En el estudio de los procesos estocásticos , se adapta un proceso estocástico (también denominado proceso no anticipativo o no anticipativo ) si en ese mismo momento se dispone de información sobre el valor del proceso en un momento dado. Una interpretación informal [1] es que X se adapta si y sólo si, para cada realización y cada n , X n se conoce en el momento n . El concepto de proceso adaptado es esencial, por ejemplo, en la definición de la integral de Itō , que sólo tiene sentido si el integrando es un proceso adaptado.
Definición
Dejar
- ser un espacio de probabilidad ;
- ser un conjunto de índices con un orden total (a menudo, es , o ) ;
- ser una filtración del álgebra sigma ;
- ser un espacio mensurable , el espacio de estados ;
- ser un proceso estocástico .
Se dice que el proceso está adaptado a la filtración si la variable aleatoria es una función medible para cada una . [2]
Ejemplos
Considere un proceso estocástico X : [0, T ] × Ω → R , y equipe la línea real R con su álgebra sigma de Borel habitual generada por los conjuntos abiertos .
- Si tomamos la filtración natural F • X , donde F t X es el σ -álgebra generada por las preimágenes X s −1 ( B ) para los subconjuntos B de Borel de R y multiplicado por 0 ≤ s ≤ t , entonces X es automáticamente F • X -adaptado. Intuitivamente, la filtración natural F • X contiene "información total" sobre el comportamiento de X hasta el tiempo t .
- Esto ofrece un ejemplo simple de un proceso no adaptado X : [0, 2] × Ω → R : establezca F t como el σ -álgebra trivial {∅, Ω} para tiempos 0 ≤ t < 1, y F t = F t X para tiempos 1 ≤ t ≤ 2 . Dado que la única forma en que una función puede ser medible con respecto al álgebra σ trivial es ser constante, cualquier proceso X que no sea constante en [0, 1] no podrá adaptarse a F • . La naturaleza no constante de tal proceso "utiliza información" de las σ -álgebras "futuras" más refinadas F t , 1 ≤ t ≤ 2 .
Ver también
Referencias
- ^ Wiliams, David (1979). "II.25". Difusiones, Procesos de Markov y Martingalas: Fundamentos . vol. 1. Wiley. ISBN 0-471-99705-6.
- ^ Øksendal, Bernt (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas . Saltador. pag. 25.ISBN 978-3-540-04758-2.