En matemáticas , un anillo booleano R es un anillo para el cual x 2 = x para todo x en R , es decir, un anillo que consta únicamente de elementos idempotentes . [1] [2] [3] Un ejemplo es el anillo de números enteros módulo 2 .
Cada anillo booleano da lugar a un álgebra booleana , con multiplicación de anillos correspondiente a conjunción o encuentro ∧ , y suma de anillos a disyunción exclusiva o diferencia simétrica (no disyunción ∨ , [4] que constituiría un semianillo ). Por el contrario, todo álgebra de Boole da lugar a un anillo de Boole. Los anillos booleanos llevan el nombre del fundador del álgebra booleana, George Boole .
Existen al menos cuatro sistemas de notación diferentes e incompatibles para anillos y álgebras de Boole:
Históricamente, el término "anillo booleano" se ha utilizado para referirse a un "anillo booleano posiblemente sin identidad", y "álgebra booleana" se ha utilizado para referirse a un anillo booleano con identidad. La existencia de la identidad es necesaria para considerar el anillo como un álgebra sobre el campo de dos elementos : de lo contrario no puede haber un homomorfismo de anillo (unital) del campo de dos elementos en el anillo booleano. (Esto es lo mismo que el antiguo uso de los términos "anillo" y "álgebra" en la teoría de la medida . [a] )
Un ejemplo de anillo booleano es el conjunto potencia de cualquier conjunto X , donde la suma en el anillo es una diferencia simétrica y la multiplicación es una intersección . Como otro ejemplo, también podemos considerar el conjunto de todos los subconjuntos finitos o cofinitos de X , nuevamente con diferencia simétrica e intersección como operaciones. De manera más general, con estas operaciones, cualquier campo de conjuntos es un anillo booleano. Según el teorema de representación de Stone, cada anillo booleano es isomorfo a un campo de conjuntos (tratado como un anillo con estas operaciones).
Dado que la operación de unión ∨ en un álgebra booleana a menudo se escribe de forma aditiva, tiene sentido en este contexto denotar la suma de anillos por ⊕ , un símbolo que a menudo se usa para denotar exclusivo o .
Dado un anillo booleano R , para x e y en R podemos definir
Luego, estas operaciones satisfacen todos los axiomas de encuentros, uniones y complementos en un álgebra booleana . Por tanto, cada anillo de Boole se convierte en un álgebra de Boole. De manera similar, todo álgebra de Boole se convierte en un anillo de Boole así:
Si un anillo de Boole se traduce a un álgebra de Boole de esta manera, y luego el álgebra de Boole se traduce a un anillo, el resultado es el anillo original. El resultado análogo se mantiene comenzando con el álgebra de Boole.
Un mapa entre dos anillos booleanos es un homomorfismo de anillo si y sólo si es un homomorfismo de las álgebras booleanas correspondientes. Además, un subconjunto de un anillo booleano es un ideal de anillo (ideal de anillo primo, ideal de anillo máximo) si y sólo si es un ideal de orden (ideal de orden primo, ideal de orden máximo) del álgebra de Boole. El anillo cociente de un anillo booleano módulo un ideal de anillo corresponde al álgebra factorial del álgebra booleana correspondiente módulo el ideal de orden correspondiente.
Todo anillo booleano R satisface x ⊕ x = 0 para todo x en R , porque sabemos
y dado que ( R , ⊕) es un grupo abeliano, podemos restar x ⊕ x de ambos lados de esta ecuación, lo que da x ⊕ x = 0 . Una prueba similar muestra que todo anillo booleano es conmutativo :
La propiedad x ⊕ x = 0 muestra que cualquier anillo booleano es un álgebra asociativa sobre el campo F 2 con dos elementos, precisamente de una manera. [ cita necesaria ] En particular, cualquier anillo booleano finito tiene como cardinalidad una potencia de dos . No todo álgebra asociativa unital sobre F 2 es un anillo booleano: considérese, por ejemplo, el anillo polinómico F 2 [ X ] .
El anillo cociente R / I de cualquier anillo booleano R módulo de cualquier I ideal es nuevamente un anillo booleano. Asimismo, cualquier subanillo de un anillo booleano es un anillo booleano.
Cualquier localización RS −1 de un anillo booleano R por un conjunto S ⊆ R es un anillo booleano, ya que cada elemento de la localización es idempotente.
El anillo máximo de cocientes Q ( R ) (en el sentido de Utumi y Lambek ) de un anillo booleano R es un anillo booleano, ya que todo endomorfismo parcial es idempotente. [6]
Todo ideal primo P en un anillo booleano R es máximo : el anillo cociente R / P es un dominio integral y también un anillo booleano, por lo que es isomorfo al campo F 2 , lo que muestra la maximalidad de P. Dado que los ideales máximos son siempre primos, los ideales primos y los ideales máximos coinciden en anillos booleanos.
Todo ideal finitamente generado de un anillo booleano es principal (de hecho, ( x , y ) = ( x + y + xy )) . Además, como todos los elementos son idempotentes, los anillos booleanos son anillos regulares de von Neumann conmutativos y, por tanto, absolutamente planos, lo que significa que cada módulo sobre ellos es plano .
La unificación en anillos booleanos es decidible , [7] es decir, existen algoritmos para resolver ecuaciones arbitrarias sobre anillos booleanos. Tanto la unificación como la coincidencia en anillos booleanos libres generados finitamente son NP-completos , y ambas son NP-duras en anillos booleanos presentados finitamente . [8] (De hecho, como cualquier problema de unificación f ( X ) = g ( X ) en un anillo booleano se puede reescribir como el problema de coincidencia f ( X ) + g ( X ) = 0 , los problemas son equivalentes.)
La unificación en anillos booleanos es unitaria si todos los símbolos de función no interpretados son nulos y finitos en caso contrario (es decir, si los símbolos de función que no aparecen en la firma de los anillos booleanos son todos constantes, entonces existe un unificador más general y, en caso contrario, el conjunto mínimo completo de unificadores). es finito). [9]