Longitud extrema

En la teoría matemática de las aplicaciones conformes y cuasiconformales , la longitud extremal de una colección de curvas es una medida del tamaño de que es invariante bajo aplicaciones conformes. Más específicamente, supongamos que es un conjunto abierto en el plano complejo y es una colección de caminos en y es una aplicación conforme. Entonces, la longitud extremal de es igual a la longitud extremal de la imagen de bajo . También se trabaja con el módulo conforme de , el recíproco de la longitud extremal. El hecho de que la longitud extremal y el módulo conforme sean invariantes conformes de los convierte en herramientas útiles en el estudio de aplicaciones conformes y cuasiconformales. También se trabaja con la longitud extremal en dimensiones mayores que dos y ciertos otros espacios métricos , pero lo siguiente trata principalmente con el entorno bidimensional. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f:D\to D'}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Definición de longitud extrema

Para definir la longitud extrema, primero debemos introducir varias cantidades relacionadas. Sea un conjunto abierto en el plano complejo. Supongamos que es una colección de curvas rectificables en . Si es medible por Borel , entonces para cualquier curva rectificable hacemos ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \rho :D\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle L_{\rho }(\gamma ):=\int _{\gamma }\rho \,|dz|}$

denota la –longitud de , donde denota el elemento euclidiano de longitud. (Es posible que .) ¿Qué significa esto realmente? Si está parametrizado en algún intervalo , entonces es la integral de la función medible por Borel con respecto a la medida de Borel en para la cual la medida de cada subintervalo es la longitud de la restricción de a . En otras palabras, es la integral de Lebesgue-Stieltjes , donde es la longitud de la restricción de a . También establezca ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle |dz|}$ ${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=\infty }$ ${\displaystyle \gamma :I\to D}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \int _{\gamma }\rho \,|dz|}$ ${\displaystyle \rho (\gamma (t))}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J\subset I}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \int _{I}\rho (\gamma (t))\,d{\mathrm {length} }_{\gamma }(t)}$ ${\displaystyle {\mathrm {length} }_{\gamma }(t)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \{s\in I:s\leq t\}}$

${\displaystyle L_{\rho }(\Gamma ):=\inf _{\gamma \in \Gamma }L_{\rho }(\gamma ).}$

El área de se define como ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle A(\rho ):=\int _{D}\rho ^{2}\,dx\,dy,}$

y la longitud extrema de es ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle EL(\Gamma ):=\sup _{\rho }{\frac {L_{\rho }(\Gamma )^{2}}{A(\rho )}}\,,}$

donde el supremo es sobre todo lo medible según el método de Borel con . Si contiene algunas curvas no rectificables y denota el conjunto de curvas rectificables en , entonces se define como . ${\displaystyle \rho :D\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle 0<A(\rho )<\infty }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma _{0}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle EL(\Gamma )}$ ${\displaystyle EL(\Gamma _{0})}$

El término módulo (conforme) de se refiere a . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle 1/EL(\Gamma )}$

La distancia extremal entre dos conjuntos en es la longitud extremal de la colección de curvas en con un punto final en un conjunto y el otro punto final en el otro conjunto. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\overline {D}}}$ ${\displaystyle D}$

Ejemplos

En esta sección se calcula la longitud extremal en varios ejemplos. Los tres primeros ejemplos son realmente útiles en aplicaciones de longitud extremal.

Distancia extrema en rectángulo

Fijemos algunos números positivos y sea el rectángulo . Sea el conjunto de todas las curvas de longitud finita que cruzan el rectángulo de izquierda a derecha, en el sentido de que está en el borde izquierdo del rectángulo y está en el borde derecho . (Los límites existen necesariamente, porque estamos asumiendo que tiene longitud finita). Ahora probaremos que en este caso ${\displaystyle w,h>0}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R=(0,w)\times (0,h)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma :(0,1)\to R}$ ${\displaystyle \lim _{t\to 0}\gamma (t)}$ ${\displaystyle \{0\}\times [0,h]}$ ${\displaystyle \lim _{t\to 1}\gamma (t)}$ ${\displaystyle \{w\}\times [0,h]}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle EL(\Gamma )=w/h}$

En primer lugar, podemos considerar . Esto nos da y . La definición de como supremo nos da entonces . ${\displaystyle \rho =1}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle A(\rho )=w\,h}$ ${\displaystyle L_{\rho }(\Gamma )=w}$ ${\displaystyle EL(\Gamma )}$ ${\displaystyle EL(\Gamma )\geq w/h}$

