En matemáticas , el método aditivo de Schwarz , llamado así en honor a Hermann Schwarz , resuelve un problema de valor en el límite para una ecuación diferencial parcial aproximadamente dividiéndola en problemas de valor en el límite en dominios más pequeños y sumando los resultados.
Las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) se utilizan en todas las ciencias para modelar fenómenos. A modo de exposición, presentamos un ejemplo de un problema físico y el problema de valores en la frontera (PVF) que lo acompaña. Incluso si el lector no está familiarizado con la notación, el objetivo es simplemente mostrar cómo se ve un PVF cuando se escribe.
Aquí, el dominio es el cuadrado [0,1] × [0,1].
Este problema en particular se puede resolver exactamente en papel, por lo que no es necesario un ordenador. Sin embargo, se trata de un caso excepcional y la mayoría de los BVP no se pueden resolver con exactitud. La única posibilidad es utilizar un ordenador para encontrar una solución aproximada.
Una forma típica de hacer esto es tomar muestras de f a intervalos regulares en el cuadrado [0,1] × [0,1]. Por ejemplo, podríamos tomar 8 muestras en la dirección x en x = 0,1, 0,2, ..., 0,8 y 0,9, y 8 muestras en la dirección y en coordenadas similares . Tendríamos entonces 64 muestras del cuadrado, en lugares como (0,2, 0,8) y (0,6, 0,6). El objetivo del programa informático sería calcular el valor de f en esos 64 puntos, lo que parece más fácil que encontrar una función abstracta del cuadrado.
Existen algunas dificultades, por ejemplo, no es posible calcular f xx (0,5,0,5) conociendo f en solo 64 puntos del cuadrado. Para superar esto, se utiliza algún tipo de aproximación numérica de las derivadas, véase por ejemplo el método de elementos finitos o diferencias finitas . Ignoramos estas dificultades y nos concentramos en otro aspecto del problema.
Cualquiera que sea el método que elijamos para resolver este problema, necesitaremos resolver un gran sistema de ecuaciones lineales . El lector puede recordar los sistemas de ecuaciones lineales de la escuela secundaria, que se ven así:
Este es un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas ( a y b ). Si resolvemos el BVP anterior de la manera sugerida, necesitaremos resolver un sistema de 64 ecuaciones con 64 incógnitas. Este no es un problema difícil para las computadoras modernas, pero si usamos una mayor cantidad de muestras, incluso las computadoras modernas no pueden resolver el BVP de manera muy eficiente.
Esto nos lleva a los métodos de descomposición de dominios. Si dividimos el dominio [0,1] × [0,1] en dos subdominios [0,0,5] × [0,1] y [0,5,1] × [0,1], cada uno tiene solo la mitad de los puntos de muestra. Por lo tanto, podemos intentar resolver una versión de nuestro problema modelo en cada subdominio, pero esta vez cada subdominio tiene solo 32 puntos de muestra. Finalmente, dadas las soluciones en cada subdominio, podemos intentar reconciliarlas para obtener una solución del problema original en [0,1] × [0,1].
En términos de sistemas lineales, estamos tratando de dividir el sistema de 64 ecuaciones con 64 incógnitas en dos sistemas de 32 ecuaciones con 32 incógnitas. Esto sería una clara ganancia, por la siguiente razón. Mirando de nuevo el sistema (*), vemos que hay 6 piezas importantes de información. Son los coeficientes de a y b (2,5 en la primera línea y 6,−3 en la segunda línea), y el lado derecho (que escribimos como 12,−3). Por otro lado, si tomamos dos "sistemas" de 1 ecuación con 1 incógnita, podría verse así:
Vemos que este sistema tiene sólo 4 piezas importantes de información. Esto significa que a un programa informático le resultará más fácil resolver dos sistemas 1×1 que resolver un único sistema 2×2, porque el par de sistemas 1×1 es más simple que el único sistema 2×2. Aunque los sistemas 64×64 y 32×32 son demasiado grandes para ilustrarlos aquí, podríamos decir por analogía que el sistema 64×64 tiene 4160 piezas de información, mientras que los sistemas 32×32 tienen cada uno 1056, o aproximadamente una cuarta parte del sistema 64×64.
Lamentablemente, por razones técnicas, no suele ser posible dividir nuestra cuadrícula de 64 puntos (un sistema de ecuaciones lineales de 64×64) en dos cuadrículas de 32 puntos (dos sistemas de ecuaciones lineales de 32×32) y obtener una respuesta para el sistema de 64×64. En su lugar, lo que ocurre en realidad es el siguiente algoritmo:
Hay dos formas en las que esto puede ser mejor que resolver el sistema base 64×64. Primero, si el número de repeticiones del algoritmo es pequeño, resolver dos sistemas 32×32 puede ser más eficiente que resolver un sistema 64×64. Segundo, los dos sistemas 32×32 no necesitan ser resueltos en la misma computadora, por lo que este algoritmo puede ejecutarse en paralelo para aprovechar la potencia de varias computadoras.
De hecho, es poco probable que sea eficiente resolver dos sistemas de 32×32 en lugar de un sistema de 64×64 en una sola computadora (sin utilizar paralelismo). Sin embargo, si utilizamos más de dos subdominios, la situación puede cambiar. Por ejemplo, podríamos utilizar cuatro problemas de 16×16 y existe la posibilidad de que resolverlos sea mejor que resolver un solo problema de 64×64, incluso si el algoritmo de descomposición del dominio necesita iterar varias veces.
Aquí asumimos que el lector está familiarizado con las ecuaciones diferenciales parciales.
Resolveremos la ecuación diferencial parcial.
Imponemos acotación al infinito.
Descomponemos el dominio R ² en dos subdominios superpuestos H 1 = (− ∞,1] × R y H 2 = [0,+ ∞) × R . En cada subdominio, resolveremos un BVP de la forma:
donde x 1 = 1 y x 2 = 0 y tomando la acotación en el infinito como la otra condición de contorno. Denotamos la solución u ( j ) del problema anterior por S( f , g ). Nótese que S es bilineal.
El algoritmo de Schwarz procede de la siguiente manera: