Aproximaciones medias efectivas

Método de aproximación de las propiedades de un material compuesto.

En ciencia de materiales , las aproximaciones del medio efectivo ( EMA ) o la teoría del medio efectivo ( EMT ) pertenecen al modelado analítico o teórico que describe las propiedades macroscópicas de los materiales compuestos . Los EMA o EMT se desarrollan a partir del promedio de los múltiples valores de los componentes que forman directamente el material compuesto. A nivel de constituyentes, los valores de los materiales varían y son poco homogéneos . El cálculo preciso de los numerosos valores constituyentes es casi imposible. Sin embargo, se han desarrollado teorías que pueden producir aproximaciones aceptables que a su vez describen parámetros útiles, incluida la permitividad y permeabilidad efectivas de los materiales en su conjunto. En este sentido, las aproximaciones del medio efectivo son descripciones de un medio (material compuesto) basadas en las propiedades y las fracciones relativas de sus componentes y se derivan de cálculos ^{[1] [2]} y de la teoría del medio efectivo . ^[3] Hay dos fórmulas ampliamente utilizadas. ^[4]

La permitividad y la permeabilidad efectivas son características dieléctricas y magnéticas promediadas de un medio microhomogéneo. Ambos se derivaron en una aproximación cuasiestática cuando el campo eléctrico dentro de una partícula de mezcla puede considerarse homogéneo. Por tanto, estas fórmulas no pueden describir el efecto del tamaño de las partículas. Se realizaron muchos intentos para mejorar estas fórmulas.

Aplicaciones

Existen muchas aproximaciones de medios efectivos diferentes, ^[5] cada una de las cuales es más o menos precisa en distintas condiciones. Sin embargo, todos suponen que el sistema macroscópico es homogéneo y, como es típico en todas las teorías de campo medio, no logran predecir las propiedades de un medio multifásico cercano al umbral de percolación debido a la ausencia de correlaciones de largo alcance o fluctuaciones críticas en la teoría. .

Las propiedades que se consideran suelen ser la conductividad o la constante dieléctrica ^[6] del medio. Estos parámetros son intercambiables en las fórmulas de una amplia gama de modelos debido a la amplia aplicabilidad de la ecuación de Laplace. Los problemas que quedan fuera de esta clase se encuentran principalmente en el campo de la elasticidad y la hidrodinámica, debido al carácter tensorial de orden superior de las constantes efectivas del medio. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Los EMA pueden ser modelos discretos, como los aplicados a redes de resistencias, o teorías del continuo aplicadas a la elasticidad o la viscosidad. Sin embargo, la mayoría de las teorías actuales tienen dificultades para describir los sistemas de percolación. De hecho, entre las numerosas aproximaciones medias efectivas, sólo la teoría simétrica de Bruggeman es capaz de predecir un umbral. Este rasgo característico de esta última teoría la sitúa en la misma categoría que otras teorías de campo medio de fenómenos críticos . ^{[ cita necesaria ]}

El modelo de Bruggeman.

Para una mezcla de dos materiales con permitividades y con fracciones de volumen correspondientes y , DAG Bruggeman propuso una fórmula de la siguiente forma: ^[7] ${\displaystyle \varepsilon _{m}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{d}}$ ${\displaystyle c_{m}}$ ${\displaystyle c_{d}}$

Aquí, el signo positivo antes de la raíz cuadrada debe modificarse a un signo negativo en algunos casos para obtener la parte imaginaria correcta de la permitividad compleja efectiva que está relacionada con la atenuación de las ondas electromagnéticas. La fórmula es simétrica con respecto al intercambio de los roles 'd' y 'm'. Esta fórmula se basa en la igualdad.

donde es el salto del flujo de desplazamiento eléctrico en toda la superficie de integración, es la componente del campo eléctrico microscópico normal a la superficie de integración, es la permitividad compleja relativa local que toma el valor dentro de la partícula de metal seleccionada, el valor dentro de la partícula dieléctrica seleccionada y el valor fuera de la partícula recogida, es el componente normal del campo eléctrico macroscópico. La fórmula (4) surge de la igualdad de Maxwell . Por tanto, en el enfoque de Bruggeman sólo se considera una partícula seleccionada. La interacción con todas las demás partículas se tiene en cuenta sólo en una aproximación de campo medio descrita por . La fórmula (3) proporciona una curva resonante razonable para las excitaciones de plasmones en nanopartículas metálicas si su tamaño es de 10 nm o menos. Sin embargo, no puede describir la dependencia del tamaño de la frecuencia de resonancia de las excitaciones de plasmones que se observan en los experimentos ^[8]. ${\displaystyle \Delta \Phi }$ ${\displaystyle E_{n}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \varepsilon _{r}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \varepsilon _{m}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{d}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eff} }}$ ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {div} (\varepsilon _{r}\mathbf {E} )=0}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eff} }}$

