Presentación absoluta de un grupo.

En matemáticas , una presentación absoluta es un método para definir un grupo . ^[1]

Recuerde que para definir un grupo mediante una presentación , se especifica un conjunto de generadores para que cada elemento del grupo pueda escribirse como un producto de algunos de estos generadores, y un conjunto de relaciones entre esos generadores. En símbolos: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle G\simeq \langle S\mid R\rangle .}$

Informalmente es el grupo generado por el conjunto tal que para todos . Pero aquí hay una suposición tácita de que es el grupo "más libre", ya que claramente las relaciones se satisfacen en cualquier imagen homomórfica de . Una forma de poder eliminar esta suposición tácita es especificando que ciertas palabras en no deben ser iguales a. Es decir, especificamos un conjunto , llamado conjunto de relaciones , tal que para todos ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\neq 1}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Definicion formal

Para definir una presentación absoluta de un grupo se especifica un conjunto de generadores y conjuntos y de relaciones e irrelaciones entre esos generadores. Entonces decimos que tiene presentación absoluta. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \langle S\mid R,I\rangle .}$

siempre que:

1. ${\displaystyle G}$tiene presentacion ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle .}$
2. Dado cualquier homomorfismo tal que las relaciones se cumplan en , es isomorfo a . ${\displaystyle h:G\rightarrow H}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle h(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle h(G)}$

Una forma más algebraica, pero equivalente, de enunciar la condición 2 es:

2a. Si es un subgrupo normal no trivial de entonces ${\displaystyle N\triangleleft G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle I\cap N\neq \left\{1\right\}.}$

Observación: El concepto de presentación absoluta ha sido fructífero en campos como los grupos algebraicamente cerrados y la topología de Grigorchuk. En la literatura, en un contexto donde se discuten presentaciones absolutas, una presentación (en el sentido habitual de la palabra) a veces se denomina presentación relativa , que es un ejemplo de retrónimo .

Ejemplo

El grupo cíclico de orden 8 tiene la presentación

${\displaystyle \langle a\mid a^{8}=1\rangle .}$

Pero, hasta el isomorfismo hay tres grupos más que "satisfacen" la relación, a saber: ${\displaystyle a^{8}=1,}$

${\displaystyle \langle a\mid a^{4}=1\rangle }$

${\displaystyle \langle a\mid a^{2}=1\rangle }$y

${\displaystyle \langle a\mid a=1\rangle .}$

Sin embargo, ninguno de estos satisface la irrelación . Entonces una presentación absoluta para el grupo cíclico de orden 8 es: ${\displaystyle a^{4}\neq 1}$

${\displaystyle \langle a\mid a^{8}=1,a^{4}\neq 1\rangle .}$

Es parte de la definición de una presentación absoluta que las relaciones no se satisfacen en ninguna imagen homomórfica adecuada del grupo. Por lo tanto:

${\displaystyle \langle a\mid a^{8}=1,a^{2}\neq 1\rangle }$

No es una presentación absoluta para el grupo cíclico de orden 8 porque la irrelación se satisface en el grupo cíclico de orden 4. ${\displaystyle a^{2}\neq 1}$

Fondo

La noción de presentación absoluta surge del estudio de Bernhard Neumann del problema de isomorfismo para grupos algebraicamente cerrados . ^[1]

Una estrategia común para considerar si dos grupos son isomórficos es considerar si una presentación para uno podría transformarse en una presentación para el otro . Sin embargo, los grupos algebraicamente cerrados no se generan de forma finita ni se presentan de forma recursiva , por lo que es imposible comparar sus presentaciones. Neumann consideró la siguiente estrategia alternativa: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

Supongamos que sabemos que un grupo con presentación finita se puede incrustar en el grupo algebraicamente cerrado y luego, dado otro grupo algebraicamente cerrado , podemos preguntar "¿Se puede incrustar en ?" ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=\langle x_{1},x_{2}\mid R\rangle }$ ${\displaystyle G^{*}}$ ${\displaystyle H^{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H^{*}}$

Pronto se hace evidente que una presentación para un grupo no contiene suficiente información para tomar esta decisión, ya que si bien puede haber un homomorfismo , este homomorfismo no tiene por qué ser una incrustación. Lo que se necesita es una especificación que "obligue" a cualquier homomorfismo a preservar esa especificación como una incrustación. Una presentación absoluta hace precisamente esto. ${\displaystyle h:G\rightarrow H^{*}}$ ${\displaystyle G^{*}}$

Referencias

1. B. Neumann, El problema del isomorfismo para grupos algebraicamente cerrados, en: Word Problems, Decision Problems, and the Burnside Problem in Group Theory, Amsterdam-Londres (1973), págs.