ ${\displaystyle F(z)^{m}}$

${\displaystyle F(z)^{m}=1+mf_{1}z+m\left((m-1)f_{1}^{2}+2f_{2}\right){\frac {z^{2}}{2}}+\left(m(m-1)(m-2)f_{1}^{3}+6m(m-1)f_{2}+6mf_{3}\right){\frac {z^{3}}{6}}+\cdots ,}$

y los coeficientes satisfacen una relación de recurrencia de la forma ${\displaystyle b_{n}^{(m)}}$

${\displaystyle n\cdot b_{n}^{(m)}=(m-n+1)f_{1}b_{n-1}^{(m)}+(2m-n+2)f_{2}b_{n-2}^{(m)}+\cdots +((n-1)m-1)f_{n-1}b_{1}^{(m)}+nmf_{n},n\geq 1.}$

Otra fórmula para los coeficientes, se expande mediante los polinomios de Bell como ${\displaystyle b_{n}^{(m)}}$

${\displaystyle F(z)^{m}=f_{0}^{m}+\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{1\leq k\leq n}(m)_{k}f_{0}^{m-k}B_{n,k}(f_{1}\cdot 1!,f_{2}\cdot 2!,\ldots )\right){\frac {z^{n}}{n!}},}$

donde denota el símbolo de Pochhammer . ${\displaystyle (r)_{n}}$

Logaritmos de un OGF

Si dejamos y definimos , entonces tenemos una expansión en serie de potencias para la función generadora compuesta dada por ${\displaystyle f_{0}=1}$ ${\displaystyle q_{n}:=[z^{n}]\log F(z)}$

${\displaystyle \log F(z)=f_{1}+\left(2f_{2}-f_{1}^{2}\right){\frac {z}{2}}+\left(3f_{3}-3f_{1}f_{2}+f_{1}^{3}\right){\frac {z^{2}}{3}}+\cdots ,}$

donde los coeficientes, , en la expansión anterior satisfacen la relación de recurrencia dada por ${\displaystyle q_{n}}$

${\displaystyle n\cdot q_{n}=nf_{n}-(n-1)f_{1}q_{n-1}-(n-2)f_{2}q_{n-2}-\cdots -f_{n-1}q_{1},}$

y una fórmula correspondiente ampliada por los polinomios de Bell en forma de coeficientes de series de potencias de la siguiente función generadora:

${\displaystyle \log F(z)=\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{1\leq k\leq n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(f_{1}\cdot 1!,f_{2}\cdot 2!,\ldots )\right){\frac {z^{n}}{n!}}.}$

La fórmula de Faà di Bruno

Denotemos el EGF de la secuencia , y supongamos que es el EGF de la secuencia ,. La fórmula de Faà di Bruno implica que la secuencia, generada por la composición , se puede expresar en términos de polinomios exponenciales de Bell de la siguiente manera: ${\displaystyle {\widehat {F}}(z)}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}(z)}$ ${\displaystyle \{g_{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle \{h_{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle {\widehat {H}}(z):={\widehat {F}}({\widehat {G}}(z))}$

${\displaystyle h_{n}=\sum _{1\leq k\leq n}f_{k}\cdot B_{n,k}(g_{1},g_{2},\cdots ,g_{n-k+1})+f_{0}\cdot \delta _{n,0}.}$

Transformaciones integrales

OGF ⟷ Fórmulas de conversión de EGF

Tenemos las siguientes fórmulas integrales que se pueden aplicar terminológicamente con respecto a cuando se toma como cualquier variable formal en serie de potencias: ^[6] ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{n}z^{n}=\int _{0}^{\infty }{\widehat {F}}(tz)e^{-t}dt=z^{-1}{\mathcal {L}}[{\widehat {F}}](z^{-1})}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\Gamma (an+b)\cdot f_{n}z^{n}=\int _{0}^{\infty }t^{b-1}e^{-t}F(t^{a}z)dt.}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}}{n!}}z^{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F\left(ze^{-\imath \vartheta }\right)e^{e^{\imath \vartheta }}d\vartheta .}$

Observe que la primera y la última de estas fórmulas integrales se utilizan para convertir entre el EGF al OGF de una secuencia, y del OGF al EGF de una secuencia siempre que estas integrales sean convergentes.

La primera fórmula integral corresponde a la transformada de Laplace (o, a veces, a la transformación formal de Laplace-Borel ) de funciones generadoras, denotada por , definida en. ^[7] Por supuesto, también pueden usarse otras representaciones integrales para la función gamma en la segunda de las fórmulas anteriores. utilizarse para construir transformaciones integrales similares. Se obtiene una fórmula particular en el caso del ejemplo de función factorial doble que se presenta inmediatamente debajo en esta sección. La última fórmula integral se compara con la integral de bucle de Hankel para la función gamma recíproca aplicada terminológicamente a la serie de potencias para . ${\displaystyle {\mathcal {L}}[F](z)}$ ${\displaystyle F(z)}$

Ejemplo: una integral factorial doble para el EGF de los números de Stirling de segunda especie

La función factorial simple , , se expresa como producto de dos funciones factoriales dobles de la forma ${\displaystyle (2n)!}$

${\displaystyle (2n)!=(2n)!!\times (2n-1)!!={\frac {4^{n}\cdot n!}{\sqrt {\pi }}}\times \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right),}$

donde una integral para la función factorial doble, o función gamma racional , está dada por

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot (2n-1)!!={\frac {2^{n}}{\sqrt {4\pi }}}\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\times \int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/2}t^{2n}\,dt,}$

para números naturales . Esta representación integral de then implica que para potencias integrales fijas distintas de cero , tenemos la fórmula ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle (2n-1)!!}$ ${\displaystyle q\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle k\geq 0}$

${\displaystyle {\frac {\log(q)^{k}}{k!}}={\frac {1}{(2k)!}}\times \left[\int _{0}^{\infty }{\frac {2e^{-t^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left({\sqrt {2\log(q)}}\cdot t\right)^{2k}\,dt\right].}$