Fórmulas

Sin pérdida de generalidad, consideraremos el estudio de la conductividad efectiva (que puede ser CC o CA) para un sistema formado por inclusiones esféricas multicomponentes con diferentes conductividades arbitrarias. Entonces la fórmula de Bruggeman toma la forma:

Inclusiones circulares y esféricas.

En un sistema de dimensión espacial euclidiana que tiene un número arbitrario de componentes, ^[9] la suma se realiza entre todos los constituyentes. y son respectivamente la fracción y la conductividad de cada componente, y es la conductividad efectiva del medio. (La suma sobre la 's es la unidad). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \delta _{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{e}}$ ${\displaystyle \delta _{i}}$

Inclusiones elípticas y elipsoidales.

Esta es una generalización de la ecuación. (1) a un sistema bifásico con inclusiones elipsoidales de conductividad en una matriz de conductividad . ^[10] La fracción de inclusiones es y el sistema es dimensional. Para inclusiones orientadas aleatoriamente, ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma _{m}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle n}$

donde los 's denotan el doblete/triplete apropiado de factores de despolarización que se rige por las relaciones entre los ejes de la elipse/elipsoide. Por ejemplo: en el caso de un círculo ( , ) y en el caso de una esfera ( , , ). (La suma sobre 's es la unidad). ${\displaystyle L_{j}}$ ${\displaystyle L_{1}=1/2}$ ${\displaystyle L_{2}=1/2}$ ${\displaystyle L_{1}=1/3}$ ${\displaystyle L_{2}=1/3}$ ${\displaystyle L_{3}=1/3}$ ${\displaystyle L_{j}}$

El caso más general al que se ha aplicado el enfoque de Bruggeman involucra inclusiones elipsoidales bianisotrópicas. ^[11]

Derivación

La figura ilustra un medio de dos componentes. ^[9] Considere el volumen de conductividad sombreado , tómelo como una esfera de volumen y suponga que está incrustado en un medio uniforme con una conductividad efectiva . Si el campo eléctrico lejos de la inclusión es entonces consideraciones elementales conducen a un momento dipolar asociado con el volumen. ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \sigma _{e}}$ ${\displaystyle {\overline {E_{0}}}}$

Esta polarización produce una desviación de . Para que la desviación promedio desaparezca, la polarización total sumada entre los dos tipos de inclusión debe desaparecer. De este modo ${\displaystyle {\overline {E_{0}}}}$

donde y son respectivamente la fracción de volumen del material 1 y 2. Esto se puede extender fácilmente a un sistema de dimensiones que tiene un número arbitrario de componentes. Todos los casos se pueden combinar para producir la ecuación. (1). ${\displaystyle \delta _{1}}$ ${\displaystyle \delta _{2}}$ ${\displaystyle n}$

Ec. (1) también se puede obtener exigiendo que la desviación de la corriente desaparezca. ^{[12] [13]} Se ha derivado aquí del supuesto de que las inclusiones son esféricas y se pueden modificar para formas con otros factores de despolarización; conduciendo a la ecuación. (2).

También está disponible una derivación más general aplicable a materiales bianisotrópicos. ^[11]

Modelado de sistemas de percolación.

La principal aproximación es que todos los dominios están ubicados en un campo medio equivalente. Desafortunadamente, no es el caso cerca del umbral de percolación donde el sistema está gobernado por el mayor grupo de conductores, que es un fractal, y correlaciones de largo alcance que están totalmente ausentes en la simple fórmula de Bruggeman. En general, los valores umbral no se predicen correctamente. Es del 33% en la EMA, en tres dimensiones, lejos del 16% esperado por la teoría de la percolación y observado en experimentos. Sin embargo, en dos dimensiones, la EMA da un umbral del 50% y se ha demostrado que modela la percolación relativamente bien. ^{[14] [15] [16]}

