Teoría bivariante

En matemáticas, Fulton y MacPherson introdujeron una teoría bivariante (Fulton y MacPherson 1981) con el fin de poner una estructura de anillo en el grupo de Chow de una variedad singular , denominándose al anillo resultante anillo de Chow operacional .

En términos técnicos, una teoría bivariante es una mezcla de una teoría de homología y una teoría de cohomología . En general, una teoría de homología es un funtor covariante de la categoría de espacios a la categoría de grupos abelianos , mientras que una teoría de cohomología es un funtor contravariante de la categoría de espacios (agradables) a la categoría de anillos. Una teoría bivariante es un funtor tanto covariante como contravariante; de ​​ahí el nombre “bivariante”.

Definición

A diferencia de una teoría de homología o una teoría de cohomología, una clase bivariante se define para un mapa, no para un espacio.

Sea un mapa. Para tal mapa, podemos considerar el cuadrado de fibra ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X'&\to &Y'\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &Y\end{matrix}}}$

(por ejemplo, una explosión). Intuitivamente, la consideración de todos los cuadrados de fibra como el anterior puede considerarse como una aproximación del mapa . ${\displaystyle f}$

Ahora bien, una clase biracional es una familia de homomorfismos de grupo indexados por los cuadrados de fibra: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle A_{k}Y'\to A_{k-p}X'}$

satisfaciendo ciertas condiciones de compatibilidad.

Anillo Chow en funcionamiento

La pregunta básica era si existe un mapa de ciclos:

${\displaystyle A^{*}(X)\to \operatorname {H} ^{*}(X,\mathbb {Z} ).}$

Si X es suave, existe tal función, ya que es el anillo de Chow habitual de X. (Totaro 2014) ha demostrado que racionalmente no existe tal función con buenas propiedades incluso si X es una variedad lineal, aproximadamente una variedad que admite una descomposición celular. También señala que el anillo de cohomología motívica de Voevodsky es "probablemente más útil" que el anillo de Chow operacional para un esquema singular (§ 8 del loc. cit.). ${\displaystyle A^{*}(X)}$

Referencias

• Totaro, Burt (1 de junio de 2014). "Grupos de Chow, cohomología de Chow y variedades lineales". Foro de Matemáticas, Sigma . 2 : e17. doi : 10.1017/fms.2014.15 .
• Dan Edidin y Matthew Satriano, Hacia una intersección Cohomología de Chow para cocientes GIT
• Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98549-7, Sr.  1644323
• Fulton, William; MacPherson, Robert (1981). Marco categórico para el estudio de espacios singulares. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-2243-2.
• Las dos últimas conferencias de Vakil, Matemáticas 245A Temas de geometría algebraica: Introducción a la teoría de intersecciones en geometría algebraica

Enlaces externos

• nLab- teoría de cohomología bivariante