El cálculo mental consiste en cálculos aritméticos que utilizan únicamente el cerebro humano , sin ayuda de ningún material (como lápiz y papel) o dispositivos como una calculadora . Las personas pueden utilizar el cálculo mental cuando no están disponibles las herramientas informáticas, cuando es más rápido que otros medios de cálculo (como los métodos de las instituciones educativas convencionales) o incluso en un contexto competitivo . El cálculo mental a menudo implica el uso de técnicas específicas ideadas para tipos específicos de problemas. Las personas con una capacidad inusualmente alta para realizar cálculos mentales se denominan calculadoras mentales o calculadoras relámpago .
Muchas de estas técnicas aprovechan o dependen del sistema de numeración decimal .
Después de aplicar una operación aritmética a dos operandos y obtener un resultado, se puede utilizar el siguiente procedimiento para mejorar la confianza en la exactitud del resultado:
Ejemplo
El mismo procedimiento se puede utilizar con múltiples operaciones, repitiendo los pasos 1 y 2 para cada operación.
Al multiplicar, es útil recordar que los factores de los operandos siguen siendo los mismos. Por ejemplo, decir que 14 × 15 es 201 sería poco razonable. Como 15 es múltiplo de 5, el producto también debería serlo. Asimismo, 14 es múltiplo de 2, por lo que el producto debería ser par. Además, cualquier número que sea múltiplo de 5 y de 2 es necesariamente múltiplo de 10, y en el sistema decimal terminaría en 0. La respuesta correcta es 210. Es múltiplo de 10, 7 (el otro factor primo de 14) y 3 (el otro factor primo de 15).
Cuando los dígitos de b son todos menores que los dígitos correspondientes de a , el cálculo se puede realizar dígito por dígito. Por ejemplo, evalúe 872 − 41 simplemente restando 1 de 2 en el lugar de las unidades y 4 de 7 en el lugar de las decenas: 831.
Cuando la situación anterior no se aplica, existe otro método conocido como cálculo indirecto.
Este método se puede utilizar para restar números de izquierda a derecha y, si todo lo que se requiere es leer el resultado en voz alta, requiere poca memoria del usuario incluso para restar números de tamaño arbitrario.
Se maneja un lugar a la vez, de izquierda a derecha.
Ejemplo: 4075 − 1844 ------Miles: 4 − 1 = 3, mira a la derecha, 075 < 844, necesitas pedir prestado. 3 − 1 = 2, digamos "dos mil". Se está realizando 3 - 1 en lugar de 4 - 1 porque la columna a la derecha es Voy a pedir prestado de los miles.Cientos: 0 − 8 = números negativos no permitidos aquí. Se va a aumentar este lugar utilizando el número uno prestado de la columna a la izquierda. Por lo tanto: 10 − 8 = 2. Es 10 en lugar de 0, porque uno tomó prestado de los Millares. lugar. 75> 44 así que no hay necesidad de pedir prestado, decir "doscientos"Decenas: 7 − 4 = 3, 5 > 4, por lo tanto 5 - 4 = 1
Por lo tanto, el resultado es 2231.
Muchos de estos métodos funcionan gracias a la propiedad distributiva .
Para cualquier problema de multiplicación de 2 dígitos por 2 dígitos, si ambos números terminan en cinco, se puede utilizar el siguiente algoritmo para multiplicarlos rápidamente: [1]
Como paso preliminar, simplemente redondee el número más pequeño hacia abajo y el más grande hacia arriba hasta el múltiplo de diez más cercano. En este caso:
El algoritmo se lee de la siguiente manera:
Donde t 1 es la unidad de decenas del número original más grande (75) y t 2 es la unidad de decenas del número original más pequeño (35).
Para multiplicar fácilmente cualquier número de 2 dígitos, un algoritmo simple es el siguiente (donde a es el dígito de las decenas del primer número, b es el dígito de las unidades del primer número, c es el dígito de las decenas del segundo número y d es el dígito de las unidades del segundo número):
Por ejemplo,
800 +120 +140 + 21----- 1081
Tenga en cuenta que esto es lo mismo que la suma convencional de productos parciales, sólo que reformulada de forma breve. Para minimizar la cantidad de elementos que se retienen en la memoria, puede ser conveniente realizar primero la suma del producto de multiplicación "cruzada" y luego sumar los otros dos elementos:
es decir, en este ejemplo
A lo cual es fácil sumar 21:281 y luego 800:1081
Una regla mnemotécnica fácil de recordar para esto sería FOIL . F significa primero, O significa exterior, I significa interior y L significa último. Por ejemplo:
y
donde 7 es a , 5 es b , 2 es c y 3 es d .
