Aproximación lineal

Aproximación de una función por su recta tangente en un punto

Línea tangente en ( a , f ( a ))

En matemáticas , una aproximación lineal es una aproximación de una función general utilizando una función lineal (más precisamente, una función afín ). Se utilizan ampliamente en el método de diferencias finitas para producir métodos de primer orden para resolver o aproximar soluciones a ecuaciones.

Definición

Dada una función de una variable real que es continuamente diferenciable dos veces, el teorema de Taylor para el caso establece que donde es el término restante. La aproximación lineal se obtiene eliminando el resto: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n=1}$ $${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_{2}}$$ ${\displaystyle R_{2}}$ $${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).}$$

Esta es una buena aproximación cuando está lo suficientemente cerca de ; ya que una curva, cuando se observa de cerca, comenzará a parecerse a una línea recta. Por lo tanto, la expresión en el lado derecho es simplemente la ecuación para la línea tangente a la gráfica de en . Por esta razón, este proceso también se llama aproximación de línea tangente . Las aproximaciones lineales en este caso se mejoran aún más cuando la segunda derivada de a, , es suficientemente pequeña (cerca de cero) (es decir, en o cerca de un punto de inflexión ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (a,f(a))}$ ${\displaystyle f''(a)}$

Si es cóncava hacia abajo en el intervalo entre y , la aproximación será una sobreestimación (ya que la derivada es decreciente en ese intervalo). Si es cóncava hacia arriba , la aproximación será una subestimación. ^[1] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$

Las aproximaciones lineales para funciones vectoriales de una variable vectorial se obtienen de la misma manera, reemplazando la derivada en un punto por la matriz jacobiana . Por ejemplo, dada una función diferenciable con valores reales, se puede aproximar para cerca de mediante la fórmula ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (a,b)}$ $${\displaystyle f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).}$$

El lado derecho es la ecuación del plano tangente a la gráfica de en ${\displaystyle z=f(x,y)}$ ${\displaystyle (a,b).}$

En el caso más general de los espacios de Banach , se tiene donde es la derivada de Fréchet de en . $${\displaystyle f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a)}$$ ${\displaystyle Df(a)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$

Aplicaciones

Óptica

La óptica gaussiana es una técnica de la óptica geométrica que describe el comportamiento de los rayos de luz en sistemas ópticos mediante la aproximación paraxial , en la que solo se consideran los rayos que forman ángulos pequeños con el eje óptico del sistema. ^[2] En esta aproximación, las funciones trigonométricas se pueden expresar como funciones lineales de los ángulos. La óptica gaussiana se aplica a sistemas en los que todas las superficies ópticas son planas o son partes de una esfera . En este caso, se pueden dar fórmulas explícitas simples para los parámetros de un sistema de imágenes, como la distancia focal, el aumento y el brillo, en términos de las formas geométricas y las propiedades materiales de los elementos constituyentes.

Periodo de oscilación

El período de oscilación de un péndulo de gravedad simple depende de su longitud , de la fuerza de gravedad local y, en pequeña medida, del ángulo máximo en el que el péndulo oscila alejándose de la vertical, θ ₀ , llamado amplitud . ^[3] Es independiente de la masa de la plomada. El período verdadero T de un péndulo simple, el tiempo que tarda un ciclo completo de un péndulo de gravedad simple ideal, se puede escribir de varias formas diferentes (véase péndulo ), un ejemplo es la serie infinita : ^{[4] [5]} $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {L \over g}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)}$$

donde L es la longitud del péndulo y g es la aceleración local de la gravedad .

Sin embargo, si se toma la aproximación lineal (es decir, si la amplitud se limita a pequeñas oscilaciones, ^{[Nota 1]} ) el período es: ^[6]

En la aproximación lineal, el período de oscilación es aproximadamente el mismo para oscilaciones de diferente tamaño: es decir, el período es independiente de la amplitud . Esta propiedad, llamada isocronismo , es la razón por la que los péndulos son tan útiles para medir el tiempo. ^[7] Las oscilaciones sucesivas del péndulo, incluso si cambian de amplitud, toman la misma cantidad de tiempo.

Resistividad eléctrica

La resistividad eléctrica de la mayoría de los materiales cambia con la temperatura. Si la temperatura T no varía demasiado, se suele utilizar una aproximación lineal: donde se denomina coeficiente de temperatura de resistividad , es una temperatura de referencia fija (normalmente la temperatura ambiente) y es la resistividad a la temperatura . El parámetro es un parámetro empírico ajustado a partir de los datos de medición. Debido a que la aproximación lineal es solo una aproximación, es diferente para diferentes temperaturas de referencia. Por este motivo, es habitual especificar la temperatura a la que se midió con un sufijo, como , y la relación solo se mantiene en un rango de temperaturas alrededor de la referencia. ^[8] Cuando la temperatura varía en un amplio rango de temperaturas, la aproximación lineal es inadecuada y se debe utilizar un análisis y una comprensión más detallados. $${\displaystyle \rho (T)=\rho _{0}[1+\alpha (T-T_{0})]}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha _{15}}$

Véase también

• Aproximación binomial
• El método de Euler
• Diferencias finitas
• Métodos de diferencias finitas
• El método de Newton
• Serie de potencias
• Serie de Taylor

Notas

1. Una oscilación "pequeña" es aquella en la que el ángulo θ es lo suficientemente pequeño como para que sen(θ) pueda aproximarse por θ cuando θ se mide en radianes.

Referencias

1. "12.1 Estimación del valor de una función mediante la aproximación lineal". Archivado desde el original el 3 de marzo de 2013 . Consultado el 3 de junio de 2012 .
2. Lipson, A.; Lipson, SG; Lipson, H. (2010). Física óptica (4.ª ed.). Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. pág. 51. ISBN 978-0-521-49345-1.
3. Milham, Willis I. (1945). Tiempo y cronometradores . MacMillan. págs. 188-194. OCLC  1744-137.
4. Nelson, Robert; MG Olsson (febrero de 1987). "El péndulo: física enriquecida a partir de un sistema simple" (PDF) . American Journal of Physics . 54 (2): 112–121. Bibcode :1986AmJPh..54..112N. doi :10.1119/1.14703. S2CID  121907349 . Consultado el 29 de octubre de 2008 .
5. Beckett, Edmund; y tres más (1911). "Reloj"  . En Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica . Vol. 06 (11.ª ed.). Cambridge University Press. págs. 534–553, véase página 538, segundo párrafo. Péndulo .incluye una derivación
6. Halliday, David; Robert Resnick; Jearl Walker (1997). Fundamentos de física, 5.ª edición . Nueva York: John Wiley & Sons. pág. 381. ISBN. 0-471-14854-7.
7. Cooper, Herbert J. (2007). Scientific Instruments. Nueva York: Hutchinson's. pág. 162. ISBN 978-1-4067-6879-4.
8. Ward, MR (1971). Ingeniería eléctrica . McGraw-Hill. págs. 36-40. ISBN. 0-07-094255-2.

Lectura adicional

• Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E. (1984). Cálculo III . Berlín: Springer-Verlag. pág. 775. ISBN. 0-387-90985-0.
• Strang, Gilbert (1991). Cálculo . Wellesley College. pág. 94. ISBN 0-9614088-2-0.
• Bock, David; Hockett, Shirley O. (2005). Cómo prepararse para el examen AP de cálculo . Hauppauge, NY: Barrons Educational Series. pág. 118. ISBN 0-7641-2382-3.