En geometría , la orientación , actitud , rumbo , dirección o posición angular de un objeto -como una línea , un plano o un cuerpo rígido- es parte de la descripción de cómo se coloca en el espacio que ocupa. [1] Más específicamente, se refiere a la rotación imaginaria que se necesita para mover el objeto desde una ubicación de referencia a su ubicación actual. Es posible que una rotación no sea suficiente para alcanzar la ubicación actual, en cuyo caso puede ser necesario agregar una traslación imaginaria para cambiar la posición del objeto (o posición lineal). La posición y la orientación juntas describen completamente cómo se coloca el objeto en el espacio. Se puede pensar que la rotación y traslación imaginarias mencionadas anteriormente ocurren en cualquier orden, ya que la orientación de un objeto no cambia cuando se traslada y su posición no cambia cuando gira.
El teorema de rotación de Euler muestra que en tres dimensiones se puede alcanzar cualquier orientación con una sola rotación alrededor de un eje fijo . Esto proporciona una forma común de representar la orientación mediante una representación de eje-ángulo . Otros métodos ampliamente utilizados incluyen cuaterniones de rotación , rotores , ángulos de Euler o matrices de rotación . Los usos más especializados incluyen índices de Miller en cristalografía, rumbo y buzamiento en geología y grado en mapas y señales. También se puede utilizar un vector unitario para representar la orientación vectorial normal de un objeto o la dirección relativa entre dos puntos.
Normalmente, la orientación se da con respecto a un sistema de referencia , generalmente especificado mediante un sistema de coordenadas cartesiano . Se dice que dos objetos que comparten la misma dirección son codireccionales (como en las líneas paralelas ). Se dice que dos direcciones son opuestas si son inversas aditivas entre sí, como en un vector unitario arbitrario y su multiplicación por −1. Dos direcciones son obtusas si forman un ángulo obtuso (mayor que un ángulo recto) o, de manera equivalente, si su producto escalar o proyección escalar es negativo.
En general, la posición y orientación en el espacio de un cuerpo rígido se definen como la posición y orientación, con respecto al sistema de referencia principal, de otro sistema de referencia, que está fijo con respecto al cuerpo y, por lo tanto, se traslada y gira con él (el cuerpo del cuerpo). marco de referencia local o sistema de coordenadas local ). Se necesitan al menos tres valores independientes para describir la orientación de este marco local. Otros tres valores describen la posición de un punto en el objeto. Todos los puntos del cuerpo cambian de posición durante una rotación excepto aquellos que se encuentran sobre el eje de rotación. Si el cuerpo rígido tiene simetría rotacional, no todas las orientaciones son distinguibles, excepto observando cómo la orientación evoluciona en el tiempo a partir de una orientación inicial conocida. Por ejemplo, la orientación en el espacio de una línea , un segmento de línea o un vector se puede especificar con solo dos valores, por ejemplo dos cosenos directores . Otro ejemplo es la posición de un punto en la Tierra, a menudo descrita usando la orientación de una línea que lo une con el centro de la Tierra, medida usando los dos ángulos de longitud y latitud . Del mismo modo, la orientación de un plano también se puede describir con dos valores, por ejemplo, especificando la orientación de una línea normal a ese plano, o utilizando los ángulos de rumbo y de inclinación.
En las siguientes secciones se proporcionan más detalles sobre los métodos matemáticos para representar la orientación de cuerpos rígidos y planos en tres dimensiones.
En dos dimensiones la orientación de cualquier objeto (línea, vector o figura plana ) viene dada por un único valor: el ángulo que ha girado. Sólo hay un grado de libertad y un solo punto fijo alrededor del cual se produce la rotación.
Cuando hay d dimensiones, la especificación de una orientación de un objeto que no tiene simetría rotacional requiere d ( d − 1) / 2 valores independientes.
Se han desarrollado varios métodos para describir orientaciones de un cuerpo rígido en tres dimensiones. Se resumen en las siguientes secciones.
El primer intento de representar una orientación se atribuye a Leonhard Euler . Imaginó tres sistemas de referencia que podían rotar uno alrededor del otro, y se dio cuenta de que comenzando con un sistema de referencia fijo y realizando tres rotaciones, podía obtener cualquier otro sistema de referencia en el espacio (usando dos rotaciones para fijar el eje vertical y otra para fijar el eje vertical). fijar los otros dos ejes). Los valores de estas tres rotaciones se denominan ángulos de Euler .