Considerar
Esta expresión es análoga a cualquier número en base 10 con centenas, decenas y unidades. FOIL también puede considerarse como un número donde F son las centenas, OI las decenas y L las unidades.
es el producto del primer dígito de cada uno de los dos números; F.
es la suma del producto de los dígitos externos y los dígitos internos; OI.
es el producto del último dígito de cada uno de los dos números; L.
Como 9 = 10 − 1, para multiplicar un número por nueve, multiplícalo por 10 y luego réstale el número original al resultado. Por ejemplo, 9 × 27 = 270 − 27 = 243.
Este método se puede ajustar para multiplicar por ocho en lugar de nueve, duplicando el número que se resta; 8 × 27 = 270 − (2 × 27) = 270 − 54 = 216.
De manera similar, sumando en lugar de restar, se pueden utilizar los mismos métodos para multiplicar por 11 y 12, respectivamente (aunque existen métodos más simples para multiplicar por 11).
Para números de un solo dígito, simplemente duplique el número en el dígito de las decenas, por ejemplo: 1 × 11 = 11, 2 × 11 = 22, hasta 9 × 11 = 99.
El producto de cualquier número entero mayor distinto de cero se puede encontrar mediante una serie de adiciones a cada uno de sus dígitos, de derecha a izquierda, dos a la vez.
Primero, toma el dígito de las unidades y cópialo en el resultado temporal. Luego, comenzando con el dígito de las unidades del multiplicador, suma cada dígito al dígito a su izquierda. Luego, cada suma se suma a la izquierda del resultado, delante de todas las demás. Si un número suma 10 o más, toma el dígito de las decenas, que siempre será 1, y transfiérelo a la siguiente suma. Finalmente, copia el dígito más a la izquierda (el de mayor valor) del multiplicador al frente del resultado, agregando el 1 que se transfirió si es necesario, para obtener el producto final.
En el caso de un 11 negativo, el multiplicador o ambos aplican el signo al producto final como en la multiplicación normal de los dos números.
Un ejemplo paso a paso de 759 × 11:
Más ejemplos:
Otro método es simplemente multiplicar el número por 10 y sumar el número original al resultado.
Por ejemplo:
17 × 11
17 × 10 = 170
170 + 17 = 187
17 × 11 = 187
Una última forma fácil:
Si uno tiene un número de dos dígitos, tómelo y súmelos y ponga esa suma en el medio, y podrá obtener la respuesta.
Por ejemplo: 24 x 11 = 264 porque 2 + 4 = 6 y el 6 está entre el 2 y el 4.
Segundo ejemplo: 87 x 11 = 957 porque 8 + 7 = 15, entonces el 5 va entre el 8 y el 7 y el 1 se lleva al 8. Así que básicamente es 857 + 100 = 957.
O si 43 x 11 es igual a 4+3=7 (para el dígito de las decenas), entonces 4 es para las centenas y 3 es para las decenas. Y la respuesta es 473.
Esta técnica permite multiplicar fácilmente números cercanos o menores a 100.(90-99) [2] Las variables serán los dos números que uno multiplica.
El producto de dos variables que van del 90 al 99 dará como resultado un número de 4 dígitos. El primer paso es encontrar el dígito de las unidades y el dígito de las decenas.
Resta ambas variables de 100, lo que dará como resultado 2 números de un dígito. El producto de los 2 números de un dígito serán los dos últimos dígitos del producto final.
A continuación, resta una de las dos variables de 100. Luego, resta la diferencia de la otra variable. Esa diferencia serán los dos primeros dígitos del producto final, y el número de 4 dígitos resultante será el producto final.
Ejemplo:
95 x97 ----Últimos dos dígitos: 100-95=5 (restar el primer número de 100) 100-97=3 (restar el segundo número de 100) 5*3=15 (multiplica las dos diferencias) Producto final- yx15Primeros dos dígitos: 100-95=5 (Restar el primer número de la ecuación de 100) 97-5=92 (Resta esa respuesta del segundo número de la ecuación) Ahora, la diferencia serán los dos primeros dígitos Producto final- 9215Alternar para los dos primeros dígitos 5+3=8 (Suma los dos dígitos individuales obtenidos al calcular los "Últimos dos dígitos" en el paso anterior) 100-8=92 (Resta esa respuesta de 100) Ahora, la diferencia serán los dos primeros dígitos Producto final- 9215
Los productos de números pequeños se pueden calcular utilizando los cuadrados de números enteros; por ejemplo, para calcular 13 × 17, se puede observar que 15 es la media de los dos factores y pensar en ello como (15 − 2) × (15 + 2), es decir, 15 2 − 2 2 . Sabiendo que 15 2 es 225 y 2 2 es 4, una simple resta muestra que 225 − 4 = 221, que es el producto deseado.