Por lo tanto, para cualquier número entero prescrito , podemos usar la representación integral anterior junto con la fórmula para extraer progresiones aritméticas de una secuencia OGF dada anteriormente, para formular la siguiente representación integral para el llamado número de Stirling modificado EGF como ${\displaystyle j\geq 0}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\left\{{\begin{matrix}2n\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {\log(q)^{n}}{n!}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}/2}}{{\sqrt {2\pi }}\cdot j!}}\left[\sum _{b=\pm 1}\left(e^{b{\sqrt {2\log(q)}}\cdot t}-1\right)^{j}\right]dt,}$

que es convergente siempre que las condiciones adecuadas en el parámetro . ^[8] ${\displaystyle 0<|q|<1}$

Ejemplo: una fórmula EGF para las derivadas de orden superior de la serie geométrica

Para valores fijos distintos de cero definidos de manera que , denotemos por la serie geométrica sobre las potencias integrales no negativas de . Las correspondientes derivadas de orden superior de la serie geométrica con respecto a se denotan mediante la secuencia de funciones ${\displaystyle c,z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |cz|<1}$ ${\displaystyle (cz)^{n}}$ ${\displaystyle G(z):=1/(1-cz)}$ ${\displaystyle j^{th}}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle G_{j}(z):={\frac {(cz)^{j}}{1-cz}}\times \left({\frac {d}{dz}}\right)^{(j)}\left[G(z)\right],}$

para números enteros no negativos . Se puede demostrar que estas derivadas de la serie geométrica ordinaria, por ejemplo mediante inducción, satisfacen una fórmula explícita de forma cerrada dada por ${\displaystyle j\geq 0}$ ${\displaystyle j^{th}}$

${\displaystyle G_{j}(z)={\frac {(cz)^{j}\cdot j!}{(1-cz)^{j+2}}},}$

para cualquier momento . Como ejemplo de la tercera fórmula de conversión OGF EGF citada anteriormente, podemos calcular las siguientes formas exponenciales correspondientes de las funciones generadoras : ${\displaystyle j\geq 0}$ ${\displaystyle |cz|<1}$ ${\displaystyle \longmapsto }$ ${\displaystyle G_{j}(z)}$

${\displaystyle {\widehat {G}}_{j}(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }G_{j}\left(ze^{-\imath t}\right)e^{e^{\imath t}}dt={\frac {(cz)^{j}e^{cz}}{(j+1)}}\left(j+1+z\right).}$

Integrales fraccionarias y derivadas

Las integrales fraccionarias y las derivadas fraccionarias (consulte el artículo principal ) forman otra clase generalizada de operaciones de integración y diferenciación que se pueden aplicar al OGF de una secuencia para formar el OGF correspondiente de una secuencia transformada. Porque definimos el operador integral fraccionario (de orden ) mediante la transformación integral ^[9] ${\displaystyle \Re (\alpha )>0}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle I^{\alpha }F(z)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{z}(z-t)^{\alpha -1}F(t)dt,}$

que corresponde a la serie de potencias (formal) dada por

${\displaystyle I^{\alpha }F(z)=\sum _{n\geq 0}{\frac {n!}{\Gamma (n+\alpha +1)}}f_{n}z^{n+\alpha }.}$

Para fijo definido tal que , tenemos que los operadores . Además, para números fijos y enteros que satisfacen podemos definir la noción de derivada fraccionaria que satisface las propiedades que ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Re (\alpha ),\Re (\beta )>0}$ ${\displaystyle I^{\alpha }I^{\beta }=I^{\alpha +\beta }}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0<\Re (\alpha )<n}$

${\displaystyle D^{\alpha }F(z)={\frac {d^{(n)}}{dz^{(n)}}}I^{n-\alpha }F(z),}$

y

${\displaystyle D^{k}I^{\alpha }=D^{n}I^{\alpha +n-k}}$para ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n,}$

donde tenemos la propiedad del semigrupo que solo cuando ninguno de tiene un valor entero. ${\displaystyle D^{\alpha }D^{\beta }=D^{\alpha +\beta }}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha +\beta }$

Transformaciones de series de polilogaritmos

Para fijo , tenemos eso (compárese con el caso especial de la fórmula integral para la función polilogaritmo generalizada de Nielsen definida en ^[10] ) ^[11] ${\displaystyle s\in \mathbb {Z} ^{+}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}}{(n+1)^{s}}}z^{n}={\frac {(-1)^{s-1}}{(s-1)!}}\int _{0}^{1}\log ^{s-1}(t)F(tz)dt.}$

Observe que si establecemos , la integral con respecto a la función generadora, , en la última ecuación cuando corresponde a la función generadora de Dirichlet , o DGF, , de la secuencia de siempre que la integral converja. Esta clase de transformaciones integrales relacionadas con polilogaritmos está relacionada con las transformaciones en series zeta basadas en derivadas definidas en las siguientes secciones. ${\displaystyle g_{n}\equiv f_{n+1}}$ ${\displaystyle G(z)}$ ${\displaystyle z\equiv 1}$ ${\displaystyle {\widetilde {F}}(s)}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}}$

Transformaciones de funciones generadoras de series cuadradas.

Para valores fijos distintos de cero tales que y , tenemos las siguientes representaciones integrales para la denominada función generadora de series cuadradas asociada con la secuencia , que se puede integrar terminológicamente con respecto a : ^[12] ${\displaystyle q,c,z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |q|<1}$ ${\displaystyle |cz|<1}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}q^{n^{2}}f_{n}\cdot (cz)^{n}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/2}\left[F\left(e^{t{\sqrt {2\log(q)}}}\cdot cz\right)+F\left(e^{-t{\sqrt {2\log(q)}}}\cdot cz\right)\right]dt.}$

Este resultado, que se demuestra en la referencia, se deriva de una variante de la integral de transformación de función factorial doble para los números de Stirling del segundo tipo dada como ejemplo arriba. En particular, desde

${\displaystyle q^{n^{2}}=\exp(n^{2}\cdot \log(q))=1+n^{2}\log(q)+n^{4}{\frac {\log(q)^{2}}{2!}}+n^{6}{\frac {\log(q)^{3}}{3!}}+\cdots ,}$

Podemos usar una variante de las transformaciones OGF basadas en derivadas de orden positivo definidas en las siguientes secciones que involucran los números de Stirling del segundo tipo para obtener una fórmula integral para la función generadora de la secuencia, y luego realizar una suma sobre las derivadas. del OGF formal, para obtener el resultado en la ecuación anterior donde la función generadora de progresión aritmética en cuestión se denota por ${\displaystyle \left\{S(2n,j)/n!\right\}}$ ${\displaystyle j^{th}}$ ${\displaystyle F(z)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\left\{{\begin{matrix}2n\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}={\frac {1}{2j!}}\left((e^{z}-1)^{j}+(e^{-z}-1)^{j}\right),}$

para cada fijo . ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$

Productos Hadamard y funciones generadoras diagonales.