La desigualdad opuesta no es tan fácil. Consideremos un Borel-medible arbitrario tal que . Para , sea (donde nos identificamos con el plano complejo). Entonces , y por lo tanto . La última desigualdad puede escribirse como ${\displaystyle \rho :R\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \ell :=L_{\rho }(\Gamma )>0}$ ${\displaystyle y\in (0,h)}$ ${\displaystyle \gamma _{y}(t)=i\,y+w\,t}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{y}\in \Gamma }$ ${\displaystyle \ell \leq L_{\rho }(\gamma _{y})}$

${\displaystyle \ell \leq \int _{0}^{1}\rho (i\,y+w\,t)\,w\,dt.}$

Integrar esta desigualdad implica ${\displaystyle y\in (0,h)}$

${\displaystyle h\,\ell \leq \int _{0}^{h}\int _{0}^{1}\rho (i\,y+w\,t)\,w\,dt\,dy}$.

Ahora un cambio de variable y una aplicación de la desigualdad de Cauchy-Schwarz dan ${\displaystyle x=w\,t}$

${\displaystyle h\,\ell \leq \int _{0}^{h}\int _{0}^{w}\rho (x+i\,y)\,dx\,dy\leq {\Bigl (}\int _{R}\rho ^{2}\,dx\,dy\int _{R}\,dx\,dy{\Bigr )}^{1/2}={\bigl (}w\,h\,A(\rho ){\bigr )}^{1/2}}$. Esto da . ${\displaystyle \ell ^{2}/A(\rho )\leq w/h}$

Por lo tanto, según sea necesario. ${\displaystyle EL(\Gamma )\leq w/h}$

Como muestra la prueba, la longitud extrema de es la misma que la longitud extrema de la colección mucho más pequeña de curvas . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \{\gamma _{y}:y\in (0,h)\}}$

Cabe señalar que la longitud extremal de la familia de curvas que conectan el borde inferior de con el borde superior de satisface , por el mismo argumento. Por lo tanto, . Es natural referirse a esto como una propiedad de dualidad de longitud extremal, y una propiedad de dualidad similar ocurre en el contexto de la siguiente subsección. Observe que obtener un límite inferior en es generalmente más fácil que obtener un límite superior, ya que el límite inferior implica elegir un razonablemente bueno y estimar , mientras que el límite superior implica probar una afirmación sobre todos los posibles . Por esta razón, la dualidad suele ser útil cuando se puede establecer: cuando sabemos que , un límite inferior en se traduce en un límite superior en . ${\displaystyle \Gamma \,'}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle EL(\Gamma \,')=h/w}$ ${\displaystyle EL(\Gamma )\,EL(\Gamma \,')=1}$ ${\displaystyle EL(\Gamma )}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle L_{\rho }(\Gamma )^{2}/A(\rho )}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle EL(\Gamma )\,EL(\Gamma \,')=1}$ ${\displaystyle EL(\Gamma \,')}$ ${\displaystyle EL(\Gamma )}$

Distancia extrema en el anillo

Sean y dos radios que satisfacen . Sea el anillo y sean y los dos componentes de contorno de : y . Considere la distancia extremal entre y ; que es la longitud extremal de la colección de curvas que conectan y . ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle 0<r_{1}<r_{2}<\infty }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A:=\{z\in \mathbb {C} :r_{1}<|z|<r_{2}\}}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C_{1}:=\{z:|z|=r_{1}\}}$ ${\displaystyle C_{2}:=\{z:|z|=r_{2}\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma \subset A}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$

Para obtener un límite inferior en , tomamos . Entonces, para orientado de a ${\displaystyle EL(\Gamma )}$ ${\displaystyle \rho (z)=1/|z|}$ ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$

${\displaystyle \int _{\gamma }|z|^{-1}\,ds\geq \int _{\gamma }|z|^{-1}\,d|z|=\int _{\gamma }d\log |z|=\log(r_{2}/r_{1}).}$

Por otro lado,

${\displaystyle A(\rho )=\int _{A}|z|^{-2}\,dx\,dy=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{-2}\,r\,dr\,d\theta =2\,\pi \,\log(r_{2}/r_{1}).}$

Concluimos que

${\displaystyle EL(\Gamma )\geq {\frac {\log(r_{2}/r_{1})}{2\pi }}.}$

Ahora vemos que esta desigualdad es realmente una igualdad empleando un argumento similar al dado anteriormente para el rectángulo. Consideremos un Borel-medible arbitrario tal que . Para denotar la curva . Entonces ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \ell :=L_{\rho }(\Gamma )>0}$ ${\displaystyle \theta \in [0,2\,\pi )}$ ${\displaystyle \gamma _{\theta }:(r_{1},r_{2})\to A}$ ${\displaystyle \gamma _{\theta }(r)=e^{i\theta }r}$

