Agotamiento por conjuntos compactos

En matemáticas , especialmente en topología y análisis generales , un agotamiento por conjuntos compactos ^[1] de un espacio topológico es una secuencia anidada de subconjuntos compactos de (es decir ), tal que está contenida en el interior de , es decir, para cada y . Un espacio que admite un agotamiento por conjuntos compactos se llama agotable por conjuntos compactos . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{1}\subseteq K_{2}\subseteq K_{3}\subseteq \cdots }$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle K_{i+1}}$ ${\displaystyle K_{i}\subseteq {\text{int}}(K_{i+1})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X=\bigcup _{i=1}^{\infty }K_{i}}$

Por ejemplo, considere y la secuencia de bolas cerradas. ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K_{i}=\{x:|x|\leq i\}.}$

Ocasionalmente, algunos autores eliminan el requisito de que esté en el interior de , pero luego la propiedad se vuelve la misma que la de que el espacio sea σ-compacto , es decir, una unión contable de subconjuntos compactos. ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle K_{i+1}}$

Propiedades

Los siguientes son equivalentes para un espacio topológico : ^[2] ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$es agotable por conjuntos compactos.
2. ${\displaystyle X}$es σ-compacto y débilmente compacto localmente .
3. ${\displaystyle X}$es Lindelöf y débilmente compacto localmente.

(donde débilmente compacto localmente significa localmente compacto en el sentido débil de que cada punto tiene una vecindad compacta ).

La propiedad hemicompacta es intermedia entre agotable por conjuntos compactos y σ-compacta. Todo espacio agotable mediante conjuntos compactos es hemicompacto ^[3] y todo espacio hemicompacto es σ-compacto, pero las implicaciones inversas no se cumplen. Por ejemplo, el espacio Arens-Fort y el espacio Appert son hemicompactos, pero no agotables por conjuntos compactos (porque no son débilmente compactos localmente), ^[4] y el conjunto de números racionales con la topología habitual es σ-compacto, pero no hemicompacto. . ^[5] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Todo espacio regular agotable por conjuntos compactos es paracompacto . ^[6]

Notas

1. Lee 2011, pág. 110.
2. "Una pregunta sobre la compacidad local y la compacidad $\sigma$". Intercambio de pilas de matemáticas .
3. "¿El espacio no Hausdorff localmente compacto y $ \ sigma $ -compacto implica hemicompacto?". Intercambio de pilas de matemáticas .
4. "¿Puede un espacio hemicompacto dejar de ser débilmente compacto localmente?". Intercambio de pilas de matemáticas .
5. "¿Un espacio $\sigma$ -compacto pero no hemicompacto?". Intercambio de pilas de matemáticas .
6. "Los espacios localmente compactos y sigma-compactos son paracompactos en nLab". ncatlab.org .

Referencias

• Leon Ehrenpreis , Teoría de distribuciones para espacios localmente compactos , Sociedad Matemática Estadounidense , 1982. ISBN 0-8218-1221-1 . 
• Hans Grauert y Reinhold Remmert , Teoría de los espacios de Stein , Springer Verlag (Clásicos de matemáticas), 2004. ISBN 978-3540003731 . 
• Lee, John M. (2011). Introducción a las variedades topológicas (2ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-1-4419-7939-1.

enlaces externos

• "Agotamiento por conjuntos compactos". PlanetMath .
• "Existencia de agotamiento por conjuntos compactos". Intercambio de pilas de matemáticas .