Tenemos una representación integral para el producto de Hadamard de dos funciones generadoras, y , expresada de la siguiente forma: ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle G(z)}$

${\displaystyle (F\odot G)(z):=\sum _{n\geq 0}f_{n}g_{n}z^{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }F\left({\sqrt {z}}e^{It}\right)G\left({\sqrt {z}}e^{-It}\right)dt,}$

donde I es la unidad imaginaria .

En el libro de Stanley se puede encontrar más información sobre los productos de Hadamard como funciones generadoras diagonales de secuencias multivariadas y/o funciones generadoras y las clases de funciones generadoras a las que pertenecen estos OGF diagonales. ^[13] La referencia también proporciona fórmulas de extracción de coeficientes anidados de la forma

${\displaystyle \operatorname {diag} \left(F_{1}\cdots F_{k}\right):=\sum _{n\geq 0}f_{1,n}\cdots f_{k,n}z^{n}=[x_{k-1}^{0}\cdots x_{2}^{0}x_{1}^{0}]F_{k}\left({\frac {z}{x_{k-1}}}\right)F_{k-1}\left({\frac {x_{k-1}}{x_{k-2}}}\right)\cdots F_{2}\left({\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)F_{1}(x_{1}),}$

que son particularmente útiles en los casos en los que las funciones generadoras de secuencias componentes, pueden expandirse en una serie de Laurent , o series fraccionarias, en , como en el caso especial donde todas las funciones generadoras de componentes son racionales, lo que conduce a una ecuación algebraica. forma de la función generadora diagonal correspondiente. ${\displaystyle F_{i}(z)}$ ${\displaystyle z}$

Ejemplo: productos de Hadamard de funciones generadoras racionales

En general, el producto de Hadamard de dos funciones generadoras racionales es en sí mismo racional. ^[14] Esto se ve al observar que los coeficientes de una función generadora racional forman términos cuasipolinomiales de la forma

${\displaystyle f_{n}=p_{1}(n)\rho _{1}^{n}+\cdots +p_{\ell }(n)\rho _{\ell }^{n},}$

donde las raíces recíprocas, son escalares fijos y donde es un polinomio para todos . Por ejemplo, el producto de Hadamard de las dos funciones generadoras ${\displaystyle \rho _{i}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle p_{i}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq \ell }$

${\displaystyle F(z):={\frac {1}{1+a_{1}z+a_{2}z^{2}}}}$

y

${\displaystyle G(z):={\frac {1}{1+b_{1}z+b_{2}z^{2}}}}$

viene dada por la fórmula de la función generadora racional ^[15]

${\displaystyle (F\odot G)(z)={\frac {1-a_{2}b_{2}z^{2}}{1-a_{1}b_{1}z+\left(a_{2}b_{1}^{2}+a_{1}^{2}b_{2}-a_{2}b_{2}\right)z^{2}-a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}z^{3}+a_{2}^{2}b_{2}^{2}z^{4}}}.}$

Ejemplo: transformaciones factoriales (de Laplace aproximadas)

Funciones generadoras ordinarias para funciones factoriales generalizadas formadas como casos especiales de funciones de producto factorial ascendentes generalizadas , o símbolo k de Pochhammer , definido por

${\displaystyle p_{n}(\alpha ,R):=R(R+\alpha )\cdots (R+(n-1)\alpha )=\alpha ^{n}\cdot \left({\frac {R}{\alpha }}\right)_{n},}$

donde es fijo, y denota el símbolo de Pochhammer se generan (al menos formalmente) por las fracciones J de tipo Jacobi (o formas especiales de fracciones continuas ) establecidas en la referencia. ^[16] Si denotamos las fracciones convergentes a infinitas continuas donde las funciones convergentes componentes se definen para todos los números enteros por ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ ${\displaystyle (x)_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z):=\operatorname {FP} _{h}(\alpha ,R;z)/\operatorname {FQ} _{h}(\alpha ,R;z)}$ ${\displaystyle h^{\text{th}}}$ ${\displaystyle h\geq 2}$

${\displaystyle \operatorname {FP} _{h}(\alpha ,R;z)=\sum _{n=0}^{h-1}\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {h}{k}}\left(1-h-{\frac {R}{\alpha }}\right)_{k}\left({\frac {R}{\alpha }}\right)_{n-k}\right](\alpha z)^{n},}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {FQ} _{h}(\alpha ,R;z)&=(-\alpha z)^{h}\cdot h!\times L_{h}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)\\&=\sum _{k=0}^{h}{\binom {h}{k}}\left[\prod _{j=0}^{k-1}(R+(j-1-j)\alpha )\right](-z)^{k},\end{aligned}}}$

donde denota un polinomio de Laguerre asociado , entonces tenemos que la función convergente, enumera exactamente las secuencias producto, para todos . Para cada uno , la función convergente se expande como una suma finita que involucra sólo pares de recíprocos de los polinomios de Laguerre en la forma de ${\displaystyle L_{n}^{(\beta )}(x)}$ ${\displaystyle h^{th}}$ ${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z)}$ ${\displaystyle p_{n}(\alpha ,R)}$ ${\displaystyle 0\leq n<2h}$ ${\displaystyle h\geq 2}$ ${\displaystyle h^{th}}$

${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z)=\sum _{i=0}^{h-1}{\binom {{\frac {R}{\alpha }}+i-1}{i}}\times {\frac {(-\alpha z)^{-1}}{(i+1)\cdot L_{i}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)L_{i+1}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)}}}$