${\displaystyle \ell \leq \int _{\gamma _{\theta }}\rho \,ds=\int _{r_{1}}^{r_{2}}\rho (e^{i\theta }r)\,dr.}$

Integramos y aplicamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz, para obtener: ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle 2\,\pi \,\ell \leq \int _{A}\rho \,dr\,d\theta \leq {\Bigl (}\int _{A}\rho ^{2}\,r\,dr\,d\theta {\Bigr )}^{1/2}{\Bigl (}\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {1}{r}}\,dr\,d\theta {\Bigr )}^{1/2}.}$

Al cuadrar se obtiene

${\displaystyle 4\,\pi ^{2}\,\ell ^{2}\leq A(\rho )\cdot \,2\,\pi \,\log(r_{2}/r_{1}).}$

Esto implica el límite superior . Cuando se combina con el límite inferior, esto produce el valor exacto de la longitud extremal: ${\displaystyle EL(\Gamma )\leq (2\,\pi )^{-1}\,\log(r_{2}/r_{1})}$

${\displaystyle EL(\Gamma )={\frac {\log(r_{2}/r_{1})}{2\pi }}.}$

Longitud extrema alrededor de un anillo

Sean y como se indica anteriormente, pero ahora sea la colección de todas las curvas que se enrollan una vez alrededor del anillo, separándose de . Utilizando los métodos anteriores, no es difícil demostrar que ${\displaystyle r_{1},r_{2},C_{1},C_{2},\Gamma }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Gamma ^{*}}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$

${\displaystyle EL(\Gamma ^{*})={\frac {2\pi }{\log(r_{2}/r_{1})}}=EL(\Gamma )^{-1}.}$

Esto ilustra otro ejemplo de dualidad de longitud extrema.

Longitud extrema de caminos topológicamente esenciales en el plano proyectivo

En los ejemplos anteriores, el extremal que maximiza la razón y da la longitud extremal corresponde a una métrica plana. En otras palabras, cuando la métrica euclidiana riemanniana del dominio planar correspondiente se escala por , la métrica resultante es plana. En el caso del rectángulo, esta era solo la métrica original, pero para el anillo, la métrica extremal identificada es la métrica de un cilindro . Ahora discutimos un ejemplo donde una métrica extremal no es plana. El plano proyectivo con la métrica esférica se obtiene identificando puntos antípodas en la esfera unitaria en con su métrica esférica de Riemann. En otras palabras, este es el cociente de la esfera por la función . Sea α el conjunto de curvas cerradas en este plano proyectivo que no son homotópicas nulas . (Cada curva en se obtiene proyectando una curva en la esfera desde un punto a su antípoda). Entonces la métrica esférica es extremal para esta familia de curvas. ^[1] (La definición de longitud extremal se extiende fácilmente a las superficies de Riemann). Por lo tanto, la longitud extremal es . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle L_{\rho }(\Gamma )^{2}/A(\rho )}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle x\mapsto -x}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \pi ^{2}/(2\,\pi )=\pi /2}$

Longitud extrema de caminos que contienen un punto

Si es cualquier conjunto de caminos, todos ellos con diámetro positivo y que contienen un punto , entonces . Esto se deduce, por ejemplo, tomando ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle EL(\Gamma )=\infty }$

${\displaystyle \rho (z):={\begin{cases}(-|z-z_{0}|\,\log |z-z_{0}|)^{-1}&|z-z_{0}|<1/2,\\0&|z-z_{0}|\geq 1/2,\end{cases}}}$que satisface y para cada rectificable . ${\displaystyle A(\rho )<\infty }$ ${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=\infty }$ ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$

Propiedades elementales de la longitud extrema

La longitud extremal satisface algunas propiedades de monotonía simples. Primero, está claro que si , entonces . Además, la misma conclusión se cumple si cada curva contiene una curva como subcurva (es decir, es la restricción de a un subintervalo de su dominio). Otra desigualdad que a veces resulta útil es ${\displaystyle \Gamma _{1}\subset \Gamma _{2}}$ ${\displaystyle EL(\Gamma _{1})\geq EL(\Gamma _{2})}$ ${\displaystyle \gamma _{1}\in \Gamma _{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}\in \Gamma _{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$

${\displaystyle EL(\Gamma _{1}\cup \Gamma _{2})\geq {\bigl (}EL(\Gamma _{1})^{-1}+EL(\Gamma _{2})^{-1}{\bigr )}^{-1}.}$

