Anomalía excéntrica

Ángulo que define una posición en una órbita

En mecánica orbital , la anomalía excéntrica es un parámetro angular que define la posición de un cuerpo que se mueve a lo largo de una órbita elíptica de Kepler . La anomalía excéntrica es uno de los tres parámetros angulares ("anomalías") que definen una posición a lo largo de una órbita; los otros dos son la anomalía verdadera y la anomalía media .

Representación gráfica

La anomalía excéntrica del punto P es el ángulo E. El centro de la elipse es el punto O y el foco es el punto F.

Consideremos la elipse con ecuación dada por:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

donde a es el semieje mayor y b es el semieje menor .

Para un punto de la elipse, P  =  P ( x ,  y ), que representa la posición de un cuerpo en órbita en una órbita elíptica, la anomalía excéntrica es el ángulo E en la figura. La anomalía excéntrica E es uno de los ángulos de un triángulo rectángulo con un vértice en el centro de la elipse, su lado adyacente sobre el eje mayor , que tiene hipotenusa a (igual al semieje mayor de la elipse), y el lado opuesto (perpendicular al eje mayor y que toca el punto P′ en el círculo auxiliar de radio a ) que pasa por el punto P . La anomalía excéntrica se mide en la misma dirección que la anomalía verdadera, que se muestra en la figura como . La anomalía excéntrica E en términos de estas coordenadas está dada por: ^[1] ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \cos E={\frac {x}{a}},}$

y

${\displaystyle \sin E={\frac {y}{b}}}$

La segunda ecuación se establece utilizando la relación

${\displaystyle \left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1-\cos ^{2}E=\sin ^{2}E}$,

lo que implica que sen E = ± ⁠y/b⁠ . La ecuación sen E = − ⁠y/b⁠ se puede descartar inmediatamente ya que atraviesa la elipse en la dirección incorrecta. También se puede notar que la segunda ecuación puede verse como proveniente de un triángulo similar con su lado opuesto que tiene la misma longitud y que la distancia desde P al eje mayor , y su hipotenusa b igual al semieje menor de la elipse.

Fórmulas

Radio y anomalía excéntrica

La excentricidad e se define como:

${\displaystyle e={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}\ .}$

Del teorema de Pitágoras aplicado al triángulo con r (una distancia FP ) como hipotenusa:

${\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&=b^{2}\sin ^{2}E+(ae-a\cos E)^{2}\\&=a^{2}\left(1-e^{2}\right)\left(1-\cos ^{2}E\right)+a^{2}\left(e^{2}-2e\cos E+\cos ^{2}E\right)\\&=a^{2}-2a^{2}e\cos E+a^{2}e^{2}\cos ^{2}E\\&=a^{2}\left(1-e\cos E\right)^{2}\\\end{aligned}}}$

Por lo tanto, el radio (distancia del foco al punto P ) está relacionado con la anomalía excéntrica mediante la fórmula

${\displaystyle r=a\left(1-e\cos {E}\right)\ .}$

Con este resultado se puede determinar la anomalía excéntrica a partir de la anomalía verdadera como se muestra a continuación.

De la verdadera anomalía

La anomalía verdadera es el ángulo marcado en la figura, ubicado en el foco de la elipse. A veces se representa mediante f o v . La anomalía verdadera y la anomalía excéntrica están relacionadas de la siguiente manera. ^[2] ${\displaystyle \theta }$

Utilizando la fórmula para r anterior, el seno y el coseno de E se encuentran en términos de f  :

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos E&={\frac {\,x\,}{a}}={\frac {\,ae+r\cos f\,}{a}}=e+(1-e\cos E)\cos f\\\Rightarrow \cos E&={\frac {\,e+\cos f\,}{1+e\cos f}}\\\sin E&={\sqrt {\,1-\cos ^{2}E\;}}={\frac {\,{\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f\,}{1+e\cos f}}~.\end{aligned}}}$

Por eso,

${\displaystyle \tan E={\frac {\,\sin E\,}{\cos E}}={\frac {\,{\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f\,}{e+\cos f}}~.}$

donde el cuadrante correcto para E viene dado por los signos del numerador y el denominador, de modo que E se puede encontrar más fácilmente usando una función atan2 .

El ángulo E es por tanto el ángulo adyacente de un triángulo rectángulo con hipotenusa como lado adyacente y lado opuesto. ${\displaystyle \;1+e\cos f\;,}$ ${\displaystyle \;e+\cos f\;,}$ ${\displaystyle \;{\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f\;.}$

También,

${\displaystyle \tan {\frac {\,f\,}{2}}={\sqrt {{\frac {\,1+e\,}{1-e}}\,}}\,\tan {\frac {\,E\,}{2}}}$

Sustituyendo cos  E como se encontró anteriormente en la expresión para r , la distancia radial desde el punto focal hasta el punto P , también se puede encontrar en términos de la anomalía verdadera: ^[2]

${\displaystyle r={\frac {a\left(\,1-e^{2}\,\right)}{\,1+e\cos f\,}}={\frac {p}{\,1+e\cos f\,}}\,}$

dónde

${\displaystyle \,p\equiv a\left(\,1-e^{2}\,\right)}$

se llama "el semi-lato recto" en geometría clásica.

De la anomalía media

La anomalía excéntrica E está relacionada con la anomalía media M mediante la ecuación de Kepler : ^[3]

${\displaystyle M=E-e\sin E}$

Esta ecuación no tiene una solución cerrada para E dado M . Generalmente se resuelve mediante métodos numéricos , por ejemplo, el método de Newton-Raphson . Puede expresarse en una serie de Fourier como

${\displaystyle E=M+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{n}(ne)}{n}}\sin(nM)}$

donde es la función de Bessel del primer tipo. ${\displaystyle J_{n}(x)}$

Véase también

• Vector de excentricidad
• Excentricidad orbital

Notas y referencias

1. George Albert Wentworth (1914). "La elipse §126". Elementos de geometría analítica (2.ª ed.). Ginn & Co. pág. 141.
2. Tsui, James Bao-yen (2000). Fundamentos de los receptores del Sistema de Posicionamiento Global: un enfoque basado en software (3.ª ed.). John Wiley & Sons . p. 48. ISBN 0-471-38154-3.
3. Michel Capderou (2005). "Definición de la anomalía media, ecuación 1.68". Satélites: órbitas y misiones . Springer. pág. 21. ISBN 2-287-21317-1.

Fuentes

• Murray, Carl D.; y Dermott, Stanley F. (1999); Dinámica del sistema solar , Cambridge University Press, Cambridge, GB
• Plummer, Henry CK (1960); Tratado introductorio sobre astronomía dinámica , Dover Publications, Nueva York, NY (reimpresión de la edición de 1918 de Cambridge University Press)