Este método requiere saber de memoria un número determinado de cuadrados:
Puede resultar útil saber que la diferencia entre dos números cuadrados sucesivos es la suma de sus respectivas raíces cuadradas. Por lo tanto, si se sabe que 12 × 12 = 144 y se desea saber 13 × 13, se calcula 144 + 12 + 13 = 169.
Esto se debe a que ( x + 1) 2 − x 2 = x 2 + 2 x + 1 − x 2 = x + ( x + 1)
x2 = ( x - 1) 2 + (2x - 1)
Tome un número dado y súmele y réstele un valor determinado que facilite la multiplicación. Por ejemplo:
492 está cerca de 500, por lo que es fácil multiplicarlo. Suma y resta 8 (la diferencia entre 500 y 492) para obtener
Multiplica estos números para obtener 242 000 (esto se puede hacer de manera eficiente dividiendo 484 por 2 = 242 y multiplicando por 1000). Finalmente, suma la diferencia (8) al cuadrado (8 2 = 64) al resultado:
La prueba es la siguiente:
Este método requiere la memorización de los cuadrados de los números de un dígito del 1 al 9.
El cuadrado de mn , siendo mn un entero de dos dígitos, se puede calcular como
Lo que significa que el cuadrado de mn se puede encontrar sumando n a mn , multiplicando por m , sumando 0 al final y finalmente sumando el cuadrado de n .
Por ejemplo, 23 2 :
Entonces 23 2 = 529.
Supongamos que uno necesita elevar al cuadrado un número n cercano a 50.
El número puede expresarse como n = 50 − a , por lo que su cuadrado es (50− a ) 2 = 50 2 − 100 a + a 2 . Se sabe que 50 2 es 2500. Por lo tanto, se resta 100 a de 2500 y luego se suma a 2 .
Por ejemplo, digamos que uno quiere elevar al cuadrado 48, que es 50 − 2. Uno resta 200 de 2500 y suma 4, y obtiene n 2 = 2304. Para números mayores que 50 ( n = 50 + a ), suma 100× a en lugar de restarlo.
Este método requiere la memorización de los cuadrados del 1 al 24.
El cuadrado de n (que se calcula más fácilmente cuando n está entre 26 y 74 inclusive) es
En otras palabras, el cuadrado de un número es el cuadrado de su diferencia entre cincuenta más cien veces la diferencia del número por veinticinco. Por ejemplo, para elevar al cuadrado 62:
Este método requiere la memorización de los cuadrados del 1 al a , donde a es la diferencia absoluta entre n y 100. Por ejemplo, los estudiantes que han memorizado sus cuadrados del 1 al 24 pueden aplicar este método a cualquier número entero del 76 al 124.
El cuadrado de n (es decir, 100 ± a ) es
En otras palabras, el cuadrado de un número es el cuadrado de su diferencia con 100 sumado al producto de cien por la diferencia de cien por el producto de dos por la diferencia de cien por el número. Por ejemplo, para elevar al cuadrado 93:
Otra forma de verlo sería así:
Otro ejemplo:
82 2 = ? (es −18 de 100) 82 − 18 = 64 (restamos primeros dígitos). (−18) 2 = 324 (segundo par de dígitos. Será necesario llevar el 3.) 82 2 = 6724
Este método es una extensión directa de la explicación dada anteriormente para elevar al cuadrado un número entero cercano a 100.
1012 2 = ? (1012 es +12 de 1000) (+12) 2 = 144 ( n dígitos finales) 1012 + 12 = 1024 (dígitos iniciales) 1012 2 = 1024144
9997 2 = ? (9997 es -3 de 10000) (-3) 2 = 0009 ( n dígitos finales) 9997 - 3 = 9994 (dígitos iniciales) 9997 2 = 99940009
Este método es una extensión directa de la explicación dada anteriormente para números enteros cercanos a 10 n .
