Cuatro fuerzas

Análogo cuatridimensional de la fuerza utilizada en las teorías de la relatividad

En la teoría especial de la relatividad , una fuerza de cuatro es un vector de cuatro que reemplaza a la fuerza clásica .

En relatividad especial

La fuerza cuaternaria se define como la tasa de cambio del momento cuaternario de una partícula con respecto al tiempo propio de la partícula . Por lo tanto:

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\mathrm {d} \mathbf {P} \over \mathrm {d} \tau }.}$$

Para una partícula de masa constante e invariante , el cuadrimpulso viene dado por la relación , donde es el cuadrimpulso de velocidad . En analogía con la segunda ley de Newton , también podemos relacionar el cuadrimpulso con el cuadrimpulso de aceleración , , mediante la ecuación: ${\displaystyle m>0}$ ${\displaystyle \mathbf {P} =m\mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma (c,\mathbf {u} )}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

$${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {A} =\left(\gamma {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} \over c},\gamma {\mathbf {f} }\right).}$$

Aquí

$${\displaystyle {\mathbf {f} }={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\left(\gamma m{\mathbf {u} }\right)={\mathrm {d} \mathbf {p} \over \mathrm {d} t}}$$

y

$${\displaystyle {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\left(\gamma mc^{2}\right)={\mathrm {d} E \over \mathrm {d} t}.}$$

donde , y son vectores tridimensionales que describen la velocidad, el momento de la partícula y la fuerza que actúa sobre ella respectivamente; y <\math>E</math> es la energía total de la partícula. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$

Incluyendo interacciones termodinámicas

De las fórmulas de la sección anterior se desprende que el componente temporal de la fuerza cuaternaria es la potencia consumida, , aparte de las correcciones relativistas . Esto sólo es cierto en situaciones puramente mecánicas, cuando los intercambios de calor desaparecen o pueden despreciarse. ${\displaystyle \mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \gamma /c}$

En el caso termomecánico completo, no solo el trabajo , sino también el calor contribuyen al cambio de energía, que es el componente temporal del covector energía-momento . El componente temporal de la fuerza cuatripartita incluye en este caso una tasa de calentamiento , además de la potencia . ^[1] Nótese que el trabajo y el calor no pueden separarse significativamente, ya que ambos tienen inercia. ^[2] Este hecho se extiende también a las fuerzas de contacto, es decir, al tensor de tensión-energía-momento . ^{[3] [2]} ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$

Por lo tanto, en situaciones termomecánicas el componente temporal de la cuadrifuerza no es proporcional a la potencia sino que tiene una expresión más genérica, que se dará caso por caso, que representa el aporte de energía interna a partir de la combinación de trabajo y calor, ^{[2] [1] [4] [3]} y que en el límite newtoniano se convierte en . ${\displaystyle \mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$ ${\displaystyle h+\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$

En relatividad general

En relatividad general, la relación entre cuatro fuerzas y cuatro aceleraciones sigue siendo la misma, pero los elementos de las cuatro fuerzas están relacionados con los elementos de los cuatro momentos a través de una derivada covariante con respecto al tiempo propio.

$${\displaystyle F^{\lambda }:={\frac {DP^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dP^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }P^{\nu }}$$

Además, podemos formular la fuerza utilizando el concepto de transformaciones de coordenadas entre diferentes sistemas de coordenadas. Supongamos que conocemos la expresión correcta para la fuerza en un sistema de coordenadas en el que la partícula está momentáneamente en reposo. Entonces podemos realizar una transformación a otro sistema para obtener la expresión correspondiente de la fuerza. ^[5] En la relatividad especial, la transformación será una transformación de Lorentz entre sistemas de coordenadas que se mueven con una velocidad relativa constante, mientras que en la relatividad general será una transformación de coordenadas generales.

Consideremos la fuerza cuaternaria que actúa sobre una partícula de masa que se encuentra momentáneamente en reposo en un sistema de coordenadas. La fuerza relativista en otro sistema de coordenadas que se mueve con velocidad constante , en relación con el otro, se obtiene utilizando una transformación de Lorentz: ${\displaystyle F^{\mu }=(F^{0},\mathbf {F} )}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f^{\mu }}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} &=\mathbf {F} +(\gamma -1)\mathbf {v} {\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} \over v^{2}},\\f^{0}&=\gamma {\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {F} ={\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {f} .\end{aligned}}}$$

dónde . ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=\mathbf {v} /c}$

En relatividad general , la expresión para la fuerza se convierte en

$${\displaystyle f^{\mu }=m{DU^{\mu } \over d\tau }}$$

con derivada covariante . La ecuación de movimiento se convierte en ${\displaystyle D/d\tau }$

$${\displaystyle m{d^{2}x^{\mu } \over d\tau ^{2}}=f^{\mu }-m\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }{dx^{\nu } \over d\tau }{dx^{\lambda } \over d\tau },}$$

donde es el símbolo de Christoffel . Si no hay fuerza externa, esta se convierte en la ecuación para geodésicas en el espacio-tiempo curvo . El segundo término en la ecuación anterior, desempeña el papel de una fuerza gravitacional. Si es la expresión correcta para la fuerza en un marco en caída libre , podemos usar entonces el principio de equivalencia para escribir la cuatrifuerza en una coordenada arbitraria : ${\displaystyle \Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }}$ ${\displaystyle f_{f}^{\alpha }}$ ${\displaystyle \xi ^{\alpha }}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$

$${\displaystyle f^{\mu }={\partial x^{\mu } \over \partial \xi ^{\alpha }}f_{f}^{\alpha }.}$$

Ejemplos

En relatividad especial, la cuádruple fuerza de Lorentz (cuatro fuerzas que actúan sobre una partícula cargada situada en un campo electromagnético) se puede expresar como: $${\displaystyle f_{\mu }=qF_{\mu \nu }U^{\nu },}$$

dónde

• ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$es el tensor electromagnético ,
• ${\displaystyle U^{\nu }}$es la de cuatro velocidades , y
• ${\displaystyle q}$es la carga eléctrica .

Véase también

• cuatro vectores
• cuatro velocidades
• cuatro aceleraciones
• cuatro momentos
• cuatro gradientes

Referencias

1. Grot, Richard A.; Eringen, A. Cemal (1966). "Mecánica relativista del medio continuo: Parte I – Mecánica y termodinámica". Int. J. Engng Sci . 4 (6): 611–638, 664. doi :10.1016/0020-7225(66)90008-5.
2. Eckart, Carl (1940). "La termodinámica de los procesos irreversibles. III. Teoría relativista del fluido simple". Phys. Rev . 58 (10): 919–924. Código Bibliográfico :1940PhRv...58..919E. doi :10.1103/PhysRev.58.919.
3. CA Truesdell, RA Toupin: Las teorías clásicas de campos (en S. Flügge (ed.): Enciclopedia de Física, Vol. III-1 , Springer 1960). §§152–154 y 288–289.
4. Maugin, Gérard A. (1978). "Sobre las ecuaciones covariantes de la electrodinámica relativista de los continuos. I. Ecuaciones generales". J. Math. Phys . 19 (5): 1198–1205. Bibcode :1978JMP....19.1198M. doi :10.1063/1.523785.
5. Steven, Weinberg (1972). Gravitación y cosmología: principios y aplicaciones de la teoría general de la relatividad . John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-92567-5.

• Rindler, Wolfgang (1991). Introducción a la relatividad especial (2.ª ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853953-3.