Además, dado que la función factorial única está dada por ambos y , podemos generar los términos de la función factorial única utilizando las funciones generadoras convergentes racionales aproximadas hasta el orden . Esta observación sugiere un enfoque para aproximar la transformada exacta (formal) de Laplace-Borel generalmente dada en términos de la representación integral de la sección anterior mediante un producto de Hadamard, o función generadora de coeficiente diagonal. En particular, dado cualquier OGF, podemos formar la transformada de Laplace aproximada, que tiene una precisión de orden, mediante la fórmula de extracción del coeficiente diagonal indicada anteriormente dada por ${\displaystyle n!=p_{n}(1,1)}$ ${\displaystyle n!=p_{n}(-1,n)}$ ${\displaystyle 2h}$ ${\displaystyle G(z)}$ ${\displaystyle 2h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {\mathcal {L}}}_{h}[G](z)&:=[x^{0}]\operatorname {Conv} _{h}\left(1,1;{\frac {z}{x}}\right)G(x)\\&\ ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\operatorname {Conv} _{h}\left(1,1;{\sqrt {z}}e^{It}\right)G\left({\sqrt {z}}e^{-It}\right)dt.\end{aligned}}}$

Ejemplos de secuencias enumeradas a través de estas funciones generadoras de coeficientes diagonales que surgen del multiplicador de función factorial de secuencia proporcionado por las funciones convergentes racionales incluyen

${\displaystyle {\begin{aligned}n!^{2}&=[z^{n}][x^{0}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-1,n;{\frac {z}{x}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-1,n;x\right),h\geq n\\{\binom {2n}{n}}&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}z^{n}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-2,2n;{\frac {z}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-2,2n-1;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {x_{1}}})\\{\binom {3n}{n}}{\binom {2n}{n}}&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}z^{n}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-3,3n-1;{\frac {3z}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-3,3n-2;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {x_{1}}})\\!n&=n!\times \sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}{i!}}=[z^{n}x^{0}]\left({\frac {e^{-x}}{(1-x)}}\operatorname {Conv} _{n}\left(-1,n;{\frac {z}{x}}\right)\right)\\\operatorname {af} (n)&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{n-k}k!=[z^{n}]\left({\frac {\operatorname {Conv} _{n}(1,1;z)-1}{1+z}}\right)\\(t-1)^{n}P_{n}\left({\frac {t+1}{t-1}}\right)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}t^{k}\\&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}][z^{n}]\left(\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {z}{x_{1}}}\right)\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {t\cdot x_{2}}})I_{0}(2{\sqrt {x_{2}}})\right),n\geq 1\\(2n-1)!!&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}k\cdot (2k-3)!!\\&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}x_{3}^{n-1}]\left(\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {x_{3}}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{n}\left(2,1;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right){\frac {(x_{1}+1)e^{x_{1}}}{(1-x_{2})}}\right),\end{aligned}}}$

donde denota una función de Bessel modificada , denota la función subfactorial , denota la función factorial alterna y es un polinomio de Legendre . Otros ejemplos de secuencias enumeradas a través de aplicaciones de estas funciones generadoras de productos racionales de Hadamard dadas en el artículo incluyen la función G de Barnes , sumas combinatorias que involucran la función factorial doble , sumas de secuencias de potencias y secuencias de binomios. ${\displaystyle I_{0}(z)}$ ${\displaystyle !n}$ ${\displaystyle \operatorname {af} (n)}$ ${\displaystyle P_{n}(x)}$

Transformaciones derivadas

Transformaciones de series zeta de orden positivo y negativo.

Para fijo , tenemos que si la secuencia OGF tiene derivadas de todos los órdenes requeridos para , la transformación en serie zeta de orden positivo viene dada por ^[17] ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle j^{th}}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq k}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}n^{k}f_{n}z^{n}=\sum _{j=0}^{k}\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}z^{j}F^{(j)}(z),}$

donde denota un número de Stirling de segunda especie . En particular, tenemos la siguiente identidad de caso especial cuando cuando denota el triángulo de números eulerianos de primer orden : ^[18] ${\displaystyle \scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}}}$ ${\displaystyle f_{n}\equiv 1\forall n}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\left\langle {\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right\rangle }}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}n^{k}z^{n}=\sum _{j=0}^{k}\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {z^{j}\cdot j!}{(1-z)^{j+1}}}={\frac {1}{(1-z)^{k+1}}}\times \sum _{0\leq m<k}\left\langle {\begin{matrix}k\\m\end{matrix}}\right\rangle z^{m+1}.}$

También podemos expandir las transformaciones en serie zeta de orden negativo mediante un procedimiento similar a las expansiones anteriores dadas en términos de las derivadas de orden de some y un conjunto infinito, no triangular, de números de Stirling generalizados al revés , o números de Stirling generalizados de la segundo tipo definido dentro de este contexto. ${\displaystyle j^{th}}$ ${\displaystyle F(z)\in C^{\infty }}$

En particular, para los números enteros , defina estas clases generalizadas de números de Stirling del segundo tipo mediante la fórmula ${\displaystyle k,j\geq 0}$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }:={\frac {1}{j!}}\times \sum _{m=1}^{j}{\binom {j}{m}}{\frac {(-1)^{j-m}}{m^{k}}}.}$

Entonces, para y algún OGF prescrito, es decir, de modo que las derivadas de orden superior de existan para todos , tenemos que ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle F(z)\in C^{\infty }}$ ${\displaystyle j^{th}}$ ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle j\geq 0}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f_{n}}{n^{k}}}z^{n}=\sum _{j\geq 1}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }z^{j}F^{(j)}(z).}$

A continuación se muestra una tabla de los primeros coeficientes de transformación de la serie zeta . Estas expansiones de números armónicos ponderados son casi idénticas a las fórmulas conocidas para los números de Stirling del primer tipo hasta el signo principal de los términos de números armónicos ponderados en las expansiones. ${\displaystyle \scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }}}$

Ejemplos de transformaciones en series zeta de orden negativo

La siguiente serie relacionada con las funciones polilogarítmicas (las funciones dilogaritmo y trilogaritmo , respectivamente), la función zeta alterna y la función zeta de Riemann se formulan a partir de los resultados de series de orden negativo anteriores que se encuentran en las referencias. En particular, cuando (o equivalentemente, cuando en la tabla anterior), tenemos la siguiente serie de casos especiales para el dilogaritmo y el valor constante correspondiente de la función zeta alterna: ${\displaystyle s:=2}$ ${\displaystyle k:=4}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Li}}_{2}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{2}}\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}\\\zeta ^{\ast }(2)&={\frac {\pi ^{2}}{12}}=\sum _{j\geq 1}{\frac {\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right)}{4\cdot 2^{j}}}.\end{aligned}}}$

