Antiisomorfismo

Isomorfismo de A al opuesto de B

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un antiisomorfismo (o anti-isomorfismo ) entre conjuntos estructurados A y B es un isomorfismo de A al opuesto de B (o equivalentemente del opuesto de A a B ). ^[1] Si existe un antiisomorfismo entre dos estructuras, se dice que son antiisomórficas.

Intuitivamente, decir que dos estructuras matemáticas son antiisomorfas es decir que son básicamente opuestas entre sí.

El concepto es particularmente útil en un entorno algebraico, como, por ejemplo, cuando se aplica a anillos .

Ejemplo sencillo

Sea A la relación binaria (o grafo dirigido ) que consta de los elementos {1,2,3} y la relación binaria se define de la siguiente manera: ${\displaystyle \rightarrow }$

• ${\displaystyle 1\rightarrow 2,}$
• ${\displaystyle 1\rightarrow 3,}$
• ${\displaystyle 2\rightarrow 1.}$

Sea B el conjunto de relación binaria formado por los elementos { a , b , c } y la relación binaria se define de la siguiente manera: ${\displaystyle \Rightarrow }$

• ${\displaystyle b\Rightarrow a,}$
• ${\displaystyle c\Rightarrow a,}$
• ${\displaystyle a\Rightarrow b.}$

Nótese que el opuesto de B (denotado B ^op ) es el mismo conjunto de elementos con la relación binaria opuesta (es decir, invertir todos los arcos del gráfico dirigido): ${\displaystyle \Leftarrow }$

• ${\displaystyle b\Leftarrow a,}$
• ${\displaystyle c\Leftarrow a,}$
• ${\displaystyle a\Leftarrow b.}$

Si reemplazamos a , b y c por 1, 2 y 3 respectivamente, vemos que cada regla en B ^op es la misma que alguna regla en A . Es decir, podemos definir un isomorfismo de A a B ^op por . es entonces un antiisomorfismo entre A y B . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi (1)=a,\phi (2)=b,\phi (3)=c}$ ${\displaystyle \phi }$

Antiisomorfismos de anillo

Especializando el lenguaje general de la teoría de categorías al tema algebraico de los anillos, tenemos: Sean R y S anillos y f : R → S una biyección . Entonces f es un antiisomorfismo de anillos ^[2] si

${\displaystyle f(x+_{R}y)=f(x)+_{S}f(y)\ \ \ {\text{and}}\ \ \ f(x\cdot _{R}y)=f(y)\cdot _{S}f(x)\ \ \ {\text{for all }}x,y\in R.}$

Si R = S entonces f es un antiautomorfismo de anillo .

Un ejemplo de un antiautomorfismo de anillo lo da el mapeo conjugado de cuaterniones : ^[3]

${\displaystyle x_{0}+x_{1}\mathbf {i} +x_{2}\mathbf {j} +x_{3}\mathbf {k} \ \ \mapsto \ \ x_{0}-x_{1}\mathbf {i} -x_{2}\mathbf {j} -x_{3}\mathbf {k} .}$

Notas

1. Pareigis 1970, pág. 19
2. Jacobson 1948, pág. 16
3. Baer 2005, pág. 96

Referencias

• Baer, ​​Reinhold (2005) [1952], Álgebra lineal y geometría proyectiva , Dover, ISBN 0-486-44565-8
• Jacobson, Nathan (1948), La teoría de los anillos , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1502-4
• Pareigis, Bodo (1970), Categorías y funciones , Academic Press, ISBN 0-12-545150-4