Anualidad

Serie de pagos realizados a intervalos iguales

En inversión , una anualidad es una serie de pagos realizados a intervalos iguales. ^[1] Ejemplos de anualidades son depósitos regulares en una cuenta de ahorros , pagos mensuales de la hipoteca de la vivienda , pagos mensuales de seguros y pagos de pensiones . Las anualidades se pueden clasificar por la frecuencia de las fechas de pago. Los pagos (depósitos) podrán realizarse semanalmente, mensualmente, trimestralmente, anualmente o en cualquier otro intervalo regular de tiempo. Las anualidades pueden calcularse mediante funciones matemáticas conocidas como "funciones de anualidad".

Una anualidad que prevé pagos durante el resto de la vida de una persona es una renta vitalicia . Una anualidad que continúa indefinidamente es una perpetuidad .

Tipos

Las anualidades se pueden clasificar de varias maneras.

Momento de los pagos

Los pagos de una anualidad inmediata se realizan al final de los períodos de pago, de modo que los intereses se acumulan entre la emisión de la anualidad y el primer pago. Los pagos de una anualidad vencida se realizan al comienzo de los períodos de pago, por lo que el pago se realiza inmediatamente después de su emisión.

Contingencia de pagos

Las anualidades que proporcionan pagos que se pagarán durante un período conocido de antemano son anualidades ciertas o anualidades garantizadas. Las anualidades pagadas sólo bajo ciertas circunstancias son anualidades contingentes . Un ejemplo común es una renta vitalicia , que se paga durante el resto de la vida del beneficiario. Se garantiza que ciertas rentas vitalicias se pagarán durante varios años y luego quedarán supeditadas a que el beneficiario esté vivo.

Variabilidad de los pagos

• Anualidades fijas : son anualidades con pagos fijos. Si lo proporciona una compañía de seguros, la empresa garantiza un rendimiento fijo de la inversión inicial. Las anualidades fijas no están reguladas por la Comisión de Bolsa y Valores .
• Anualidades variables : productos registrados que están regulados por la SEC en los Estados Unidos de América. Permiten la inversión directa en varios fondos creados especialmente para anualidades variables. Por lo general, la compañía de seguros garantiza un determinado beneficio por fallecimiento o beneficios de retiro de por vida.
• Anualidades indexadas a acciones : anualidades con pagos vinculados a un índice. Normalmente, el pago mínimo será del 0% y el máximo estará predeterminado. El rendimiento de un índice determina si se acredita al cliente el mínimo, el máximo o algo intermedio.

Aplazamiento de pagos

Una anualidad que comienza a pagar solo después de un período es una anualidad diferida (generalmente después de la jubilación). Una anualidad que comienza a pagar tan pronto como el cliente ha pagado, sin un período de aplazamiento, es una anualidad inmediata . ^{[ cita necesaria ]}

Valuación

La valoración de una anualidad implica el cálculo del valor presente de los pagos futuros de la anualidad. La valoración de una anualidad implica conceptos tales como valor del dinero en el tiempo , tasa de interés y valor futuro . ^[2]

Anualidad segura

Si el número de pagos se conoce de antemano, la anualidad es una anualidad cierta o anualidad garantizada . La valoración de determinadas anualidades se puede calcular mediante fórmulas en función del momento de los pagos.

Anualidad inmediata

Si los pagos se realizan al final de los períodos de tiempo, de modo que los intereses se acumulan antes del pago, la anualidad se denomina anualidad inmediata u anualidad ordinaria . Los pagos de la hipoteca son anualidades inmediatas, los intereses se ganan antes de pagarse. ¿Qué es la anualidad adeudada? La anualidad adeudada se refiere a una serie de pagos iguales realizados en el mismo intervalo al comienzo de cada período. Los períodos pueden ser mensuales, trimestrales, semestrales, anuales o cualquier otro período definido. Ejemplos de pagos de anualidades adeudados incluyen alquileres, arrendamientos y pagos de seguros, que se realizan para cubrir los servicios prestados en el período posterior al pago.