Cuando (o cuando en la notación utilizada en la subsección anterior), obtenemos de manera similar series de casos especiales para estas funciones dadas por ${\displaystyle s:=3}$ ${\displaystyle k:=5}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Li}}_{3}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{6}}\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}\\\zeta ^{\ast }(3)&={\frac {3}{4}}\zeta (3)=\sum _{j\geq 1}{\frac {\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\right)}{12\cdot 2^{j}}}\\&={\frac {1}{6}}\log(2)^{3}+\sum _{j\geq 0}{\frac {H_{j}H_{j}^{(2)}}{2^{j+1}}}.\end{aligned}}}$

Se sabe que los números armónicos de primer orden tienen una función generadora exponencial de forma cerrada expandida en términos del logaritmo natural , la función gamma incompleta y la integral exponencial dada por

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {H_{n}}{n!}}z^{n}=e^{z}\left({\mbox{E}}_{1}(z)+\gamma +\log z\right)=e^{z}\left(\Gamma (0,z)+\gamma +\log z\right).}$

Las representaciones en serie adicionales para las funciones generadoras exponenciales de números armónicos de orden r para números enteros se forman como casos especiales de estos resultados de transformación en series basadas en derivadas de orden negativo. Por ejemplo, los números armónicos de segundo orden tienen una función generadora exponencial correspondiente expandida por la serie ${\displaystyle r\geq 2}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {H_{n}^{(2)}}{n!}}z^{n}=\sum _{j\geq 1}{\frac {H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}}{2\cdot (j+1)!}}z^{j}e^{z}\left(j+1+z\right).}$

Transformaciones generalizadas de series zeta de orden negativo

Una generalización adicional de las transformaciones en series de orden negativo definidas anteriormente está relacionada con funciones generadoras más similares a Hurwitz-zeta o Lerch-trascendente . Específicamente, si definimos los números de Stirling parametrizados aún más generales del segundo tipo por

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}:={\frac {1}{j!}}\times \sum _{0\leq m\leq j}{\binom {j}{m}}{\frac {(-1)^{j-m}}{(\alpha m+\beta )^{k}}}}$,

para valores distintos de cero tales que , y algunos fijos , tenemos que ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle -{\frac {\beta }{\alpha }}\notin \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle k\geq 1}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f_{n}}{(\alpha n+\beta )^{k}}}z^{n}=\sum _{j\geq 1}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}z^{j}F^{(j)}(z).}$

Además, para cualquier número entero , tenemos las aproximaciones de series parciales a la serie infinita completa en la ecuación anterior dada por ${\displaystyle u,u_{0}\geq 0}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{u}{\frac {f_{n}}{(\alpha n+\beta )^{k}}}z^{n}=[w^{u}]\left(\sum _{j=1}^{u+u_{0}}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}{\frac {(wz)^{j}F^{(j)}(wz)}{1-w}}\right).}$

Ejemplos de transformaciones generalizadas de series zeta de orden negativo

Las series para constantes especiales y funciones relacionadas con zeta resultantes de estas transformaciones en serie basadas en derivadas generalizadas generalmente involucran los números armónicos de orden r generalizados definidos por para enteros . Un par de expansiones en serie particulares para las siguientes constantes cuando son fijas se derivan de casos especiales de identidades de tipo BBP como ${\displaystyle H_{n}^{(r)}(\alpha ,\beta ):=\sum _{1\leq k\leq n}(\alpha k+\beta )^{-r}}$ ${\displaystyle r\geq 1}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {4{\sqrt {3}}\pi }{9}}&=\sum _{j\geq 0}{\frac {8}{9^{j+1}}}\left(2{\binom {j+{\frac {1}{3}}}{\frac {1}{3}}}^{-1}+{\frac {1}{2}}{\binom {j+{\frac {2}{3}}}{\frac {2}{3}}}^{-1}\right)\\\log \left({\frac {n^{2}-n+1}{n^{2}}}\right)&=\sum _{j\geq 0}{\frac {1}{(n^{2}+1)^{j+1}}}\left({\frac {2}{3\cdot (j+1)}}-n^{2}{\binom {j+{\frac {1}{3}}}{\frac {1}{3}}}^{-1}+{\frac {n}{2}}{\binom {j+{\frac {2}{3}}}{\frac {2}{3}}}^{-1}\right).\end{aligned}}}$

Varias otras series para los casos relacionados con la función zeta de la función chi de Legendre , la función poligamma y la función zeta de Riemann incluyen

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{1}(z)&=\sum _{j\geq 0}{\binom {j+{\frac {1}{2}}}{\frac {1}{2}}}^{-1}{\frac {z\cdot (-z^{2})^{j}}{(1-z^{2})^{j+1}}}\\\chi _{2}(z)&=\sum _{j\geq 0}{\binom {j+{\frac {1}{2}}}{\frac {1}{2}}}^{-1}\left(1+H_{j}^{(1)}(2,1)\right){\frac {z\cdot (-z^{2})^{j}}{(1-z^{2})^{j+1}}}\\\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{(z+k)^{2}}}&=\sum _{j\geq 0}{\binom {j+z}{z}}^{-1}\left({\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{z}}H_{j}^{(1)}(2,z)\right){\frac {1}{2^{j+1}}}\\{\frac {13}{18}}\zeta (3)&=\sum _{i=1,2}\sum _{j\geq 0}{\binom {j+{\frac {i}{3}}}{\frac {i}{3}}}^{-1}\left({\frac {1}{i^{3}}}+{\frac {1}{i^{2}}}H_{j}^{(1)}(3,i)+{\frac {1}{2i}}\left(H_{j}^{(1)}(3,i)^{2}+H_{j}^{(2)}(3,i)\right)\right){\frac {(-1)^{i+1}}{2^{j+1}}}.\end{aligned}}}$

Además, podemos dar otra nueva representación explícita en serie de la función tangente inversa a través de su relación con los números de Fibonacci ^[19] ampliados como en las referencias de

${\displaystyle \tan ^{-1}(x)={\frac {\sqrt {5}}{2\imath }}\times \sum _{b=\pm 1}\sum _{j\geq 0}{\frac {b}{\sqrt {5}}}{\binom {j+{\frac {1}{2}}}{j}}^{-1}\left[{\frac {\left(b\imath \varphi t/{\sqrt {5}}\right)^{j}}{\left(1-{\frac {b\imath \varphi t}{\sqrt {5}}}\right)^{j+1}}}-{\frac {\left(b\imath \Phi t/{\sqrt {5}}\right)^{j}}{\left(1+{\frac {b\imath \Phi t}{\sqrt {5}}}\right)^{j+1}}}\right],}$

para y donde la proporción áurea (y su recíproco) están definidas respectivamente por . ${\displaystyle t\equiv 2x/\left(1+{\sqrt {1+{\frac {4}{5}}x^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle \varphi ,\Phi :={\frac {1}{2}}\left(1\pm {\sqrt {5}}\right)}$

Relaciones de inversión e identidades de funciones generadoras.

