Anillo de kac

Modelo de juguete en física estadística.

En mecánica estadística , el anillo de Kac es un modelo de juguete ^[1] introducido por Mark Kac en 1956 ^{[2] [3]} para explicar cómo la segunda ley de la termodinámica emerge de interacciones simétricas en el tiempo entre moléculas (ver paradoja de reversibilidad ). Aunque artificial, ^[4] el modelo es notable como un ejemplo matemáticamente transparente de granulado grueso ^[5] y se utiliza como una herramienta didáctica ^[6] en termodinámica de no equilibrio .

Formulación

El anillo Kac con y . Los puntos marcados están indicados por puertas rojas colocadas en los bordes que los conectan con su vecino en sentido antihorario. ${\displaystyle N=20}$ ${\displaystyle M=4}$

El anillo Kac está formado por N puntos equidistantes en un círculo. Algunos de estos puntos están marcados con . El número de puntos marcados es M , donde . Cada punto representa un sitio ocupado por una bola, que es negra o blanca . Después de una unidad de tiempo, cada bola se mueve a un punto vecino en sentido contrario a las agujas del reloj. Siempre que una bola sale de un sitio marcado, cambia de color de negro a blanco y viceversa. (Sin embargo, si el punto de partida no está marcado, la bola completa su movimiento sin cambiar de color). ${\displaystyle 0<2M<N}$

Un observador imaginario sólo puede medir cantidades de grano grueso (o macroscópicas ): la relación

${\displaystyle \mu ={\frac {M}{N}}<0.5}$

y el color general

${\displaystyle \delta ={\frac {W-B}{N}},}$

donde B , W denotan el número total de bolas negras y blancas respectivamente. Sin el conocimiento de la configuración detallada ( microscópica ), cualquier distribución de M marcas se considera igualmente probable. Esta suposición de equiprobabilidad es comparable a Stosszahlansatz , que conduce a la ecuación de Boltzmann . ^[7]

Evolución detallada

Sea el color de una bola en el punto k y el tiempo t con una convención ${\displaystyle \eta _{k}(t)}$

${\displaystyle \eta _{k}={\begin{cases}+1&{\text{ball is white}}\\-1&{\text{ball is black}}\end{cases}}.}$

La dinámica microscópica se puede formular matemáticamente como

${\displaystyle \eta _{k}(t)=\epsilon _{k-1}\eta _{k-1}(t-1),}$

dónde

${\displaystyle \epsilon _{k}={\begin{cases}+1&{\text{unmarked site}}\\-1&{\text{marked site}}\end{cases}}}$

y se toma módulo N . En analogía con el movimiento molecular, el sistema es reversible en el tiempo. De hecho, si las bolas se movieran en el sentido de las agujas del reloj (en lugar de en el sentido contrario) y los puntos marcados cambiaran de color al entrar en ellos (en lugar de salir), el movimiento sería equivalente, excepto que retrocedería en el tiempo. Además, la evolución de es periódica , donde el período es como máximo . (Después de N pasos, cada bola visita todos los M puntos marcados y cambia de color por un factor .) La periodicidad del anillo de Kac es una manifestación de la recurrencia de Poincaré más general . ^[6] ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle \eta _{k}(t)}$ ${\displaystyle 2N}$ ${\displaystyle (-1)^{M}}$

Granulado grueso

Evolución del anillo Kac para y con escala de tiempo logarítmica. La línea azul es el comportamiento medio aproximado dado por el modelo macroscópico, que indica relajación exponencial hasta el equilibrio. La línea naranja es un ejemplo de evolución dado por la descripción microscópica, que presenta recurrencia de Poincaré. El área naranja es un intervalo de confianza del 10% al 90% del cuartil (estimado numéricamente). ${\displaystyle N=1000}$ ${\displaystyle M=20}$

Suponiendo que todas las bolas son inicialmente blancas,

${\displaystyle \eta _{k}(t)=\epsilon _{k-1}\epsilon _{k-2}\cdots \epsilon _{k-t}=(-1)^{X},}$

donde es el número de veces que la pelota saldrá de un punto marcado durante su recorrido. Cuando las ubicaciones marcadas son desconocidas (y todas las posibilidades son igualmente probables), X se convierte en una variable aleatoria. Considerando el límite cuando N tiende al infinito pero t , i y μ permanecen constantes, la variable aleatoria X converge a la distribución binomial , es decir: ^[5] ${\displaystyle X=X(k,t)}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\text{Pr}}(X=i)=\mu ^{i}(1-\mu )^{t-i}{\begin{pmatrix}t\\i\end{pmatrix}},}$

Por lo tanto, el color general después de t pasos será

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{N\to \infty }\langle \delta (t)\rangle &=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{k}\langle \eta _{k}(t)\rangle \\&=\lim _{N\to \infty }\langle \eta _{1}(t)\rangle \\&=\sum _{i=0}^{t}(-1)^{i}\mu ^{i}(1-\mu )^{t-i}{\begin{pmatrix}t\\i\end{pmatrix}}\\&=(1-2\mu )^{t}\end{aligned}}.}$

Dado que el color general, en promedio, convergerá de manera monótona y exponencial al 50% de gris (un estado análogo al equilibrio termodinámico ), se obtiene un resultado idéntico para un anillo que gira en el sentido de las agujas del reloj. En consecuencia, la evolución de grano grueso del anillo Kac es irreversible. ${\displaystyle 0<1-2\mu <1}$

También es posible demostrar que la varianza se acerca a cero: ^[5]

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\text{Var}}(\delta (t))=0.}$

Por lo tanto, cuando N es enorme (del orden de 10 ²³ ), el observador debe ser extremadamente afortunado (o paciente) para detectar cualquier desviación significativa del comportamiento promedio del conjunto.

Véase también

• Modelo de Ehrenfest

Referencias

1. Luczak, Joshua (2017). "Hablemos de modelos de juguetes". Estudios de historia y filosofía de la ciencia, parte B: Estudios de historia y filosofía de la física moderna . 57 : 1–7. Código Bibliográfico : 2017SHPMP..57....1L. doi : 10.1016/j.shpsb.2016.11.002. S2CID  125757671.
2. Kac, Mark (1956). "Algunas observaciones sobre el uso de la probabilidad en la mecánica estadística clásica". Bulletins de l'Académie Royale de Belgique . 42 : 356–361.
3. Thompson, Colin J (1986). "Las contribuciones de Mark Kac a la física matemática". Anales de probabilidad . 14 (4): 1129–1138. doi : 10.1214/aop/1176992357 .
4. Kac, Mark (1959). Probabilidad y temas relacionados en ciencias físicas . American Mathematical Soc.
5. Gottwald y Oliver (2009). "El dilema de Boltzmann: una introducción a la mecánica estadística a través del anillo Kac". SIAM Review . 51 (3): 613–635. Bibcode :2009SIAMR..51..613G. doi :10.1137/070705799.
6. Dorfman, Jay Robert (1999). Introducción al caos en la mecánica estadística del no equilibrio . Cambridge University Press. págs. 34–39.
7. Jebeile, Julie (2020). "El anillo Kac o el arte de hacer idealizaciones". Fundamentos de la física . 50 (10): 1152–1170. Bibcode :2020FoPh...50.1152J. doi : 10.1007/s10701-020-00373-1 . S2CID  225318291.