Esto es claro si o si , en cuyo caso el lado derecho se interpreta como . Supongamos entonces que este no es el caso y, sin pérdida de generalidad, supongamos que las curvas en son todas rectificables. Sea que satisfaga para . Sea . Entonces y , lo que demuestra la desigualdad. ${\displaystyle EL(\Gamma _{1})=0}$ ${\displaystyle EL(\Gamma _{2})=0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \Gamma _{1}\cup \Gamma _{2}}$ ${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2}}$ ${\displaystyle L_{\rho _{j}}(\Gamma _{j})\geq 1}$ ${\displaystyle j=1,2}$ ${\displaystyle \rho =\max\{\rho _{1},\rho _{2}\}}$ ${\displaystyle L_{\rho }(\Gamma _{1}\cup \Gamma _{2})\geq 1}$ ${\displaystyle A(\rho )=\int \rho ^{2}\,dx\,dy\leq \int (\rho _{1}^{2}+\rho _{2}^{2})\,dx\,dy=A(\rho _{1})+A(\rho _{2})}$

Invariancia conforme de longitud extrema

Sea un homeomorfismo conforme (una función holomorfa biyectiva ) entre dominios planos. Supongamos que es una colección de curvas en , y denotemos las curvas imagen bajo . Entonces . Esta afirmación de invariancia conforme es la razón principal por la que el concepto de longitud extremal es útil. ${\displaystyle f:D\to D^{*}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Gamma ^{*}:=\{f\circ \gamma :\gamma \in \Gamma \}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle EL(\Gamma )=EL(\Gamma ^{*})}$

Aquí hay una prueba de invariancia conforme. Sea , el conjunto de curvas tal que es rectificable, y sea , que es el conjunto de curvas rectificables en . Supongamos que es medible por Borel. Definir ${\displaystyle \Gamma _{0}}$ ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ ${\displaystyle f\circ \gamma }$ ${\displaystyle \Gamma _{0}^{*}=\{f\circ \gamma :\gamma \in \Gamma _{0}\}}$ ${\displaystyle \Gamma ^{*}}$ ${\displaystyle \rho ^{*}:D^{*}\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle \rho (z)=|f\,'(z)|\,\rho ^{*}{\bigl (}f(z){\bigr )}.}$

Un cambio de variables da ${\displaystyle w=f(z)}$

${\displaystyle A(\rho )=\int _{D}\rho (z)^{2}\,dz\,d{\bar {z}}=\int _{D}\rho ^{*}(f(z))^{2}\,|f\,'(z)|^{2}\,dz\,d{\bar {z}}=\int _{D^{*}}\rho ^{*}(w)^{2}\,dw\,d{\bar {w}}=A(\rho ^{*}).}$

Supongamos ahora que es rectificable y fijamos . Formalmente, podemos volver a utilizar un cambio de variables: ${\displaystyle \gamma \in \Gamma _{0}}$ ${\displaystyle \gamma ^{*}:=f\circ \gamma }$

${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=\int _{\gamma }\rho ^{*}{\bigl (}f(z){\bigr )}\,|f\,'(z)|\,|dz|=\int _{\gamma ^{*}}\rho (w)\,|dw|=L_{\rho ^{*}}(\gamma ^{*}).}$

Para justificar este cálculo formal, supongamos que se define en algún intervalo , sea la longitud de la restricción de a , y sea de manera similar definida con en lugar de . Entonces es fácil ver que , y esto implica , como se requiere. Las igualdades anteriores dan, ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \ell (t)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle I\cap (-\infty ,t]}$ ${\displaystyle \ell ^{*}(t)}$ ${\displaystyle \gamma ^{*}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle d\ell ^{*}(t)=|f\,'(\gamma (t))|\,d\ell (t)}$ ${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=L_{\rho ^{*}}(\gamma ^{*})}$

${\displaystyle EL(\Gamma _{0})\geq EL(\Gamma _{0}^{*})=EL(\Gamma ^{*}).}$

Si supiéramos que cada curva en y es rectificable, esto demostraría que ya que también podemos aplicar lo anterior con reemplazado por su inverso e intercambiado con . Queda por manejar las curvas no rectificables. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma ^{*}}$ ${\displaystyle EL(\Gamma )=EL(\Gamma ^{*})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma ^{*}}$

Ahora denotemos el conjunto de curvas rectificables tales que no es rectificable. Afirmamos que . De hecho, tomemos , donde . Entonces un cambio de variable como el anterior da ${\displaystyle {\hat {\Gamma }}}$ ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ ${\displaystyle f\circ \gamma }$ ${\displaystyle EL({\hat {\Gamma }})=\infty }$ ${\displaystyle \rho (z)=|f\,'(z)|\,h(|f(z)|)}$ ${\displaystyle h(r)={\bigl (}r\,\log(r+2){\bigr )}^{-1}}$