El valor presente de una anualidad es el valor de un flujo de pagos, descontado por la tasa de interés para tener en cuenta el hecho de que los pagos se realizan en diversos momentos en el futuro. El valor presente viene dado en notación actuarial por:

${\displaystyle a_{{\overline {n}}|i}={\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}},}$

donde es el número de plazos y es la tasa de interés por período. El valor presente es lineal en el monto de los pagos, por lo tanto el valor presente de los pagos o alquiler es: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\text{PV}}(i,n,R)=R\times a_{{\overline {n}}|i}.}$

En la práctica, a menudo los préstamos se declaran anualmente, mientras que los intereses se componen y los pagos se realizan mensualmente. En este caso, el interés se expresa como una tasa de interés nominal , y . ${\displaystyle I}$ ${\textstyle i=I/12}$

El valor futuro de una anualidad es el monto acumulado, incluidos pagos e intereses, de un flujo de pagos realizados a una cuenta que devenga intereses. Para una anualidad inmediata, es el valor inmediatamente después del enésimo pago. El valor futuro viene dado por:

${\displaystyle s_{{\overline {n}}|i}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}},}$

donde es el número de plazos y es la tasa de interés por período. El valor futuro es lineal en el monto de los pagos, por lo tanto el valor futuro de los pagos o alquiler es: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\text{FV}}(i,n,R)=R\times s_{{\overline {n}}|i}}$

Ejemplo: El valor presente de una anualidad a 5 años con una tasa de interés nominal anual del 12% y pagos mensuales de $100 es:

${\displaystyle {\text{PV}}\left({\frac {0.12}{12}},5\times 12,\$100\right)=\$100\times a_{{\overline {60}}|0.01}=\$4,495.50}$

Se entiende por alquiler el importe pagado al final de cada período a cambio de una cantidad PV prestada en el momento cero, el principal del préstamo, o el importe pagado mediante una cuenta que devenga intereses al final de cada período cuando la cantidad de PV se invierte en el momento cero y la cuenta se vuelve cero con el enésimo retiro.

Los valores futuros y presentes están relacionados ya que:

${\displaystyle s_{{\overline {n}}|i}=(1+i)^{n}\times a_{{\overline {n}}|i}}$

y

${\displaystyle {\frac {1}{a_{{\overline {n}}|i}}}-{\frac {1}{s_{{\overline {n}}|i}}}=i}$

Prueba de anualidad-fórmula inmediata

Para calcular el valor presente, el k -ésimo pago debe descontarse al presente dividiendo por el interés, compuesto por k términos. Por tanto, la contribución del k -ésimo pago R sería . Considerando simplemente que R es 1, entonces: ${\displaystyle {\frac {R}{(1+i)^{k}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{{\overline {n}}|i}&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1+i)^{k}}}={\frac {1}{1+i}}\sum _{k=0}^{n-1}\left({\frac {1}{1+i}}\right)^{k}\\[5pt]&={\frac {1}{1+i}}\left({\frac {1-(1+i)^{-n}}{1-(1+i)^{-1}}}\right)\quad \quad {\text{by using the equation for the sum of a geometric series}}\\[5pt]&={\frac {1-(1+i)^{-n}}{1+i-1}}\\[5pt]&={\frac {1-\left({\frac {1}{1+i}}\right)^{n}}{i}},\end{aligned}}}$

lo que nos da el resultado requerido.

De manera similar, podemos probar la fórmula del valor futuro. El pago realizado al final del último año no acumularía intereses y el pago realizado al final del primer año acumularía intereses por un total de ( n  − 1) años. Por lo tanto,

${\displaystyle s_{{\overline {n}}|i}=1+(1+i)+(1+i)^{2}+\cdots +(1+i)^{n-1}=(1+i)^{n}a_{{\overline {n}}|i}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}.}$

Anualidad vencida

Una anualidad vencida es una anualidad cuyos pagos se realizan al inicio de cada período. ^[3] Los depósitos de ahorro, los pagos de alquiler o arrendamiento y las primas de seguros son ejemplos de anualidades adeudadas.

