Cuatro aceleraciones

En la teoría de la relatividad , la aceleración cuatridimensional es un vector cuatridimensional (un vector en el espacio-tiempo cuatridimensional ) que es análogo a la aceleración clásica (un vector tridimensional, véase aceleración cuatridimensional en la relatividad especial ). La aceleración cuatridimensional tiene aplicaciones en áreas como la aniquilación de antiprotones , la resonancia de partículas extrañas y la radiación de una carga acelerada. ^[1]

Cuatro aceleraciones en coordenadas inerciales

En coordenadas inerciales en relatividad especial , la aceleración cuaternaria se define como la tasa de cambio de la velocidad cuaternaria con respecto al tiempo propio de la partícula a lo largo de su línea de universo . Podemos decir: donde ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} ={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}&=\left(\gamma _{u}{\dot {\gamma }}_{u}c,\,\gamma _{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma _{u}{\dot {\gamma }}_{u}\mathbf {u} \right)\\&=\left(\gamma _{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c}},\,\gamma _{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma _{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\mathbf {u} \right)\\&=\left(\gamma _{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c}},\,\gamma _{u}^{4}\left(\mathbf {a} +{\frac {\mathbf {u} \times \left(\mathbf {u} \times \mathbf {a} \right)}{c^{2}}}\right)\right),\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {u} }{dt}}}$, con las tres aceleraciones y las tres velocidades, y ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$
• ${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{u}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\gamma _{u}^{3}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}},}$y
• ${\displaystyle \gamma _{u}}$es el factor de Lorentz para la velocidad (con ). Un punto sobre una variable indica una derivada con respecto al tiempo de coordenadas en un marco de referencia dado, no el tiempo propio (en otros términos, ). ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle |\mathbf {u} |=u}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\textstyle {\dot {\gamma }}_{u}={\frac {d\gamma _{u}}{dt}}}$

En un marco de referencia inercial que se mueve instantáneamente conjuntamente , y , es decir, en un marco de referencia de este tipo ${\displaystyle \mathbf {u} =0}$ ${\displaystyle \gamma _{u}=1}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{u}=0}$ $${\displaystyle \mathbf {A} =\left(0,\mathbf {a} \right).}$$

Geométricamente, la aceleración cuádruple es un vector de curvatura de una línea de mundo. ^{[2] [3]}

Por lo tanto, la magnitud de la aceleración cuadrática (que es un escalar invariante) es igual a la aceleración propia que una partícula en movimiento "siente" al moverse a lo largo de una línea de universo. Una línea de universo que tiene una aceleración cuadrática constante es un círculo de Minkowski, es decir, una hipérbola (ver movimiento hiperbólico ).

El producto escalar de la cuádruple velocidad de una partícula por su cuádruple aceleración es siempre 0.

Incluso a velocidades relativistas, la cuádruple aceleración está relacionada con la cuádruple fuerza : donde m es la masa invariante de una partícula. $${\displaystyle F^{\mu }=mA^{\mu },}$$

Cuando la fuerza cuaternaria es cero, solo la gravedad afecta la trayectoria de una partícula, y el equivalente cuaternario de la segunda ley de Newton anterior se reduce a la ecuación geodésica . La aceleración cuaternaria de una partícula que ejecuta un movimiento geodésico es cero. Esto corresponde a que la gravedad no es una fuerza. La aceleración cuaternaria es diferente de lo que entendemos por aceleración tal como se define en la física newtoniana, donde la gravedad se trata como una fuerza.

Cuatro aceleraciones en coordenadas no inerciales

En coordenadas no inerciales, que incluyen coordenadas aceleradas en relatividad especial y todas las coordenadas en relatividad general , el cuatro-vector de aceleración está relacionado con el cuatro-velocidad a través de una derivada absoluta con respecto al tiempo propio.

$${\displaystyle A^{\lambda }:={\frac {DU^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }}$$

En coordenadas inerciales los símbolos de Christoffel son todos cero, por lo que esta fórmula es compatible con la fórmula dada anteriormente. ${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }}$

En la relatividad especial, las coordenadas son las de un sistema inercial rectilíneo, por lo que el término de símbolos de Christoffel desaparece, pero a veces, cuando los autores utilizan coordenadas curvas para describir un sistema acelerado, el sistema de referencia no es inercial, seguirán describiendo la física como relativista especial porque la métrica es solo una transformación del sistema de referencia de la métrica del espacio de Minkowski . En ese caso, esta es la expresión que se debe utilizar porque los símbolos de Christoffel ya no son todos cero.

Véase también

• Cuatro vectores
• Cuatro velocidades
• Cuatro momentos
• Cuatro fuerzas
• Cuatro gradientes
• Aceleración adecuada

Referencias

1. Tsamparlis M. (2010). Relatividad especial (edición en línea). Springer Berlin Heidelberg. pág. 185. ISBN 978-3-642-03837-2.
2. Pauli W. (1921). Teoría de la relatividad (edición de Dover de 1981). BG Teubner, Leipzig. pág. 74. ISBN 978-0-486-64152-2.
3. Synge JL; Schild A. (1949). Tensor Calculus (edición Dover de 1978). University of Toronto Press. págs. 149, 153 y 170. ISBN 0-486-63612-7.

• Papapetrou A. (1974). Lecciones sobre relatividad general . D. Reidel Publishing Company. ISBN 90-277-0514-3.
• Rindler, Wolfgang (1991). Introducción a la relatividad especial (2.ª edición) . Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853952-5.

Enlaces externos

• Vector de curvatura en Britannica