La constante de Sierpiński

Constante matemática

La constante de Sierpiński es una constante matemática que se suele denotar como K. Una forma de definirla es como el siguiente límite:

${\displaystyle K=\lim _{n\to \infty }\left[\sum _{k=1}^{n}{r_{2}(k) \over k}-\pi \ln n\right]}$

donde r ₂ ( k ) es un número de representaciones de k como una suma de la forma a ²  +  b ² para los enteros a y b .

Se puede dar en forma cerrada como:

${\displaystyle {\begin{aligned}K&=\pi \left(2\ln 2+3\ln \pi +2\gamma -4\ln \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\right)\\&=\pi \ln \left({\frac {4\pi ^{3}e^{2\gamma }}{\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{4}}}\right)\\&=\pi \ln \left({\frac {\pi ^{2}e^{2\gamma }}{2\varpi ^{2}}}\right)\\&=2.584981759579253217065893587383\dots \end{aligned}}}$

donde es la constante lemniscata y es la constante de Euler-Mascheroni . ${\displaystyle \varpi }$ ${\displaystyle \gamma }$

Otra forma de definir/entender la constante de Sierpiński es,

Gráfica de la ecuación dada donde la línea recta representa la constante de Sierpiński

Sea r(n) ^[1] el número de representaciones de  por  cuadrados, entonces la Función Sumativa ^[2] de tiene la expansión Asintótica ^[3] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r_{2}(k)/k}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{r_{2}(k) \over k}=K+\pi \ln n+o\!\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)}$,

¿Dónde  está la constante de Sierpinski? El gráfico anterior muestra ${\displaystyle K=2.5849817596}$

${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}{r_{2}(k) \over k}\right)-\pi \ln n}$,

con el valor  indicado como la línea horizontal sólida. ${\displaystyle K}$

Véase también

• Waclaw Sierpinski

Enlaces externos

• [1]
• http://www.plouffe.fr/simon/constants/sierpinski.txt - Constante de Sierpiński hasta el dígito decimal 2000.
• Weisstein, Eric W. "Constante de Sierpinski". MathWorld .
• Secuencia OEIS A062089 (Expansión decimal de la constante de Sierpiński)
• https://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/s/s276.htm

Referencias

1. "r(n)". archive.lib.msu.edu . Consultado el 30 de noviembre de 2021 .
2. "Función sumatoria". archive.lib.msu.edu . Consultado el 30 de noviembre de 2021 .
3. "Asintótico". archive.lib.msu.edu . Consultado el 30 de noviembre de 2021 .