${\displaystyle A(\rho )=\int _{D^{*}}h(|w|)^{2}\,dw\,d{\bar {w}}\leq \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }(r\,\log(r+2))^{-2}\,r\,dr\,d\theta <\infty .}$

Para y tal que está contenido en , tenemos ${\displaystyle \gamma \in {\hat {\Gamma }}}$ ${\displaystyle r\in (0,\infty )}$ ${\displaystyle f\circ \gamma }$ ${\displaystyle \{z:|z|<r\}}$

${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )\geq \inf\{h(s):s\in [0,r]\}\,\mathrm {length} (f\circ \gamma )=\infty }$. ^{[ dudoso – discutir ]}

Por otra parte, supongamos que es tal que no tiene límites. Fijemos . Entonces es al menos la longitud de la curva (desde un intervalo en hasta ). Como , se sigue que . Por lo tanto, en efecto, . ${\displaystyle \gamma \in {\hat {\Gamma }}}$ ${\displaystyle f\circ \gamma }$ ${\displaystyle H(t):=\int _{0}^{t}h(s)\,ds}$ ${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )}$ ${\displaystyle t\mapsto H(|f\circ \gamma (t)|)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }H(t)=\infty }$ ${\displaystyle L_{\rho }(\gamma )=\infty }$ ${\displaystyle EL({\hat {\Gamma }})=\infty }$

Utilizando los resultados de la sección anterior, tenemos

${\displaystyle EL(\Gamma )=EL(\Gamma _{0}\cup {\hat {\Gamma }})\geq EL(\Gamma _{0})}$.

Ya hemos visto que . Por lo tanto, . La desigualdad inversa se cumple por simetría y, por lo tanto, se establece la invariancia conforme. ${\displaystyle EL(\Gamma _{0})\geq EL(\Gamma ^{*})}$ ${\displaystyle EL(\Gamma )\geq EL(\Gamma ^{*})}$

Algunas aplicaciones de la longitud extrema

Del cálculo de la distancia extremal en un anillo y la invariancia conforme se deduce que el anillo (donde ) no es homeomorfo conformemente al anillo si . ${\displaystyle \{z:r<|z|<R\}}$ ${\displaystyle 0\leq r<R\leq \infty }$ ${\displaystyle \{w:r^{*}<|w|<R^{*}\}}$ ${\displaystyle {\frac {R}{r}}\neq {\frac {R^{*}}{r^{*}}}}$

Longitud extrema en dimensiones superiores

La noción de longitud extrema se adapta al estudio de varios problemas en dimensiones 3 y superiores, especialmente en relación con aplicaciones cuasiconformales .

Longitud extrema discreta

Supongamos que es un gráfico y es una colección de caminos en . Hay dos variantes de longitud extremal en esta configuración. Para definir la longitud extremal de la arista , introducida originalmente por RJ Duffin, ^[2] considere una función . La longitud extremal de una ruta se define como la suma de todas las aristas en la ruta, contadas con multiplicidad. El " área " se define como . La longitud extremal de se define entonces como antes. Si se interpreta como una red de resistencias , donde cada arista tiene resistencia unitaria, entonces la resistencia efectiva entre dos conjuntos de vértices es precisamente la longitud extremal de la arista de la colección de caminos con un punto final en un conjunto y el otro punto final en el otro conjunto. Por lo tanto, la longitud extremal discreta es útil para estimaciones en la teoría del potencial discreto . ${\displaystyle G=(V,E)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho :E\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho (e)}$ ${\displaystyle A(\rho )}$ ${\displaystyle \sum _{e\in E}\rho (e)^{2}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$

Otra noción de longitud extremal discreta que es apropiada en otros contextos es la longitud extremal del vértice , donde , el área es , y la longitud de un camino es la suma de sobre los vértices visitados por el camino, con multiplicidad. ${\displaystyle \rho :V\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle A(\rho ):=\sum _{v\in V}\rho (v)^{2}}$ ${\displaystyle \rho (v)}$

Notas

1. Ahlfors (1973)
2. Duffin 1962

Referencias

• Ahlfors, Lars V. (1973), Invariantes conformes: temas de teoría de funciones geométricas , Nueva York: McGraw-Hill Book Co., MR  0357743
• Duffin, RJ (1962), "La longitud extrema de una red", Journal of Mathematical Analysis and Applications , 5 (2): 200–215, doi : 10.1016/S0022-247X(62)80004-3
• Lehto, O.; Virtanen, KI (1973), Aplicaciones cuasiconformales en el plano (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag