Límite newtoniano

Aproximación aplicable a sistemas físicos

En física , el límite newtoniano es una aproximación matemática aplicable a sistemas físicos que presentan (1) gravitación débil , (2) objetos que se mueven lentamente en comparación con la velocidad de la luz y (3) campos gravitacionales que cambian lentamente (o son completamente estáticos). ^[1] En estas condiciones, se puede utilizar la ley de gravitación universal de Newton para obtener valores precisos. En general, y en presencia de una gravitación significativa, se debe utilizar la teoría general de la relatividad .

En el límite newtoniano, el espacio-tiempo es aproximadamente plano ^[1] y la métrica de Minkowski puede utilizarse en distancias finitas. En este caso, "aproximadamente plano" se define como un espacio en el que el efecto gravitacional se acerca a cero; matemáticamente, el espacio-tiempo real y el espacio de Minkowski no son idénticos; el espacio de Minkowski es un modelo idealizado.

Relatividad especial

En la relatividad especial, el comportamiento newtoniano se puede obtener en la mayoría de los casos aplicando el límite . En este límite, el factor gamma que aparece con frecuencia se convierte en 1 y las transformaciones de Lorentz entre sistemas de referencia se convierten en transformaciones de Galileo. ${\displaystyle v\to 0}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}&\to 1\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}t'=\gamma (t-v/c^{2}\,x)&\to t'=t\\x'=\gamma (x-v\,t)&\to x'=x-v\,t\end{aligned}}}$$

Relatividad general

La ecuación geodésica para una partícula libre en un espacio-tiempo curvo con métrica se puede derivar de la acción Si la métrica del espacio-tiempo es entonces, ignorando todas las contribuciones de orden la acción se convierte en que es la acción que reproduce las ecuaciones newtonianas de movimiento de una partícula en un potencial gravitacional ^[2] ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}S[x,{\dot {x}}]&=-m\,c\,\int dt\,{\sqrt {-g_{\mu \nu }\,{\dot {x}}^{\mu }\,{\dot {x}}^{\nu }}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}g&={\begin{pmatrix}-1-{\frac {2\,\phi (x)}{c^{2}}}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}S[x,{\dot {x}}]&=-m\,c\,\int dt\,{\sqrt {c^{2}+2\,\phi (x)-{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}}\\&=-m\,c\,\int dt\,\left({\sqrt {c^{2}}}+{\frac {1}{2\,{\sqrt {c^{2}}}}}\,\left(2\,\phi (x)-{\dot {\mathbf {x} }}^{2}\right)+...\right)\\&\approx \int dt\,\left(-m\,c^{2}+{\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {x} }}^{2}-m\,\phi (x)\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \phi (x)}$

Véase también

• Límite clásico

Referencias

1. Carroll, Sean M (1997). "Notas de clase sobre relatividad general". arXiv : gr-qc/9712019 .
2. Amendola, Luca (20 de noviembre de 2022). «Lecture Notes: Cosmology» (PDF) . Universidad de Heidelberg. pág. 12. Consultado el 25 de diciembre de 2022 .