En matemáticas , una superficie abeliana es una variedad abeliana bidimensional .
Los toros complejos unidimensionales son simplemente curvas elípticas y todos son algebraicos, pero Riemann descubrió que la mayoría de los toros complejos de dimensión 2 no son algebraicos a través de las relaciones bilineales de Riemann . Esencialmente, estas son condiciones en el espacio de parámetros de matrices de períodos para toros complejos que definen una subvariedad algebraica. Esta subvariedad contiene todos los puntos cuyas matrices de período corresponden a una matriz de período de una variedad abeliana.
Las algebraicas se llaman superficies abelianas y son exactamente las variedades abelianas bidimensionales . La mayor parte de su teoría es un caso especial de la teoría de los tori de dimensiones superiores o variedades abelianas. Encontrar criterios para que un toro complejo de dimensión 2 sea producto de dos curvas elípticas (hasta la isogenia ) fue un tema de estudio popular en el siglo XIX.
Invariantes: Los plurigéneros son todos 1. La superficie es difeomorfa a S 1 × S 1 × S 1 × S 1 por lo que el grupo fundamental es Z 4 .
Ejemplos: producto de dos curvas elípticas. La variedad jacobiana de una curva del género 2.