Transformación estabilizadora de varianza

En estadística aplicada , una transformación estabilizadora de varianza es una transformación de datos que se elige específicamente para simplificar las consideraciones en el análisis exploratorio gráfico de datos o para permitir la aplicación de técnicas simples basadas en regresión o análisis de varianza . ^[1]

Descripción general

El objetivo detrás de la elección de una transformación estabilizadora de varianza es encontrar una función simple ƒ para aplicar a valores x en un conjunto de datos para crear nuevos valores y = ƒ ( x ) tales que la variabilidad de los valores y no esté relacionada con su valor medio. Por ejemplo, supongamos que los valores x son realizaciones de diferentes distribuciones de Poisson : es decir, cada una de las distribuciones tiene diferentes valores medios μ . Entonces, debido a que para la distribución de Poisson la varianza es idéntica a la media, la varianza varía con la media. Sin embargo, si la transformación estabilizadora de varianza simple

${\displaystyle y={\sqrt {x}}\,}$

Si se aplica, la varianza de muestreo asociada con la observación será casi constante: consulte la transformada de Anscombe para obtener detalles y algunas transformaciones alternativas.

Si bien las transformaciones estabilizadoras de la varianza son bien conocidas para ciertas familias paramétricas de distribuciones, como la distribución de Poisson y la distribución binomial , algunos tipos de análisis de datos proceden de manera más empírica: por ejemplo, buscando entre las transformaciones de potencia para encontrar una transformación fija adecuada. Alternativamente, si el análisis de datos sugiere una forma funcional para la relación entre la varianza y la media, esto se puede utilizar para deducir una transformación estabilizadora de la varianza. ^[2] Por lo tanto, si, para una media μ ,

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=h(\mu ),\,}$

Una base adecuada para una transformación estabilizadora de la varianza sería

${\displaystyle y\propto \int ^{x}{\frac {1}{\sqrt {h(\mu )}}}\,d\mu ,}$

donde la constante arbitraria de integración y un factor de escala arbitrario se pueden elegir por conveniencia.

Ejemplo: varianza relativa

Si X es una variable aleatoria positiva y para alguna constante, s, la varianza se da como h ( μ ) = s ² μ ² entonces la desviación estándar es proporcional a la media, lo que se denomina error relativo fijo . En este caso, la transformación estabilizadora de la varianza es

${\displaystyle y=\int ^{x}{\frac {d\mu }{\sqrt {s^{2}\mu ^{2}}}}={\frac {1}{s}}\ln(x)\propto \log(x)\,.}$

Es decir, la transformación estabilizadora de la varianza es la transformación logarítmica.

Ejemplo: varianza absoluta más relativa

Si la varianza se da como h ( μ ) = σ ² + s ² μ ² entonces la varianza está dominada por una varianza fija σ ² cuando | μ | es suficientemente pequeña y está dominada por la varianza relativa s ² μ ² cuando | μ | es suficientemente grande. En este caso, la transformación estabilizadora de la varianza es

${\displaystyle y=\int ^{x}{\frac {d\mu }{\sqrt {\sigma ^{2}+s^{2}\mu ^{2}}}}={\frac {1}{s}}\operatorname {asinh} {\frac {x}{\sigma /s}}\propto \operatorname {asinh} {\frac {x}{\lambda }}\,.}$

Es decir, la transformación estabilizadora de la varianza es el seno hiperbólico inverso del valor escalado x / λ para λ = σ / s .

Ejemplo: correlación de Pearson

La transformación de Fisher es una transformación estabilizadora de varianza para el coeficiente de correlación de Pearson.

Relación con el método delta

Aquí se presenta el método delta de forma general, pero es suficiente para ver la relación con las transformaciones estabilizadoras de la varianza. Para ver un enfoque más formal, consulte el método delta .

Sea una variable aleatoria, con y . Defina , donde es una función regular. Una aproximación de Taylor de primer orden para es: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E[X]=\mu }$ ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle Y=g(X)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Y=g(x)}$

${\displaystyle Y=g(X)\approx g(\mu )+g'(\mu )(X-\mu )}$

De la ecuación anterior, obtenemos:

${\displaystyle E[Y]\approx g(\mu )}$y ${\displaystyle \operatorname {Var} [Y]\approx \sigma ^{2}g'(\mu )^{2}}$

Este método de aproximación se llama método delta.

Consideremos ahora una variable aleatoria tal que y . Observemos la relación entre la varianza y la media, que implica, por ejemplo, heterocedasticidad en un modelo lineal. Por lo tanto, el objetivo es encontrar una función que tenga una varianza independiente (al menos aproximadamente) de su esperanza. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E[X]=\mu }$ ${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=h(\mu )}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Y=g(X)}$

Imponiendo la condición , esta igualdad implica la ecuación diferencial: ${\displaystyle \operatorname {Var} [Y]\approx h(\mu )g'(\mu )^{2}={\text{constant}}}$

${\displaystyle {\frac {dg}{d\mu }}={\frac {C}{\sqrt {h(\mu )}}}}$

Esta ecuación diferencial ordinaria tiene, por separación de variables, la siguiente solución:

${\displaystyle g(\mu )=\int {\frac {C\,d\mu }{\sqrt {h(\mu )}}}}$

Esta última expresión apareció por primera vez en un artículo de MS Bartlett . ^[3]

Referencias

1. Everitt, BS (2002). Diccionario de estadística de Cambridge (2.ª edición). ISBN: 978-0-85-300-00000000 . 0-521-81099-X.
2. Dodge, Y. (2003). Diccionario Oxford de términos estadísticos . OUP. ISBN 0-19-920613-9.
3. Bartlett, MS (1947). "El uso de transformaciones". Biometrics . 3 : 39–52. doi :10.2307/3001536.