407 2 = ? (407 es +7 de 400) (+7) 2 = 49 ( n dígitos finales) 407 + 7 = 414 414 × 4 = 1656 (dígitos iniciales; tenga en cuenta que esta multiplicación por m no fue necesaria para los números enteros del 76 al 124 porque su m = 1) 407 2 = 165649
79991 2 = ? (79991 es -9 de 80000) (-9) 2 = 0081 ( n dígitos finales) 79991 - 9 79982 × 8 = 639856 (dígitos iniciales) 79991 2 = 6398560081
Una forma fácil de aproximar la raíz cuadrada de un número es utilizar la siguiente ecuación:
Cuanto más cercano esté el cuadrado conocido al desconocido, más precisa será la aproximación. Por ejemplo, para estimar la raíz cuadrada de 15, se podría partir del conocimiento de que el cuadrado perfecto más cercano es 16 (4 2 ).
Por lo tanto, la raíz cuadrada estimada de 15 es 3,875. La raíz cuadrada real de 15 es 3,872983... Una cosa a tener en cuenta es que, sin importar cuál haya sido la suposición original, la respuesta estimada siempre será mayor que la respuesta real debido a la desigualdad de las medias aritmética y geométrica . Por lo tanto, se debe intentar redondear la respuesta estimada hacia abajo.
Nótese que si n 2 es el cuadrado perfecto más cercano al cuadrado deseado x y d = x - n 2 es su diferencia, es más conveniente expresar esta aproximación en forma de fracción mixta como . Por lo tanto, en el ejemplo anterior, la raíz cuadrada de 15 es Como otro ejemplo, la raíz cuadrada de 41 es mientras que el valor real es 6.4031...
Puede simplificar el cálculo mental observar que este método es equivalente a la media del cuadrado conocido y el cuadrado desconocido, dividido por la raíz cuadrada conocida:
Por definición, si r es la raíz cuadrada de x, entonces
Luego se redefine la raíz.
donde a es una raíz conocida (4 del ejemplo anterior) y b es la diferencia entre la raíz conocida y la respuesta que se busca.
Expansión de los rendimientos
Si 'a' está cerca del objetivo, 'b' será un número lo suficientemente pequeño como para hacer que el elemento de la ecuación sea insignificante. Por lo tanto, se puede descartar y reorganizar la ecuación para
y por lo tanto
que se puede reducir a
Alternativamente, este enfoque de aproximación de raíz cuadrada puede verse como un solo paso del método de Newton .
La extracción de raíces de potencias perfectas es una práctica habitual. La dificultad de la tarea no depende del número de dígitos de la potencia perfecta, sino de la precisión, es decir, del número de dígitos de la raíz. Además, también depende del orden de la raíz; encontrar raíces perfectas, en las que el orden de la raíz es coprimo con 10, es algo más fácil, ya que los dígitos están desordenados de forma coherente, como en la siguiente sección.
Una tarea fácil para el principiante es extraer raíces cúbicas de los cubos de números de dos dígitos. Por ejemplo, dado 74088, determine qué número de dos dígitos, al multiplicarse por sí mismo una vez y luego multiplicarse por el número nuevamente, da como resultado 74088. Quien conozca el método sabrá rápidamente que la respuesta es 42, ya que 42 3 = 74088.
Antes de aprender el procedimiento, es necesario que el ejecutante memorice los cubos de los números del 1 al 10:
Observe que hay un patrón en el dígito más a la derecha: sumar y restar con 1 o 3. Comenzando desde cero:
Hay dos pasos para extraer la raíz cúbica del cubo de un número de dos dígitos. Por ejemplo, para extraer la raíz cúbica de 29791, hay que determinar la posición de las unidades del número de dos dígitos. Como el cubo termina en 1, como se ve arriba, debe ser 1.
Nótese que cada dígito corresponde a sí mismo excepto 2, 3, 7 y 8, que simplemente se restan de diez para obtener el dígito correspondiente.
El segundo paso es determinar el primer dígito de la raíz cúbica de dos dígitos observando la magnitud del cubo dado. Para ello, elimina los últimos tres dígitos del cubo dado (29791 → 29) y encuentra el cubo más grande que es mayor (aquí es donde se necesita conocer los cubos de los números del 1 al 10). Aquí, 29 es mayor que 1 al cubo, mayor que 2 al cubo, mayor que 3 al cubo, pero no mayor que 4 al cubo. El cubo más grande que es mayor es 3, por lo que el primer dígito del cubo de dos dígitos debe ser 3.
Por lo tanto, la raíz cúbica de 29791 es 31.
Otro ejemplo:
Este proceso se puede ampliar para encontrar raíces cúbicas de 3 dígitos de longitud, utilizando el módulo aritmético 11. [3]
Este tipo de trucos se pueden usar en cualquier raíz donde el orden de la raíz sea coprimo con 10; por lo tanto, no funciona en la raíz cuadrada, ya que la potencia, 2, divide a 10. 3 no divide a 10, por lo tanto, las raíces cúbicas funcionan.