Relaciones de inversión

Una relación de inversión es un par de ecuaciones de la forma

${\displaystyle g_{n}=\sum _{k=0}^{n}A_{n,k}\cdot f_{k}\quad \longleftrightarrow \quad f_{n}=\sum _{k=0}^{n}B_{n,k}\cdot g_{k},}$

que es equivalente a la relación de ortogonalidad

${\displaystyle \sum _{k=j}^{n}A_{n,k}\cdot B_{k,j}=\delta _{n,j}.}$

Dadas dos secuencias, y , relacionadas por una relación inversa de la forma anterior, a veces buscamos relacionar los OGF y EGF del par de secuencias mediante ecuaciones funcionales implicadas en la relación de inversión. Este objetivo refleja en algunos aspectos la relación de función generadora más teórica de números ( serie de Lambert ) garantizada por la fórmula de inversión de Möbius , que establece que siempre que ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle \{g_{n}\}}$

${\displaystyle a_{n}=\sum _{d|n}b_{d}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{d|n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)a_{d},}$

las funciones generadoras de las secuencias, y , están relacionadas por la transformada de Möbius dada por ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \{b_{n}\}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}a_{n}z^{n}=\sum _{n\geq 1}{\frac {b_{n}z^{n}}{1-z^{n}}}.}$

De manera similar, la transformada de Euler de generar funciones para dos secuencias, y , satisface la relación ^[20] ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \{b_{n}\}}$

${\displaystyle 1+\sum _{n\geq 1}b_{n}z^{n}=\prod _{i\geq 1}{\frac {1}{(1-z^{i})^{a_{i}}}},}$

se da en forma de

${\displaystyle 1+B(z)=\exp \left(\sum _{k\geq 1}{\frac {A(z^{k})}{k}}\right),}$

donde las fórmulas de inversión correspondientes entre las dos secuencias se dan en la referencia.

El resto de los resultados y ejemplos proporcionados en esta sección esbozan algunas de las transformaciones de funciones generadoras más conocidas proporcionadas por secuencias relacionadas mediante fórmulas de inversión (la transformada binomial y la transformada de Stirling ), y proporciona varias tablas de relaciones de inversión conocidas de varios tipos. citado en el libro Combinatorial Identities de Riordan . En muchos casos, omitimos las ecuaciones funcionales correspondientes implícitas en las relaciones de inversión entre dos secuencias ( esta parte del artículo necesita más trabajo ).

La transformada binomial

La primera relación de inversión que se proporciona a continuación implícita en la transformada binomial es quizás la más simple de todas las relaciones de inversión que consideraremos en esta sección. Para dos secuencias cualesquiera, y , relacionadas por las fórmulas de inversión ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle \{g_{n}\}}$

${\displaystyle g_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}f_{k}\quad \longleftrightarrow \quad f_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}g_{k},}$

tenemos ecuaciones funcionales entre los OGF y EGF de estas secuencias proporcionadas por la transformada binomial en las formas de

${\displaystyle G(z)={\frac {1}{1-z}}F\left({\frac {-z}{1-z}}\right)}$

y

${\displaystyle {\widehat {G}}(z)=e^{z}{\widehat {F}}(-z).}$

La transformación de Stirling

Para cualquier par de secuencias, y , relacionadas mediante la fórmula de inversión de números de Stirling ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle \{g_{n}\}}$

${\displaystyle g_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}f_{k}\quad \longleftrightarrow \quad f_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right](-1)^{n-k}g_{k},}$

Estas relaciones de inversión entre las dos secuencias se traducen en ecuaciones funcionales entre las secuencias EGF dadas por la transformada de Stirling como

${\displaystyle {\widehat {G}}(z)={\widehat {F}}\left(e^{z}-1\right)}$

y

${\displaystyle {\widehat {F}}(z)={\widehat {G}}\left(\log(1+z)\right).}$

Tablas de pares de inversión del libro de Riordan.

Estas tablas aparecen en los capítulos 2 y 3 del libro de Riordan y proporcionan una introducción a las relaciones inversas con muchos ejemplos, aunque no enfatizan las ecuaciones funcionales entre las funciones generadoras de secuencias relacionadas por estas relaciones de inversión. Se anima al lector interesado a adquirir una copia del libro original para obtener más detalles.

Varias formas de las relaciones inversas más simples.

Clases de Gould de relaciones inversas

Los términos, y , en las fórmulas de inversión de la forma ${\displaystyle A_{n,k}}$ ${\displaystyle B_{n,k}}$

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{k}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{n-k}a_{k},}$

En la siguiente tabla se dan varios casos especiales de clases de relaciones inversas de Gould .

Para las clases 1 y 2, el rango de la suma satisface , y para las clases 3 y 4 los límites de la suma están dados por . Estos términos también están algo simplificados de sus formas originales en la tabla por las identidades ${\displaystyle k\in [0,n]}$ ${\displaystyle k=n,n+1,\ldots }$

${\displaystyle {\binom {p+qn-k}{n-k}}-q\times {\binom {p+qn-k-1}{n-k-1}}={\frac {p+qk-k}{p+qn-k}}{\binom {p+qn-k}{n-k}}}$

${\displaystyle {\binom {p+qk-k}{n-k}}+q\times {\binom {p+qk-k}{n-1-k}}={\frac {p+qn-n+1}{p+qk-n+1}}{\binom {p+qk-k}{n-k}}.}$

Las relaciones inversas de Chebyshev más simples

Los denominados casos más simples de las clases de relaciones inversas de Chebyshev en la subsección siguiente se dan en la siguiente tabla.

