Desigualdad de Weyl (teoría de números)

En teoría de números , la desigualdad de Weyl , llamada así por Hermann Weyl , establece que si M , N , a y q son números enteros, con a y q coprimos , q  > 0, y f es un polinomio real de grado k cuyo coeficiente principal c satisface

${\displaystyle |c-a/q|\leq tq^{-2},}$

para algún t mayor o igual a 1, entonces para cualquier número real positivo uno tiene ${\displaystyle \scriptstyle \varepsilon }$

${\displaystyle \sum _{x=M}^{M+N}\exp(2\pi if(x))=O\left(N^{1+\varepsilon }\left({t \over q}+{1 \over N}+{t \over N^{k-1}}+{q \over N^{k}}\right)^{2^{1-k}}\right){\text{ as }}N\to \infty .}$

Esta desigualdad sólo será útil cuando

${\displaystyle q<N^{k},}$

de lo contrario, se estima el módulo de la suma exponencial mediante la desigualdad triangular que proporciona un mejor límite. ${\displaystyle \scriptstyle \leq \,N}$

Referencias

• Vinogradov, Ivan Matveevich (1954). El método de las sumas trigonométricas en la teoría de números . Traducido, revisado y anotado por KF Roth y Anne Davenport, Nueva York: Interscience Publishers Inc. X, 180 p.
• Allakov, IA (2002). "Sobre una estimación de Weyl y Vinogradov" . Siberian Mathematical Journal . 43 (1): 1–4. doi :10.1023/A:1013873301435. S2CID  117556877.