Para aproximar un logaritmo común (con una precisión de al menos un punto decimal), se requieren algunas reglas logarítmicas y la memorización de algunos logaritmos. Es necesario saber:
A partir de esta información, se puede encontrar el logaritmo de cualquier número del 1 al 9.
El primer paso para aproximar el logaritmo común es poner el número dado en notación científica. Por ejemplo, el número 45 en notación científica es 4,5 × 10 1 , pero uno lo llamará a × 10 b . A continuación, encuentre el logaritmo de a, que está entre 1 y 10. Comience por encontrar el logaritmo de 4, que es 0,60, y luego el logaritmo de 5, que es 0,70 porque 4,5 está entre estos dos. A continuación, y la habilidad en esto viene con la práctica, coloque un 5 en una escala logarítmica entre .6 y .7, en algún lugar alrededor de .653 (NOTA: el valor real de los lugares adicionales siempre será mayor que si se colocara en una escala regular. es decir, uno esperaría que fuera a .650 porque está a mitad de camino, pero en cambio, será un poco más grande, en este caso, .653) Una vez que uno ha obtenido el logaritmo de a, simplemente agréguele b para obtener la aproximación del logaritmo común. En este caso, a + b = 0.653 + 1 = 1.653. El valor real de log(45) ~ 1.65321.
El mismo proceso se aplica a los números entre 0 y 1. Por ejemplo, 0,045 se escribiría como 4,5 × 10 −2 . La única diferencia es que b ahora es negativo, por lo que cuando se suma uno, en realidad se resta. Esto arrojaría el resultado 0,653 − 2 = −1,347.
El esfuerzo físico del nivel adecuado puede conducir a un aumento en el rendimiento de una tarea mental , como hacer cálculos mentales, realizada posteriormente. [4] Se ha demostrado que durante altos niveles de actividad física hay un efecto negativo en el rendimiento de la tarea mental. [5] Esto significa que demasiado trabajo físico puede disminuir la precisión y el resultado de los cálculos matemáticos mentales. Se ha demostrado que las medidas fisiológicas , específicamente el EEG , son útiles para indicar la carga de trabajo mental . [6] El uso de un EEG como medida de la carga de trabajo mental después de diferentes niveles de actividad física puede ayudar a determinar el nivel de esfuerzo físico que será más beneficioso para el rendimiento mental. El trabajo previo realizado en la Universidad Tecnológica de Michigan por Ranjana Mehta incluye un estudio reciente en el que los participantes participaron en tareas mentales y físicas simultáneas. [7] Este estudio investigó los efectos de las demandas mentales en el rendimiento físico en diferentes niveles de esfuerzo físico y, en última instancia, encontró una disminución en el rendimiento físico cuando las tareas mentales se completaron simultáneamente, con un efecto más significativo en el nivel más alto de carga de trabajo físico. El procedimiento de Brown-Peterson es una tarea ampliamente conocida que utiliza aritmética mental. Este procedimiento, utilizado principalmente en experimentos cognitivos , sugiere que la resta mental es útil para probar los efectos que el ensayo de mantenimiento puede tener sobre la duración de la memoria a corto plazo .
El primer Campeonato Mundial de Cálculo Mental tuvo lugar en 1998. Este evento se repite todos los años y ahora se lleva a cabo en línea. Consiste en una variedad de tareas diferentes, como suma, resta, multiplicación, división, raíces cuadradas irracionales y exactas, raíces cúbicas y raíces más profundas, factorizaciones, fracciones y fechas del calendario. [8]
En 2004 se celebró la primera Copa del Mundo de Cálculo Mental ( Mental Calculation World Cup ) [9]. Se trata de una competición presencial que se celebra cada dos años en Alemania. Consta de cuatro tareas estándar diferentes: suma de diez números de diez cifras, multiplicación de dos números de ocho cifras, cálculo de raíces cuadradas y cálculo de días de la semana para fechas dadas, además de una variedad de tareas "sorpresa". [10]
El primer Memoriald internacional se celebró en Estambul , Turquía, en 2008. El segundo Memoriald tuvo lugar en Antalya , Turquía, del 24 al 25 de noviembre de 2012. Participaron 89 competidores de 20 países. Se entregaron premios y premios en dinero para 10 categorías en total; de las cuales 5 categorías tenían que ver con el cálculo mental (suma mental, multiplicación mental, raíces cuadradas mentales (no enteras), cálculo mental de fechas del calendario y Flash Anzan). El tercer Memoriald se celebró en Las Vegas, EE. UU., del 8 al 10 de noviembre de 2016.