Las fórmulas de la tabla se simplifican un poco mediante las siguientes identidades:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {n-k}{k}}+{\binom {n-k-1}{k-1}}&={\frac {n}{n-k}}{\binom {n-k}{k}}\\{\binom {n}{k}}-{\binom {n}{k-1}}&={\frac {n+1-k}{n+1-2k}}{\binom {n}{k}}\\{\binom {n+2k}{k}}-{\binom {n+2k}{k-1}}&={\frac {n+1}{n+1+k}}{\binom {n+2k}{k}}\\{\binom {n+k-1}{k}}-{\binom {n+k-1}{k-1}}&={\frac {n-k}{n+k}}{\binom {n+k}{k}}.\end{aligned}}}$

Además, las relaciones de inversión que figuran en la tabla también se cumplen en cualquier relación dada. ${\displaystyle n\longmapsto n+p}$

Clases de Chebyshev de relaciones inversas.

Los términos, y , en las fórmulas de inversión de la forma ${\displaystyle A_{n,k}}$ ${\displaystyle B_{n,k}}$

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{n+ck}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{k}a_{n+ck},}$

para números enteros distintos de cero que forman varios casos especiales de las clases de relaciones inversas de Chebyshev se dan en la siguiente tabla. ${\displaystyle c}$

Además, estas relaciones de inversión también se mantienen cuando para algunos o cuando el factor de signo de se desplaza de los términos a los términos . Las fórmulas dadas en la tabla anterior se simplifican un poco por las identidades ${\displaystyle n\longmapsto n+p}$ ${\displaystyle p=0,1,2,\ldots ,}$ ${\displaystyle (-1)^{k}}$ ${\displaystyle B_{n,k}}$ ${\displaystyle A_{n,k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {n+ck+k}{k}}-(c+1){\binom {n+ck+k-1}{k-1}}&={\frac {n}{n+ck+k}}{\binom {n+ck+k}{k}}\\{\binom {n}{k}}+(c+1){\binom {n}{k-1}}&={\frac {n+1+ck}{n+1-k}}{\binom {n}{k}}\\{\binom {n-1+k}{k}}+c{\binom {n-1+k}{k-1}}&={\frac {n+ck}{n}}{\binom {n-1+k}{k}}\\{\binom {n+ck}{k}}-(c-1){\binom {n+ck}{k-1}}&={\frac {n+1}{n+1+ck-k}}{\binom {n+ck}{k}}.\end{aligned}}}$

Las relaciones inversas de Legendre más simples

Clases de relaciones inversas de Legendre-Chebyshev

Las clases de relaciones inversas de Legendre-Chebyshev corresponden a relaciones de inversión de la forma

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{k}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{n-k}a_{k},}$

donde los términos, y , dependen implícitamente de algún valor fijo distinto de cero . En general, dada una clase de pares inversos de Chebyshev de la forma ${\displaystyle A_{n,k}}$ ${\displaystyle B_{n,k}}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{n-ck}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{k}a_{n-ck},}$

si es primo, la sustitución de , y (posiblemente reemplazando ) conduce a un par Legendre-Chebyshev de la forma ^[23] ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n\longmapsto cn+p}$ ${\displaystyle a_{cn+p}\longmapsto A_{n}}$ ${\displaystyle b_{cn+p}\longmapsto B_{n}}$ ${\displaystyle k\longmapsto n-k}$

${\displaystyle A_{n}=\sum _{k}A_{cn+p,k}B_{n-k}\quad \longleftrightarrow \quad B_{n}=\sum _{k}B_{cn+p,k}(-1)^{k}A_{n-k}.}$

De manera similar, si el entero positivo es compuesto, podemos derivar pares de inversión de la forma ${\displaystyle c:=de}$

${\displaystyle A_{n}=\sum _{k}A_{dn+p,k}B_{n-ek}\quad \longleftrightarrow \quad B_{n}=\sum _{k}B_{dn+p,k}(-1)^{k}A_{n-ek}.}$

La siguiente tabla resume varias clases generalizadas de relaciones inversas de Legendre-Chebyshev para algún número entero distinto de cero . ${\displaystyle c}$

Abel relaciones inversas

Las relaciones inversas de Abel corresponden a los pares inversos de Abel de la forma

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}A_{nk}b_{k}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{nk}(-1)^{n-k}a_{k},}$

donde los términos, y , pueden variar implícitamente con algún parámetro de suma indeterminado . Estas relaciones también siguen siendo válidas si se realiza la sustitución del coeficiente binomial de por algún número entero no negativo . La siguiente tabla resume varias formas notables de estas relaciones inversas de Abel. ${\displaystyle A_{nk}}$ ${\displaystyle B_{nk}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\binom {n}{k}}\longmapsto {\binom {n+p}{k+p}}}$ ${\displaystyle p}$

Relaciones inversas derivadas de funciones generadoras ordinarias.

Si dejamos que los números de Fibonacci convolucionados , se definan por ${\displaystyle f_{k}^{(\pm p)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{n}^{(p)}&=\sum _{j\geq 0}{\binom {p+n-j-1}{n-j}}{\binom {n-j}{j}}\\f_{n}^{(-p)}&=\sum _{j\geq 0}{\binom {p}{n+j}}{\binom {n-j}{j}}(-1)^{n-j},\end{aligned}}}$

tenemos la siguiente tabla de relaciones inversas que se obtienen a partir de propiedades de funciones generadoras de secuencias ordinarias demostradas como en la sección 3.3 del libro de Riordan.

