Karl Weierstrass

Matemático alemán (1815-1897)

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ( / ˈv aɪ ər ˌ s t r ɑː s , -ˌ ʃ t r ɑː s / ; ^[1] en alemán: Weierstraß [ˈvaɪɐʃtʁaːs] ; ^{[2] 31 de octubre de 1815 - 19} de febrero de 1897) fue un matemático alemán a menudo citado como el « padre del análisis moderno ». A pesar de dejar la universidad sin un título, estudió matemáticas y se formó como maestro de escuela, enseñando finalmente matemáticas , física , botánica y gimnasia . ^[3] Más tarde recibió un doctorado honorario y se convirtió en profesor de matemáticas en Berlín.

Entre muchas otras contribuciones, Weierstrass formalizó la definición de la continuidad de una función y el análisis complejo , demostró el teorema del valor intermedio y el teorema de Bolzano-Weierstrass , y utilizó este último para estudiar las propiedades de funciones continuas en intervalos cerrados y acotados.

Biografía

Weierstrass nació en una familia católica romana en Ostenfelde, un pueblo cerca de Ennigerloh , en la provincia de Westfalia . ^[4]

Weierstrass era hijo de Wilhelm Weierstrass, un funcionario del gobierno, y Theodora Vonderforst, ambos católicos de Renania . Su interés por las matemáticas comenzó cuando era estudiante de secundaria en el Theodorianum de Paderborn . Fue enviado a la Universidad de Bonn después de graduarse para prepararse para un puesto en el gobierno. Debido a que sus estudios iban a ser en los campos del derecho, la economía y las finanzas, inmediatamente estuvo en conflicto con sus esperanzas de estudiar matemáticas. Resolvió el conflicto prestando poca atención a su plan de estudios planeado, pero continuando con el estudio privado de matemáticas. El resultado fue que dejó la universidad sin un título. Luego estudió matemáticas en la Academia de Münster (que ya era famosa por las matemáticas) y su padre pudo obtener una plaza para él en una escuela de formación de maestros en Münster . Más tarde se certificó como maestro en esa ciudad. Durante este período de estudio, Weierstrass asistió a las conferencias de Christoph Gudermann y se interesó en las funciones elípticas .

En 1843 enseñó en la Deutsch Krone en Prusia Occidental y desde 1848 en el Lyceum Hosianum de Braunsberg . ^[5] Además de matemáticas, también enseñó física, botánica y gimnasia. ^[4]

Weierstrass pudo haber tenido un hijo ilegítimo llamado Franz con la viuda de su amigo Carl Wilhelm Borchardt . ^[6]

Después de 1850, Weierstrass sufrió un largo período de enfermedad, pero pudo publicar artículos matemáticos que le dieron fama y distinción. La Universidad de Königsberg le confirió un doctorado honorario el 31 de marzo de 1854. En 1856 ocupó una cátedra en el Gewerbeinstitut de Berlín (un instituto para formar trabajadores técnicos que más tarde se fusionaría con la Bauakademie para formar la Technische Hochschule de Charlottenburg; hoy Technische Universität Berlin ). En 1864 se convirtió en profesor de la Friedrich-Wilhelms-Universität Berlin, que más tarde se convirtió en la Humboldt Universität zu Berlin .

En 1870, a la edad de cincuenta y cinco años, Weierstrass conoció a Sofia Kovalevsky , a quien enseñó en forma privada después de no lograr su admisión en la universidad. Tuvieron una relación intelectual y personal fructífera que "trascendió con creces la relación habitual entre profesor y alumno". Weierstrass fue su mentor durante cuatro años y la consideró su mejor alumna, ayudándola a obtener un doctorado en la Universidad de Heidelberg sin necesidad de una defensa oral de tesis. Estuvo inmóvil durante los últimos tres años de su vida y murió en Berlín de neumonía . ^[7]

Desde 1870 hasta su muerte en 1891, Kovalevsky mantuvo correspondencia con Weierstrass. Al enterarse de su muerte, quemó sus cartas. Se han conservado alrededor de 150 de sus cartas a ella. El profesor Reinhard Bölling  [de] descubrió el borrador de la carta que ella le escribió a Weierstrass cuando llegó a Estocolmo en 1883 tras su nombramiento como profesora privada en la Universidad de Estocolmo . ^[8]

Contribuciones matemáticas

Solidez del cálculo

Weierstrass estaba interesado en la solidez del cálculo y en esa época existían definiciones algo ambiguas de los fundamentos del cálculo, de modo que no era posible demostrar teoremas importantes con el suficiente rigor. Aunque Bolzano había desarrollado una definición razonablemente rigurosa de límite ya en 1817 (y posiblemente incluso antes), su trabajo permaneció desconocido para la mayor parte de la comunidad matemática hasta años después y muchos matemáticos sólo tenían definiciones vagas de límites y continuidad de funciones.