Cada pago de anualidad puede acumularse durante un período adicional. Por lo tanto, se pueden calcular los valores presentes y futuros de una anualidad vencida.

${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}=(1+i)\times a_{{\overline {n|}}i}={\frac {1-(1+i)^{-n}}{d}},}$

${\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {n|}}i}=(1+i)\times s_{{\overline {n|}}i}={\frac {(1+i)^{n}-1}{d}},}$

donde es el número de plazos, es la tasa de interés por plazo y es la tasa de descuento efectiva dada por . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d={\frac {i}{i+1}}}$

Los valores futuros y presentes de las anualidades adeudadas están relacionados ya que:

${\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {n}}|i}=(1+i)^{n}\times {\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i},}$

${\displaystyle {\frac {1}{{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}}}-{\frac {1}{{\ddot {s}}_{{\overline {n}}|i}}}=d.}$

Ejemplo: El valor final de una anualidad vencida a 7 años con una tasa de interés nominal anual del 9% y pagos mensuales de $100 se puede calcular mediante:

${\displaystyle {\text{FV}}_{\text{due}}\left({\frac {0.09}{12}},7\times 12,\$100\right)=\$100\times {\ddot {s}}_{{\overline {84}}|0.0075}=\$11,730.01.}$

En Excel, las funciones PV y FV adoptan un quinto argumento opcional que selecciona entre anualidad inmediata o anualidad vencida.

Una anualidad vencida con n pagos es la suma de un pago de anualidad actual y una anualidad ordinaria con un pago menos, y además igual, con un desfase temporal, a una anualidad ordinaria. Así tenemos:

${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}=a_{{\overline {n}}|i}(1+i)=a_{{\overline {n-1|}}i}+1}$. El valor en el momento del primero de n pagos de 1.

${\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {n|}}i}=s_{{\overline {n}}|i}(1+i)=s_{{\overline {n+1|}}i}-1}$. El valor un período después del momento del último de n pagos de 1.

Perpetuidad

Una perpetuidad es una anualidad por la cual los pagos continúan para siempre. Observa eso

${\displaystyle \lim _{n\,\rightarrow \,\infty }{\text{PV}}(i,n,R)=\lim _{n\,\rightarrow \,\infty }R\times a_{{\overline {n}}|i}=\lim _{n\,\rightarrow \,\infty }R\times {\frac {1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}}=\,{\frac {R}{i}}.}$

Por lo tanto, una perpetuidad tiene un valor presente finito cuando existe una tasa de descuento distinta de cero. Las fórmulas para una perpetuidad son

${\displaystyle a_{{\overline {\infty }}|i}={\frac {1}{i}}{\text{ and }}{\ddot {a}}_{{\overline {\infty }}|i}={\frac {1}{d}},}$

donde es la tasa de interés y es la tasa de descuento efectiva. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle d={\frac {i}{1+i}}}$

Rentas vitalicias

La valoración de las rentas vitalicias podrá realizarse calculando el valor actual actuarial de los pagos contingentes vitalicios futuros. Las tablas de vida se utilizan para calcular la probabilidad de que el beneficiario viva en cada período de pago futuro. La valoración de las rentas vitalicias también depende del momento de los pagos, al igual que con las rentas vitalicias determinadas; sin embargo, es posible que las rentas vitalicias no se calculen con fórmulas similares porque el valor actual actuarial representa la probabilidad de muerte en cada edad.

Cálculos de amortización

Si una anualidad es para pagar una deuda P con intereses, el monto adeudado después de n pagos es

${\displaystyle {\frac {R}{i}}-(1+i)^{n}\left({\frac {R}{i}}-P\right).}$

Porque el esquema equivale a pedir prestado el monto para crear una perpetuidad con cupón , y poner ese monto prestado en el banco para que crezca con intereses . ${\displaystyle {\frac {R}{i}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\frac {R}{i}}-P}$ ${\displaystyle i}$

Además, esto puede considerarse como el valor presente de los pagos restantes.