Tenga en cuenta que las relaciones 3, 4, 5 y 6 de la tabla se pueden transformar según las sustituciones y para algún número entero fijo distinto de cero . ${\displaystyle a_{n-k}\longmapsto a_{n-qk}}$ ${\displaystyle b_{n-k}\longmapsto b_{n-qk}}$ ${\displaystyle q\geq 1}$

Relaciones inversas derivadas de funciones generadoras exponenciales

Sean y denoten los números de Bernoulli y los números de Euler , respectivamente, y supongamos que las secuencias,, y están definidas por las siguientes funciones generadoras exponenciales: ^[24] ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle \{d_{2n}\}}$ ${\displaystyle \{e_{2n}\}}$ ${\displaystyle \{f_{2n}\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 0}{\frac {d_{2n}z^{2n}}{(2n)!}}&={\frac {2z}{e^{z}-e^{-z}}}\\\sum _{n\geq 0}{\frac {e_{2n}z^{2n}}{(2n)!}}&={\frac {z^{2}}{e^{z}+e^{-z}-2}}\\\sum _{n\geq 0}{\frac {f_{2n}z^{2n}}{(2n)!}}&={\frac {z^{3}}{3(e^{z}-e^{-z}-2z)}}.\end{aligned}}}$

La siguiente tabla resume varios casos notables de relaciones de inversión obtenidas a partir de funciones generadoras exponenciales en la sección 3.4 del libro de Riordan. ^[25]

Inversos multinomiales

Las relaciones inversas utilizadas para formular la transformada binomial citada en la subsección anterior se generalizan a las correspondientes relaciones inversas de dos índices para secuencias de dos índices, y a fórmulas de inversión multinomial para secuencias de índices que involucran los coeficientes binomiales en Riordan. ^[26] En particular, tenemos la forma de una relación inversa de dos índices dada por ${\displaystyle j\geq 3}$

${\displaystyle a_{mn}=\sum _{j=0}^{m}\sum _{k=0}^{n}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k}}(-1)^{j+k}b_{jk}\quad \longleftrightarrow \quad b_{mn}=\sum _{j=0}^{m}\sum _{k=0}^{n}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k}}(-1)^{j+k}a_{jk},}$

y la forma más general de un par multinomial de fórmulas de inversión dada por

${\displaystyle a_{n_{1}n_{2}\cdots n_{j}}=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{j}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}\cdots {\binom {n_{j}}{k_{j}}}(-1)^{k_{1}+\cdots +k_{j}}b_{k_{1}k_{2}\cdots k_{j}}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n_{1}n_{2}\cdots n_{j}}=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{j}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}\cdots {\binom {n_{j}}{k_{j}}}(-1)^{k_{1}+\cdots +k_{j}}a_{k_{1}k_{2}\cdots k_{j}}.}$

Notas

1. El arte de la programación informática de Knuth (Vol. 1).
2. Solución al ejercicio 7.36 en la página 569 en Graham, Knuth y Patshnik.
3. Ver apartado 3.3 en Comtet.
4. Consulte las secciones 3.3 a 3.4 en Comtet.
5. Consulte la sección 1.9 (vi) del Manual del NIST.
6. Consulte la página 566 de Graham, Knuth y Patashnik para conocer la última fórmula de conversión.
7. Consulte el Apéndice B.13 de Flajolet y Sedgewick.
8. Consulte la demostración del teorema 2.3 en Math.NT/1609.02803 .
9. Consulte la sección 1.15 (vi) – (vii) del Manual del NIST .
10. Weisstein, Eric W. "Polilogaritmo generalizado de Nielsen". MundoMatemático .
11. Consulte la ecuación (4) en la sección 2 del artículo de Borwein, Borwein y Girgensohn Evaluación explícita de sumas de Euler (1994).
12. Consulte el artículo Math.NT/1609.02803 .
13. Consulte la sección 6.3 del libro de Stanley.
14. Consulte la sección 2.4 del libro de Lando.
15. Potekhina, EA (2017). "Aplicación del producto Hadamard a algunos problemas combinatorios y probabilísticos". discr. Matemáticas. Aplica . 27 (3): 177–186. doi :10.1515/dma-2017-0020. S2CID  125969602.
16. Schmidt, Doctor en Medicina (2017). "Fracciones continuas tipo Jacobi para funciones generadoras ordinarias de funciones factoriales generalizadas". J. Int. Sec . 20 : 17.3.4. arXiv : 1610.09691 .
17. Consulte la prueba inductiva que figura en la sección 2 de Math.NT/1609.02803 .
18. Consulte la tabla de la sección 7.4 de Graham, Knuth y Patashnik.
19. Consulte la ecuación (30) en la página de MathWorld para conocer la función tangente inversa.
20. Weisstein, E. "Transformada de Euler". MundoMatemático .
21. Solución al ejercicio 5.71 de Matemática Concreta .
22. Spivey, MZ (2006). "La transformada k-binomial y la transformada de Hankel". Diario de secuencias enteras . 9 (Artículo 06.1.1): 11. Bibcode :2006JIntS...9...11S.
23. Ver la sección 2.5 de Riordan
24. Consulte la sección 3.4 en Riordan.
25. Compárese con las fórmulas de inversión que figuran en la sección 24.5 (iii) del Manual del NIST .
26. Consulte la sección 3.5 del libro de Riordan.

Referencias

• Comtet, L. (1974). Combinatoria avanzada (PDF) . D. Editorial Reidel. ISBN 9027703809.
• Flajolet y Sedgewick (2010). Combinatoria Analítica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-89806-5.
• Graham, Knuth y Patashnik (1994). Matemáticas concretas: una base para la informática (2ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 0201558025.
• Knuth, DE (1997). El arte de la programación informática: algoritmos fundamentales . vol. 1. Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4.
• Lando, SK (2002). Conferencias sobre funciones generadoras . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-3481-9.
• Oliver, Lozier, Boisvert y Clark (2010). Manual de funciones matemáticas del NIST . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-14063-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Riordan, J. (1968). Identidades combinatorias . Wiley e hijos.
• Romano, S. (1984). El cálculo umbral . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-44139-3.
• Schmidt, MD (3 de noviembre de 2016). "Transformaciones de funciones generadoras de series Zeta relacionadas con números de Stirling generalizados y sumas parciales de la función Zeta de Hurwitz". arXiv : 1611.00957 [matemáticas.CO].
• Schmidt, MD (30 de octubre de 2016). "Serie Zeta que genera transformaciones de funciones relacionadas con funciones polilogarítmicas y los números armónicos de orden k ". arXiv : 1610.09666 [matemáticas.CO].
• Schmidt, Doctor en Medicina (2017). "Fracciones continuas tipo Jacobi para las funciones generadoras ordinarias de funciones factoriales generalizadas". Diario de secuencias enteras . 20 . arXiv : 1610.09691 .
• Schmidt, MD (9 de septiembre de 2016). "Transformaciones de funciones generadoras de series cuadradas". arXiv : 1609.02803 [matemáticas.NT].
• Stanley, RP (1999). Combinatoria enumerativa . vol. 2. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-78987-5.

enlaces externos

• ¿Por qué no enseñan el cálculo de Newton de "¿Qué viene después?" - Matólogo