En ciencia , ingeniería y otras disciplinas cuantitativas, el orden de aproximación se refiere a expresiones formales o informales que indican qué tan precisa es una aproximación .
En expresiones formales, el número ordinal utilizado antes del orden de las palabras se refiere a la potencia más alta en la expansión de la serie utilizada en la aproximación . Las expresiones: una aproximación de orden cero , una aproximación de primer orden , una aproximación de segundo orden , etc. se utilizan como frases fijas . La expresión una aproximación de orden cero también es común. Los números cardinales se utilizan ocasionalmente en expresiones como una aproximación de orden cero , una aproximación de orden uno , etc.
La omisión del orden de las palabras conduce a frases que tienen un significado menos formal. Frases como primera aproximación o hasta una primera aproximación pueden referirse a un valor aproximado de una cantidad . [1] [2] La frase hasta una aproximación cero indica una suposición descabellada . [3] La expresión orden de aproximación a veces se usa informalmente para significar el número de cifras significativas , en orden creciente de precisión, o hasta el orden de magnitud . Sin embargo, esto puede ser confuso, ya que estas expresiones formales no se refieren directamente al orden de las derivadas.
La elección de la expansión de la serie depende del método científico utilizado para investigar un fenómeno . Se espera que la expresión orden de aproximación indique aproximaciones progresivamente más refinadas de una función en un intervalo específico . La elección del orden de aproximación depende del propósito de la investigación . Uno puede desear simplificar una expresión analítica conocida para idear una nueva aplicación o, por el contrario, tratar de ajustar una curva a los puntos de datos . Un orden de aproximación superior no siempre es más útil que uno inferior. Por ejemplo, si una cantidad es constante dentro de todo el intervalo, aproximarla con una serie de Taylor de segundo orden no aumentará la precisión.
En el caso de una función suave , la aproximación de orden n es un polinomio de grado n , que se obtiene truncando la serie de Taylor a este grado. El uso formal del orden de aproximación corresponde a la omisión de algunos términos de la serie utilizada en la expansión . Esto afecta la precisión . El error suele variar dentro del intervalo. Por lo tanto, los términos ( cero , primero , segundo, etc.) utilizados anteriormente no dan información directa sobre el error porcentual o las cifras significativas . Por ejemplo, en la expansión de la serie de Taylor de la función exponencial , el término de orden cero es el término de primer orden es el de segundo orden es y así sucesivamente. Si cada término de orden superior es menor que el anterior. Si entonces la aproximación de primer orden, a menudo es suficiente. Pero en el término de primer orden, no es menor que el término de orden cero, e incluso en el término de segundo orden, es mayor que el término de orden cero.
La aproximación de orden cero es el término que utilizan los científicos para dar una primera respuesta aproximada. Se hacen muchas suposiciones simplificadoras y, cuando se necesita un número, se suele dar una respuesta de orden de magnitud (o cero cifras significativas ). Por ejemplo, se podría decir "la ciudad tiene unos pocos miles de habitantes", cuando en realidad tiene 3.914 personas. A esto también se lo denomina a veces aproximación de orden de magnitud . El cero de "orden cero" representa el hecho de que incluso el único número dado, "unos pocos", está definido de forma imprecisa.
Una aproximación de orden cero de una función (es decir, determinar matemáticamente una fórmula para ajustar múltiples puntos de datos ) será constante , o una línea plana sin pendiente : un polinomio de grado 0. Por ejemplo,
podría ser – si se informara la precisión de los puntos de datos – un ajuste aproximado a los datos, obtenido simplemente promediando los valores x y los valores y . Sin embargo, los puntos de datos representan resultados de mediciones y difieren de los puntos en la geometría euclidiana . Por lo tanto, citar un valor promedio que contiene tres dígitos significativos en la salida con solo un dígito significativo en los datos de entrada podría reconocerse como un ejemplo de precisión falsa . Con la precisión implícita de los puntos de datos de ±0,5, la aproximación de orden cero podría, en el mejor de los casos, producir el resultado para y de ~3,7 ± 2,0 en el intervalo de x de −0,5 a 2,5, considerando la desviación estándar .