Estos son tres ángulos, también conocidos como guiñada, cabeceo y balanceo, ángulos de navegación y ángulos cardán. Matemáticamente constituyen un conjunto de seis posibilidades dentro de los doce conjuntos posibles de ángulos de Euler, siendo el orden el que mejor se utiliza para describir la orientación de un vehículo como un avión. En ingeniería aeroespacial se les suele denominar ángulos de Euler.
Euler también se dio cuenta de que la composición de dos rotaciones equivale a una sola rotación alrededor de un eje fijo diferente ( teorema de rotación de Euler ). Por tanto, la composición de los tres primeros ángulos tiene que ser igual a una sola rotación, cuyo eje era complicado de calcular hasta que se desarrollaron las matrices.
Basándose en este hecho, introdujo una forma vectorial de describir cualquier rotación, con un vector en el eje de rotación y un módulo igual al valor del ángulo. Por tanto, cualquier orientación puede representarse mediante un vector de rotación (también llamado vector de Euler) que conduce a ella desde el sistema de referencia. Cuando se utiliza para representar una orientación, el vector de rotación se denomina comúnmente vector de orientación o vector de actitud.
Un método similar, llamado representación de eje-ángulo , describe una rotación u orientación utilizando un vector unitario alineado con el eje de rotación y un valor separado para indicar el ángulo (ver figura).
Con la introducción de las matrices, se reescribieron los teoremas de Euler. Las rotaciones se describieron mediante matrices ortogonales denominadas matrices de rotación o matrices de cosenos direccionales. Cuando se utiliza para representar una orientación, una matriz de rotación se denomina comúnmente matriz de orientación o matriz de actitud.
El vector de Euler mencionado anteriormente es el vector propio de una matriz de rotación (una matriz de rotación tiene un valor propio real único ). El producto de dos matrices de rotación es la composición de rotaciones. Por lo tanto, como antes, la orientación se puede dar como la rotación desde el cuadro inicial para lograr el cuadro que queremos describir.
El espacio de configuración de un objeto no simétrico en un espacio n -dimensional es SO( n ) × R n . La orientación se puede visualizar adjuntando una base de vectores tangentes a un objeto. La dirección en la que apunta cada vector determina su orientación.
Otra forma de describir las rotaciones es utilizando cuaterniones de rotación , también llamados versores. Son equivalentes a matrices de rotación y vectores de rotación. Con respecto a los vectores de rotación, se pueden convertir más fácilmente desde y hacia matrices. Cuando se utilizan para representar orientaciones, los cuaterniones de rotación suelen denominarse cuaterniones de orientación o cuaterniones de actitud.
La actitud de un plano reticular es la orientación de la línea normal al plano, [2] y se describe mediante los índices de Miller del plano . En tres espacios, una familia de planos (una serie de planos paralelos) puede denotarse por sus índices de Miller ( hkl ), [3] [4] por lo que la familia de planos tiene una actitud común a todos sus planos constituyentes.
Muchas características observadas en geología son planos o líneas, y su orientación se conoce comúnmente como actitud . Estas actitudes se especifican con dos ángulos.
Para una línea, estos ángulos se llaman tendencia y caída . La tendencia es la dirección de la brújula de la línea y la inmersión es el ángulo descendente que forma con un plano horizontal. [5]
Para un avión, los dos ángulos se llaman rumbo (ángulo) y buzamiento (ángulo) . Una línea de rumbo es la intersección de un plano horizontal con la característica plana observada (y por lo tanto una línea horizontal), y el ángulo de rumbo es el rumbo de esta línea (es decir, en relación con el norte geográfico o desde el norte magnético ). El buzamiento es el ángulo entre un plano horizontal y la característica plana observada como se observa en un tercer plano vertical perpendicular a la línea de rumbo.
La actitud de un cuerpo rígido es su orientación como se describe, por ejemplo, por la orientación de un marco fijo en el cuerpo con respecto a un marco de referencia fijo. La actitud se describe mediante coordenadas de actitud y consta de al menos tres coordenadas. [6] Un esquema para orientar un cuerpo rígido se basa en la rotación de los ejes del cuerpo; rotaciones sucesivas tres veces alrededor de los ejes del sistema de referencia fijo del cuerpo, estableciendo así los ángulos de Euler del cuerpo . [7] [8] Otro se basa en balanceo, cabeceo y guiñada , [9] aunque estos términos también se refieren a desviaciones incrementales de la actitud nominal.
...la actitud de un plano o una línea, es decir, su orientación en el espacio, es fundamental para la descripción de estructuras.
Actitud del cuerpo rígido del ángulo de Euler.
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