Ecuación de Maxwell Garnett

En la aproximación de Maxwell Garnett , ^[17] el medio efectivo consta de un medio matricial con inclusiones con . Maxwell Garnett era hijo del físico William Garnett y recibió su nombre del amigo de Garnett, James Clerk Maxwell . Propuso su fórmula para explicar las imágenes en color que se observan en gafas dopadas con nanopartículas metálicas. Su fórmula tiene una forma ${\displaystyle \varepsilon _{m}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

donde es la permitividad compleja relativa efectiva de la mezcla, es la permitividad compleja relativa del medio de fondo que contiene pequeñas inclusiones esféricas de permitividad relativa con una fracción de volumen de . Esta fórmula se basa en la igualdad. ${\displaystyle \varepsilon _{\text{eff}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{d}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{m}}$ ${\displaystyle c_{m}\ll 1}$

donde es la permitividad absoluta del espacio libre y es el momento dipolar eléctrico de una única inclusión inducida por el campo eléctrico externo E. Sin embargo, esta igualdad es buena sólo para medios homogéneos y . Además, la fórmula (1) ignora la interacción entre inclusiones individuales. Debido a estas circunstancias, la fórmula (1) proporciona una curva de resonancia demasiado estrecha y demasiado alta para las excitaciones de plasmones en nanopartículas metálicas de la mezcla. ^[18] ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle p_{m}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{d}=1}$

Fórmula

La ecuación de Maxwell Garnett dice: ^[19]

donde es la constante dieléctrica efectiva del medio, de las inclusiones y de la matriz; es la fracción de volumen de las inclusiones. ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eff} }}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{m}}$ ${\displaystyle \delta _{i}}$

La ecuación de Maxwell Garnett se resuelve mediante: ^{[20] [21]}

siempre y cuando el denominador no desaparezca. Una calculadora MATLAB simple que usa esta fórmula es la siguiente.

% Esta sencilla calculadora de MATLAB calcula la constante dieléctrica efectiva % de una mezcla de un material de inclusión en un medio base % según la teoría de Maxwell Garnett % ENTRADAS: % eps_base: constante dieléctrica del material base; % eps_incl: constante dieléctrica del material de inclusión; % vol_incl: porción de volumen del material de inclusión; % SALIDA: % eps_mean: constante dieléctrica efectiva de la mezcla.función  eps_mean = MaxwellGarnettFormula ( eps_base, eps_incl, vol_incl )   número_pequeño_corte = 1e-6 ;   si vol_incl < 0 || vol_incl > 1 disp ( 'ADVERTENCIA: ¡la porción de volumen del material de inclusión está fuera de rango!' ); factor_up final = 2 * ( 1 - vol_incl ) * eps_base + ( 1 + 2 * vol_incl ) * eps_incl ; factor_down = ( 2 + vol_incl ) * eps_base + ( 1 - vol_incl ) * eps_incl ; if abs ( factor_down ) < small_number_cutoff disp ( 'ADVERTENCIA: ¡el medio efectivo es singular!' ); media_eps = 0 ; de lo contrario eps_mean = eps_base * factor_up / factor_down ; fin fin                                                        

Derivación

Para derivar la ecuación de Maxwell Garnett comenzamos con una serie de partículas polarizables. Utilizando el concepto de campo local de Lorentz, obtenemos la relación Clausius-Mossotti :

$${\displaystyle {\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon +2}}={\frac {4\pi }{3}}\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}}$$

${\displaystyle N_{j}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \alpha =\left({\frac {\varepsilon _{i}-1}{\varepsilon _{i}+2}}\right)a^{3}}$$

ecuación de Clausius Mosotti ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \left({\frac {\varepsilon _{\mathrm {eff} }-1}{\varepsilon _{\mathrm {eff} }+2}}\right)=\delta _{i}\left({\frac {\varepsilon _{i}-1}{\varepsilon _{i}+2}}\right)}$$

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eff} }}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle \delta _{i}}$

Validez

En términos generales, se espera que la EMA de Maxwell Garnett sea válida en fracciones de volumen bajas , ya que se supone que los dominios están separados espacialmente y se desprecia la interacción electrostática entre las inclusiones elegidas y todas las demás inclusiones vecinas. ^[22] La fórmula de Maxwell Garnett, a diferencia de la fórmula de Bruggeman, deja de ser correcta cuando las inclusiones se vuelven resonantes. En el caso de la resonancia de plasmones, la fórmula de Maxwell Garnett es correcta sólo en la fracción de volumen de las inclusiones . ^[23] Se ha estudiado la aplicabilidad de la aproximación del medio efectivo para multicapas dieléctricas ^[24] y multicapas metal-dieléctricas ^[25] , lo que demuestra que hay ciertos casos en los que la aproximación del medio efectivo no se cumple y es necesario tener cuidado en la aplicación de la teoría. ${\displaystyle \delta _{i}}$ ${\displaystyle \delta _{i}<10^{-5}}$

Generalización de la ecuación de Maxwell Garnett para describir la distribución del tamaño de las nanopartículas.

