Relación antisimétrica

Relación binaria tal que si A está relacionado con B y es diferente de él, entonces B no está relacionado con A

En matemáticas , una relación binaria en un conjunto es antisimétrica si no hay un par de elementos distintos de los cuales cada uno esté relacionado entre sí. Más formalmente, es antisimétrico precisamente si es para todos o de manera equivalente. La definición de antisimetría no dice nada sobre si realmente es válida o no para alguno . Una relación antisimétrica en un conjunto puede ser reflexiva (es decir, para todos ), irreflexiva (es decir, para no ), o ni reflexiva ni irreflexiva. Una relación es asimétrica si y sólo si es a la vez antisimétrica e irreflexiva. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a,b\in X,}$ $${\displaystyle {\text{if }}\,aRb\,{\text{ with }}\,a\neq b\,{\text{ then }}\,bRa\,{\text{ must not hold}},}$$ $${\displaystyle {\text{if }}\,aRb\,{\text{ and }}\,bRa\,{\text{ then }}\,a=b.}$$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle a\in X}$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle a\in X}$

Ejemplos

La relación de divisibilidad de los números naturales es un ejemplo importante de relación antisimétrica. En este contexto, la antisimetría significa que la única forma en que dos números pueden ser divisibles por el otro es si los dos son, de hecho, el mismo número; de manera equivalente, si y son distintos y es factor de entonces no puede ser factor de. Por ejemplo, 12 es divisible por 4, pero 4 no es divisible por 12. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n.}$

La relación de orden habitual en los números reales es antisimétrica: si para dos números reales y ambas desigualdades son válidas, entonces y debe ser igual. De manera similar, el orden de los subconjuntos de cualquier conjunto dado es antisimétrico: dados dos conjuntos y si cada elemento en también está en y cada elemento en también está en entonces debe contener todos los mismos elementos y, por lo tanto, ser igual: una vida real Un ejemplo de una relación típicamente antisimétrica es "pagar la cuenta del restaurante" (entendido como restringido a una ocasión determinada). Normalmente, algunas personas pagan sus propias facturas, mientras que otras pagan las de sus cónyuges o amigos. Mientras no haya dos personas que paguen las cuentas de la otra, la relación es antisimétrica. ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle y\leq x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle A\subseteq B{\text{ and }}B\subseteq A{\text{ implies }}A=B}$$

Propiedades

Relaciones simétricas y antisimétricas.

Los órdenes parcial y total son antisimétricos por definición. Una relación puede ser tanto simétrica como antisimétrica (en este caso, debe ser correflexiva ), y hay relaciones que no son ni simétricas ni antisimétricas (por ejemplo, la relación de "aprovechamiento" de especies biológicas ).

La antisimetría es diferente de la asimetría : una relación es asimétrica si y sólo si es antisimétrica e irreflexiva .

Ver también

• Relación reflexiva  : relación binaria que relaciona cada elemento consigo mismo.
• Simetría en matemáticas

Referencias

• Weisstein, Eric W. "Relación antisimétrica". MundoMatemático .
• Lipschutz, Seymour ; Marc Lars Lipson (1997). Teoría y Problemas de Matemática Discreta . McGraw-Hill. pag. 33.ISBN​ 0-07-038045-7.
• relación antisimétrica nLab