${\displaystyle R\left[{\frac {1}{i}}-{\frac {(i+1)^{n-N}}{i}}\right]=R\times a_{{\overline {N-n}}|i}.}$

Véase también hipoteca a tipo fijo .

Cálculos de ejemplo

Fórmula para encontrar el pago periódico R , dado A :

${\displaystyle R={\frac {A}{1+\left(1-\left(1+{\frac {j}{m}}\right)\right)^{-{\frac {(n-1)}{j/m}}}}}}$

Ejemplos:

1. Encuentre el pago periódico de una anualidad adeudada de $70 000, pagadera anualmente durante 3 años al 15% compuesto anualmente.
   • R = 70.000/(1+〖(1-(1+((.15)/1) )〗^(-(3-1))/((.15)/1))
   • R = 70.000/2,625708885
   • $26659.46724

Encuentre el factor PVOA como. 1) encuentre r como, (1 ÷ 1.15)= 0.8695652174 2) encuentre r × ( r ⁿ − 1) ÷ ( r − 1) 08695652174 × (−0.3424837676)÷ (−1304347826) = 2.2832251175 70000÷ 2.2832251175= $30658.3873 es el valor correcto

1. Encuentre el pago periódico de una anualidad adeudada de $250,700, pagadera trimestralmente durante 8 años al 5% compuesto trimestralmente.
   • R= 250,700/(1+〖(1-(1+((.05)/4) )〗^(-(32-1))/((.05)/4))
   • R = 250.700/26,5692901
   • $9.435,71

Hallar el pago periódico(R), dado S:

R = S\,/((〖((1+(j/m) )〗^(n+1)-1)/(j/m)-1)

Ejemplos:

1. Encuentre el pago periódico de un valor acumulado de $55 000, pagadero mensualmente durante 3 años al 15% compuesto mensualmente.
   • R=55.000/((〖((1+((.15)/12) )〗^(36+1)-1)/((.15)/12)-1)
   • R = 55.000/45,67944932
   • $1.204,04
2. Encuentre el pago periódico de un valor acumulado de $1,600,000, pagadero anualmente durante 3 años al 9% compuesto anualmente.
   • R=1.600.000/((〖((1+((.09)/1) )〗^(3+1)-1)/((.09)/1)-1)
   • R = 1.600.000/3,573129
   • $447.786,80

Regímenes legales

• Anualidades según la ley estadounidense
• Anualidades según la ley europea
• Anualidades según la ley suiza

Ver también

• Calculadora de amortización
• Hipoteca a tipo fijo
• Renta vitalicia
• Perpetuidad
• Valor temporal del dinero
• rompecabezas de anualidades

Referencias

1. Kellison, Stephen G. (1970). La Teoría del Interés . Homewood, Illinois: Richard D. Irwin, Inc. pág. 45
2. Lasher, William (2008). Gestión financiera práctica . Mason, Ohio: Thomson suroeste. pag. 230.ISBN​ 0-324-42262-8..
3. Jordania, Bradford D.; Ross, Stephen David; Westerfield, Randolph (2000). Fundamentos de las finanzas corporativas . Boston: Irwin/McGraw-Hill. pag. 175.ISBN _ 0-07-231289-0.

Otras fuentes

• Samuel A. Broverman (2010). Matemáticas de la Inversión y el Crédito, 5ª Edición . Serie Académica ACTEX. Publicaciones ACTEX. ISBN 978-1-56698-767-7.
• Stephen Kellison (2008). Teoría del interés, 3ª edición . McGraw-Hill/Irwin. ISBN 978-0-07-338244-9.
• Sprague, Thomas Bond (1878). "Anualidades"  . Enciclopedia Británica . vol. II (9ª ed.). págs. 72–89.