La ecuación de Maxwell Garnett describe las propiedades ópticas de los nanocompuestos que consisten en una colección de nanopartículas perfectamente esféricas. Todas estas nanopartículas deben tener el mismo tamaño. Sin embargo, debido al efecto de confinamiento, las propiedades ópticas pueden verse influenciadas por la distribución del tamaño de las nanopartículas. Como lo muestran Battie et al., ^[26] la ecuación de Maxwell Garnett se puede generalizar para tener en cuenta esta distribución.

${\displaystyle {\frac {(\varepsilon _{\text{eff}}-\varepsilon _{m})}{\varepsilon _{\text{eff}}-2\varepsilon _{m}}}={\frac {3i\lambda ^{3}}{16\pi ^{2}\varepsilon _{m}^{1.5}}}{\frac {f}{R_{m}^{3}}}\int P(R)a_{1}(R)dR}$

${\displaystyle R}$y son el radio de las nanopartículas y la distribución de tamaño, respectivamente. y son el radio medio y la fracción de volumen de las nanopartículas, respectivamente. es el primer coeficiente de Mie eléctrico. Esta ecuación revela que la ecuación clásica de Maxwell Garnett da una estimación falsa de la fracción de volumen de las nanopartículas cuando no se puede despreciar la distribución de tamaños. ${\displaystyle P(R)}$ ${\displaystyle R_{m}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{1}}$

Generalización para incluir la distribución de formas de nanopartículas.

La ecuación de Maxwell Garnett sólo describe las propiedades ópticas de un conjunto de nanopartículas perfectamente esféricas. Sin embargo, las propiedades ópticas de los nanocompuestos son sensibles a la distribución de la forma de las nanopartículas. Para superar este límite, Y. Battie et al. ^[27] han desarrollado la teoría del medio efectivo distribuido de forma (SDEMT). Esta teoría del medio efectivo permite calcular la función dieléctrica efectiva de un nanocompuesto que consiste en un conjunto de nanopartículas elipsoidales distribuidas en forma.

${\displaystyle \varepsilon _{\text{eff}}={\frac {(1-f)\varepsilon _{m}+f\beta \varepsilon _{i}}{1-f+f\beta }}}$

con ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{3}}\iint P(L_{1},L_{2})\sum _{i\mathop {=} 1}^{3}{\frac {\varepsilon _{m}}{\varepsilon _{m}+L_{i}(\varepsilon _{i}-\varepsilon _{m})}}dL_{1}dL_{2}}$

Los factores de despolarización ( ) sólo dependen de la forma de las nanopartículas. es la distribución de los factores de despolarización. f es la fracción de volumen de las nanopartículas. ${\displaystyle L_{1},L_{2},L_{3}}$ ${\displaystyle P(L_{1},L_{2})}$

La teoría SDEMT se utilizó para extraer la distribución de formas de nanopartículas a partir de espectros de absorción ^[28] o elipsométricos. ^{[29] [30]}

Fórmula que describe el efecto del tamaño.

Se propuso una nueva fórmula que describe el efecto del tamaño. ^[18] Esta fórmula tiene una forma

$${\displaystyle \varepsilon _{\text{eff}}={\frac {1}{4}}\left(H_{\varepsilon }+i{\sqrt {-H_{\varepsilon }^{2}-8\varepsilon _{m}\varepsilon _{d}J(k_{m}a)}}\right),}$$

$${\displaystyle J(x)=2{\frac {1-x\cot(x)}{x^{2}+x\cot(x)-1}},}$$

auna aproximación cuasiestática ${\displaystyle k_{m}={\sqrt {\varepsilon _{m}\mu _{m}}}\omega /c}$ ${\displaystyle \mathrm {exp} (-i\omega t).}$ ${\displaystyle J(k_{m}a)}$ ${\displaystyle k_{m}a\ll 1}$ ${\displaystyle a\leq \mathrm {10\,nm} }$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle J(k_{m}a)=1}$

Fórmula de permeabilidad efectiva

La fórmula para la permeabilidad efectiva de mezclas tiene una forma ^[18]

$${\displaystyle H_{\mu }=(2-3c_{m})\mu _{d}-(1-3c_{m})\mu _{m}J(k_{m}a).}$$

Aquí , la permeabilidad compleja relativa efectiva de la mezcla es la permeabilidad compleja relativa del medio de fondo que contiene pequeñas inclusiones esféricas de permeabilidad relativa con una fracción de volumen de . Esta fórmula se derivó en aproximación dipolar. Aquí se despreciaron el modo octupolo magnético y todos los demás modos de oscilación magnética de órdenes impares. Cuando y esta fórmula tiene una forma simple ^[18] ${\displaystyle \mu _{\text{eff}}}$ ${\displaystyle \mu _{d}}$ ${\displaystyle \mu _{m}}$ ${\displaystyle c_{m}\ll 1}$ ${\displaystyle \mu _{m}=\mu _{d}}$ ${\displaystyle k_{m}a\ll 1}$

Teoría del medio eficaz para redes de resistencias.

Para una red que consta de una alta densidad de resistencias aleatorias, una solución exacta para cada elemento individual puede resultar poco práctica o imposible. En tal caso, una red de resistencias aleatorias puede considerarse como un gráfico bidimensional y la resistencia efectiva puede modelarse en términos de medidas gráficas y propiedades geométricas de las redes. ^[31] Suponiendo que la longitud del borde es mucho menor que el espaciado de los electrodos y que los bordes están distribuidos uniformemente, se puede considerar que el potencial cae uniformemente de un electrodo a otro. La resistencia laminar de dicha red aleatoria ( ) se puede escribir en términos de densidad de borde (alambre) ( ), resistividad ( ), ancho ( ) y espesor ( ) de los bordes (alambres) como: ${\displaystyle R_{sn}}$ ${\displaystyle N_{E}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle t}$

Ver también

• ecuación constitutiva
• Umbral de percolación

Referencias

1. Wenshan, Cai ; Shalaev, Vladimir (noviembre de 2009). Metamateriales ópticos: fundamentos y aplicaciones. Saltador. págs. Capítulo 2.4. ISBN 978-1-4419-1150-6.
2. Wang, M; Pan, N (2008). "Predicciones de propiedades físicas efectivas de materiales multifásicos complejos" (Descarga gratuita de PDF) . Ciencia e ingeniería de materiales: R: Informes . 63 : 1–30. doi :10.1016/j.mser.2008.07.001.
3. TC Choy, "Teoría del medio eficaz", Oxford University Press, (2016) 241 p.
4. M. Scheller, C. Jansen, M. Koch, "Aplicaciones de teorías de medios eficaces en el régimen de terahercios" en Tecnologías ópticas y fotónicas recientes , ed. por KY Kim, Intech, Croacia, Vukovar (2010), pág. 231.
5. Tinga, WR; Voss, WAG; Blossey, DF (1973). "Enfoque generalizado de la teoría de mezclas dieléctricas multifásicas". J. Aplica. Física . 44 (9): 3897. Código bibliográfico : 1973JAP....44.3897T. doi : 10.1063/1.1662868. Archivado desde el original el 16 de julio de 2012 . Consultado el 24 de abril de 2019 .
6. Lóva, Paola; Megahd, Heba; Stagnaro, Paola; Alloisio, Marina; Patrini, Magdalena; Comoretto, Davide (15 de junio de 2020). "Estrategias para mejorar el contraste dieléctrico en cristales fotónicos poliméricos planos 1D". Ciencias Aplicadas . 10 (12): 4122. doi : 10.3390/app10124122 . ISSN  2076-3417.
7. Bruggeman, DAG (1935). "Berechnung verschiedener physikalischer Konstanten von heterogenen Substanzen. I. Dielektrizitätskonstanten und Leitfähigkeiten der Mischkörper aus isotropen Substanzen". Annalen der Physik (en alemán). 416 (7): 636–664. Código bibliográfico : 1935AnP...416..636B. doi : 10.1002/andp.19354160705. ISSN  0003-3804.
8. SJ Oldenburg. "Nanopartículas de plata: propiedades y aplicaciones". Sigma Aldrich . Consultado el 17 de mayo de 2019 .
9. Landauer, Rolf (abril de 1978). "Conductividad eléctrica en medios no homogéneos". Actas de la conferencia AIP . vol. 40. Instituto Americano de Física. págs. 2–45. doi : 10.1063/1.31150. Archivado desde el original el 10 de julio de 2012 . Consultado el 7 de febrero de 2010 .
10. Granqvist, CG; Hunderi, O. (1978). "Conductividad de materiales no homogéneos: teoría del medio efectivo con interacción dipolo-dipolo". Física. Rev. B. 18 (4): 1554-1561. Código bibliográfico : 1978PhRvB..18.1554G. doi : 10.1103/PhysRevB.18.1554.
11. Weiglhofer, WS; Lakhtakia, A.; Michel, B. (1998). "Formalismos de Maxwell Garnett y Bruggeman para un compuesto de partículas con medio huésped bianisotrópico". Microondas. Optar. Tecnología. Lett . 15 (4): 263–266. doi :10.1002/(SICI)1098-2760(199707)15:4<263::AID-MOP19>3.0.CO;2-8. Archivado desde el original el 5 de enero de 2013.
12. Stroud, D. (1975). "Enfoque generalizado de medio efectivo para la conductividad de un material no homogéneo". Física. Rev. B. 12 (8): 3368–3373. Código bibliográfico : 1975PhRvB..12.3368S. doi : 10.1103/PhysRevB.12.3368.
13. Davidson, A.; Tinkham, M. (1976). "Ecuaciones fenomenológicas para la conductividad eléctrica de materiales microscópicamente no homogéneos". Física. Rev. B. 13 (8): 3261–3267. Código bibliográfico : 1976PhRvB..13.3261D. doi : 10.1103/PhysRevB.13.3261.
14. Kirkpatrick, Scott (1973). "Percolación y conducción". Mod. Rev. Física . 45 (4): 574–588. Código Bib : 1973RvMP...45..574K. doi :10.1103/RevModPhys.45.574.
15. Zallen, Richard (1998). La física de los sólidos amorfos . Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-29941-7.
16. Rozen, Juan; López, René; Haglund, Richard F. Jr.; Feldman, Leonard C. (2006). "Percolación de corriente bidimensional en películas nanocristalinas de dióxido de vanadio". Aplica. Física. Lett . 88 (8): 081902. Código bibliográfico : 2006ApPhL..88h1902R. doi : 10.1063/1.2175490. Archivado desde el original el 12 de julio de 2012 . Consultado el 24 de abril de 2019 .
17. Granate, JCM (1904). "Colores en Vidrios Metálicos y en Películas Metálicas". Transacciones filosóficas de la Royal Society A: Ciencias matemáticas, físicas y de ingeniería . 203 (359–371): 385–420. Código Bib : 1904RSPTA.203..385G. doi : 10.1098/rsta.1904.0024 . ISSN  1364-503X.
18. Belyaev, Licenciado en Letras; Tyurnev, VV (2018). "Cálculo electrodinámico de parámetros electromagnéticos efectivos de un medio dieléctrico con nanopartículas metálicas de un tamaño determinado". Revista de Física Experimental y Teórica . 127 (4): 608–619. Código Bib : 2018JETP..127..608B. doi :10.1134/S1063776118100114. ISSN  1063-7761. S2CID  125250487.
19. Choy, Tuck C. (1999). Teoría del medio eficaz . Oxford: Prensa de Clarendon. ISBN 978-0-19-851892-1.