Si los puntos de datos se informan como
La aproximación de orden cero da como resultado
La precisión del resultado justifica un intento de derivar una función multiplicativa para ese promedio, por ejemplo,
Sin embargo, hay que tener cuidado, porque la función multiplicativa estará definida para todo el intervalo. Si solo hay tres puntos de datos disponibles, no se sabe nada sobre el resto del intervalo , que puede ser una gran parte del mismo. Esto significa que y podría tener otro componente que sea igual a 0 en los extremos y en el medio del intervalo. Se conocen varias funciones que tienen esta propiedad, por ejemplo y = sen π x . La serie de Taylor es útil y ayuda a predecir una solución analítica , pero la aproximación por sí sola no proporciona evidencia concluyente.
La aproximación de primer orden es el término que utilizan los científicos para una respuesta ligeramente mejor. [3] Se hacen algunas suposiciones simplificadoras y, cuando se necesita un número, a menudo se da una respuesta con solo una cifra significativa ("la ciudad tiene4 × 10 3 , o cuatro mil , habitantes"). En el caso de una aproximación de primer orden, al menos un número dado es exacto. En el ejemplo de orden cero anterior, se dio la cantidad "unos pocos", pero en el ejemplo de primer orden, se da el número "4".
Una aproximación de primer orden de una función (es decir, determinar matemáticamente una fórmula para ajustar múltiples puntos de datos) será una aproximación lineal, una línea recta con una pendiente: un polinomio de grado 1. Por ejemplo:
es un ajuste aproximado a los datos. En este ejemplo, hay una aproximación de orden cero que es la misma que la de primer orden, pero el método para llegar a ella es diferente; es decir, una tentativa descabellada de encontrar una relación resultó ser tan buena como una "conjetura fundamentada".
La aproximación de segundo orden es el término que utilizan los científicos para una respuesta de calidad aceptable. Se hacen pocas suposiciones simplificadoras y, cuando se necesita un número, se utiliza una respuesta con dos o más cifras significativas ("la ciudad tienePor lo general, se indica el número de habitantes (es decir , 3,9 × 10 3 , o tres mil novecientos habitantes). Como en los ejemplos anteriores, el término "segundo orden" se refiere a la cantidad de números exactos indicados para la cantidad imprecisa. En este caso, se indican "3" y "9" como los dos niveles sucesivos de precisión, en lugar de simplemente "4" del primer orden o "unos pocos" del orden cero que se encuentran en los ejemplos anteriores.
Una aproximación de segundo orden de una función (es decir, determinar matemáticamente una fórmula para ajustar múltiples puntos de datos) será un polinomio cuadrático , geométricamente, una parábola : un polinomio de grado 2. Por ejemplo:
es un ajuste aproximado a los datos. En este caso, con solo tres puntos de datos, una parábola es un ajuste exacto basado en los datos proporcionados. Sin embargo, los puntos de datos para la mayor parte del intervalo no están disponibles, lo que aconseja precaución (ver "orden cero").
Si bien existen aproximaciones de orden superior y son cruciales para una mejor comprensión y descripción de la realidad, normalmente no se hace referencia a ellas por números.
Siguiendo con lo anterior, se requeriría una aproximación de tercer orden para ajustar perfectamente cuatro puntos de datos, y así sucesivamente. Véase interpolación polinómica .
Estos términos también son utilizados coloquialmente por científicos e ingenieros para describir fenómenos que pueden ser ignorados por no ser significativos (por ejemplo, "Por supuesto que la rotación de la Tierra afecta nuestro experimento, pero es un efecto de orden tan alto que no podríamos medirlo" o "A estas velocidades, la relatividad es un efecto de cuarto orden del que solo nos preocupamos en la calibración anual"). En este uso, la ordinalidad de la aproximación no es exacta, pero se utiliza para enfatizar su insignificancia; cuanto mayor sea el número utilizado, menos importante será el efecto. La terminología, en este contexto, representa un alto nivel de precisión requerido para dar cuenta de un efecto que se infiere que es muy pequeño en comparación con el objeto general. Cuanto mayor sea el orden, más precisión se requiere para medir el efecto y, por lo tanto, la pequeñez del efecto en comparación con la medición general.
![{\displaystyle x=[0,1,2],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/772dac285229995430ec70eecdd3f4aa914ae601)
![{\displaystyle y=[3,3,5],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5c07cfac788dfa94a5d50c8161eadf9826263bd)
![{\displaystyle x=[0,00,1,00,2,00],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c32145730a0801b92b6f76eac2515890f7be6567)
![{\displaystyle y=[3.00,3.00,5.00],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6029bd23e5b2bc702ab7cc77f00554fa2727346d)
