En la teoría de nudos , un diagrama de nudos o de enlaces es alterno si los cruces se alternan por debajo, por encima, por debajo, por encima, a medida que uno recorre cada componente del enlace. Un enlace es alterno si tiene un diagrama alterno.
Muchos de los nudos con un número de cruces menor que 10 son alternantes. Este hecho y las propiedades útiles de los nudos alternantes, como las conjeturas de Tait , fue lo que permitió a los primeros tabuladores de nudos, como Tait, construir tablas con relativamente pocos errores u omisiones. Los nudos primos no alternantes más simples tienen 8 cruces (y hay tres de ellos: 8 19 , 8 20 , 8 21 ).
Se conjetura que a medida que aumenta el número de cruces, el porcentaje de nudos que se alternan llega a 0 exponencialmente rápido.
Los enlaces alternados acaban teniendo un papel importante en la teoría de nudos y la teoría de 3 variedades , debido a que sus complementos tienen propiedades geométricas y topológicas útiles e interesantes. Esto llevó a Ralph Fox a preguntarse: "¿Qué es un nudo alternado?". Con esto se preguntaba qué propiedades no diagramáticas del complemento del nudo caracterizarían a los nudos alternados. [1]
En noviembre de 2015, Joshua Evan Greene publicó una preimpresión que establecía una caracterización de enlaces alternados en términos de superficies de expansión definidas, es decir, una definición de enlaces alternados (de los cuales los nudos alternados son un caso especial) sin utilizar el concepto de diagrama de enlaces . [2]
En un diagrama alterno se revelan diversos datos geométricos y topológicos. La primacía y la escindibilidad de un enlace se ven fácilmente en el diagrama. El número de cruce de un diagrama alterno reducido es el número de cruce del nudo. Esta última es una de las famosas conjeturas de Tait.
Un diagrama de nudos alternados se corresponde uno a uno con un grafo plano . Cada cruce está asociado a una arista y la mitad de los componentes conectados del complemento del diagrama están asociados a vértices en forma de tablero de ajedrez.
Las conjeturas de Tait son:
Morwen Thistlethwaite , Louis Kauffman y K. Murasugi demostraron las dos primeras conjeturas de Tait en 1987 y Morwen Thistlethwaite y William Menasco demostraron la conjetura de vuelo de Tait en 1991.
Menasco , aplicando el teorema de hiperbolización de Thurston para las variedades de Haken , demostró que cualquier enlace alterno primo no dividido es hiperbólico , es decir, el complemento del enlace tiene una geometría hiperbólica , a menos que el enlace sea un enlace de toro .
Así, el volumen hiperbólico es un invariante de muchos enlaces alternados. Marc Lackenby ha demostrado que el volumen tiene límites lineales superior e inferior en función del número de regiones de torsión de un diagrama alternado reducido.