20. Levy, O. y Stroud, D. (1997). Teoría de Maxwell Garnett para mezclas de inclusiones anisotrópicas: aplicación a polímeros conductores. Revisión física B, 56(13), 8035.
21. Liu, Tong y otros. "Nanopartículas microporosas de Co @ CoO con propiedades superiores de absorción de microondas". Nanoescala 6.4 (2014): 2447-2454.
22. Jepsen, Peter Uhd; Fischer, Bernd M.; Thomas, Andreas; Timón, Hanspeter; Suh, JY; López, René; Haglund, RF Jr. (2006). "Transición de fase metal-aislante en una película delgada de VO2 observada con espectroscopia de terahercios". Física. Rev. B. 74 (20): 205103. Código bibliográfico : 2006PhRvB..74t5103J. doi : 10.1103/PhysRevB.74.205103. hdl : 2440/36406 . S2CID  28476406.
23. Belyaev, Licenciado en Letras; Tyurnev, VV (2018). "Cálculo electrodinámico de parámetros electromagnéticos efectivos de un medio dieléctrico con nanopartículas metálicas de un tamaño determinado". Revista de Física Experimental y Teórica . 127 (4): 608–619. Código Bib : 2018JETP..127..608B. doi :10.1134/S1063776118100114. S2CID  125250487.
24. Zhukovsky, SV; Andryieuski, A., Takayama, O.; Shkondin, E., Malureanu, R.; Jensen, F., Lavrinenko, AV (2015). "Demostración experimental de la descomposición efectiva de la aproximación del medio en multicapas totalmente dieléctricas profundamente por debajo de la longitud de onda". Cartas de revisión física . 115 (17): 177402. arXiv : 1506.08078 . Código Bib : 2015PhRvL.115q7402Z. doi : 10.1103/PhysRevLett.115.177402. PMID  26551143. S2CID  4018894.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
25. Sukham, J.; Takayama, O., Mahmoodi, M.; Sychev, S., Bogdanov, A.; Hassan Tavassoli, S., Lavrinenko, AV; Malureanu R. (2019). "Investigación de la aplicabilidad de medios eficaces para estructuras multicapa ultrafinas". Nanoescala . 11 (26): 12582–12588. doi :10.1039/C9NR02471A. PMID  31231735. S2CID  195326315.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
26. Battie, Y.; Resano-García, A., Chaoui, N.; Zhang, Y., En Naciri, A. (2014). "Formulación extendida de Maxwell-Garnett-Mie aplicada a la dispersión de tamaño de nanopartículas metálicas incrustadas en la matriz líquida huésped". Revista de Física Química . 140 : 044705. doi : 10.1063/1.4862995.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
27. Resano-García, A.; Battie, Y., En Naciri, A.; Akil, S., Chaoui, N. (2015). "Determinación experimental y teórica de las respuestas plasmónicas y distribución de formas de nanopartículas metálicas coloidales". Revista de Física Química . 142 : 134108. doi : 10.1063/1.4916917.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
28. Battie, Y.; Resano-García, A., En Naciri, A.; Akil, S., Chaoui, N. (2015). "Determinación de características morfológicas de nanopartículas metálicas basada en el ajuste de respuestas ópticas de Maxwell-Garnett modificado". Letras de Física Aplicada . 107 : 143104. doi : 10.1063/1.4932638.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
29. Battie, Y.; Izquierdo-Lorenzo, I., Resano-García, A.; En Naciri, A., Akil, S.; Adam, PM, Jradi, S. (2016). "¿Cómo determinar la morfología de nanocristales plasmónicos sin microscopía electrónica de transmisión?". Revista de investigación de nanopartículas . 18 : 1–13. doi :10.1007/s11051-016-3533-8.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
30. Battie, Y.; Stchakovsky, M., En Naciri, A.; Akil, S., Chaoui, N. (2017). "Elipsometría de soluciones coloidales: nueva configuración experimental y aplicación a coloides metálicos". Langmuir . 33 : 7425–7434. doi : 10.1021/acs.langmuir.7b00490.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
31. Kumar, Ankush; Vidhyadhiraja, NS; Kulkarni, G. U. (2017). "Distribución actual en la conducción de redes de nanocables". Revista de Física Aplicada . 122 (4): 045101. Código bibliográfico : 2017JAP...122d5101K. doi : 10.1063/1.4985792.

Otras lecturas

• Lakhtakia, A., ed. (1996). Artículos seleccionados sobre materiales compuestos ópticos lineales [Milestone vol. 120] . Bellingham, WA, EE.UU.: SPIE Press. ISBN 978-0-8194-2152-4.
• Tuck, Choy (1999). Teoría del medio eficaz (1ª ed.). Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-851892-1.
• Lakhtakia (Ed.), A. (2000). Campos electromagnéticos en materiales y estructuras no convencionales . Nueva York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-36356-9.
• Weiglhofer (Ed.) ; Lakhtakia (Ed.), A. (2003). Introducción a los Medios Complejos para Óptica y Electromagnética . Bellingham, WA, EE.UU.: SPIE Press. ISBN 978-0-8194-4947-4.
• Mackay, TG ; Lakhtakia, A. (2010). Anisotropía y bianisotropía electromagnética: una guía de campo (1ª ed.). Singapur: World Scientific. ISBN 978-981-4289-61-0.