La idea básica detrás de las demostraciones delta-épsilon se encuentra, posiblemente, por primera vez en los trabajos de Cauchy en la década de 1820. ^{[9] [10]} Cauchy no distinguió claramente entre continuidad y continuidad uniforme en un intervalo. En particular, en su Cours d'analyse de 1821, Cauchy argumentó que el límite (puntual) de funciones continuas (puntuales) era en sí mismo (puntual) continuo, una afirmación que es falsa en general. La afirmación correcta es más bien que el límite uniforme de funciones continuas es continuo (además, el límite uniforme de funciones uniformemente continuas es uniformemente continuo). Esto requirió el concepto de convergencia uniforme , que fue observado por primera vez por el asesor de Weierstrass, Christoph Gudermann , en un artículo de 1838, donde Gudermann señaló el fenómeno pero no lo definió ni lo explicó en detalle. Weierstrass vio la importancia del concepto y lo formalizó y lo aplicó ampliamente en los fundamentos del cálculo.

La definición formal de continuidad de una función, tal como la formuló Weierstrass, es la siguiente:

${\displaystyle \displaystyle f(x)}$es continua en si tal que para cada en el dominio de ,   En términos simples, es continua en un punto si para cada suficientemente cercano a , el valor de la función es muy cercano a , donde la restricción de "suficientemente cercano" típicamente depende de la cercanía deseada de a Usando esta definición, demostró el Teorema del Valor Intermedio. También demostró el Teorema de Bolzano-Weierstrass y lo usó para estudiar las propiedades de funciones continuas en intervalos cerrados y acotados. ${\displaystyle \displaystyle x=x_{0}}$ ${\displaystyle \displaystyle \forall \ \varepsilon >0\ \exists \ \delta >0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \displaystyle \ |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .}$ ${\displaystyle \displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \displaystyle x=x_{0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x_{0})}$ ${\displaystyle f(x_{0})}$ ${\displaystyle f(x).}$

Cálculo de variaciones

Weierstrass también realizó avances en el campo del cálculo de variaciones . Utilizando el aparato de análisis que ayudó a desarrollar, Weierstrass pudo dar una reformulación completa de la teoría que allanó el camino para el estudio moderno del cálculo de variaciones. Entre varios axiomas, Weierstrass estableció una condición necesaria para la existencia de extremos fuertes de problemas variacionales. También ayudó a idear la condición de Weierstrass-Erdmann , que proporciona condiciones suficientes para que un extremal tenga un vértice a lo largo de un extremo dado y permite encontrar una curva minimizadora para una integral dada.

Otros teoremas analíticos

• Teorema de Bolzano-Weierstrass
• Teorema de Stone-Weierstrass
• Teorema de Casorati-Weierstrass
• Función elíptica de Weierstrass
• Función de Weierstrass
• Prueba M de Weierstrass
• Teorema de preparación de Weierstrass
• Teorema de Lindemann-Weierstrass
• Teorema de factorización de Weierstrass
• Parametrización de Weierstrass-Enneper

Estudiantes

• Edmund Husserl

Honores y premios

El cráter lunar Weierstrass y el asteroide 14100 Weierstrass llevan su nombre. Además, en Berlín se encuentra el Instituto Weierstrass de Análisis Aplicado y Estocástica .

Obras seleccionadas

• Zur Theorie der Abelschen Funktionen (1854)
• Teoría de las funciones abelschen (1856)
• Abhandlungen-1 , Matemáticas. Trabajo. Bd. 1. Berlín, 1894
• Abhandlungen-2 , Matemáticas. Trabajo. Bd. 2. Berlín, 1895
• Abhandlungen-3 , Matemáticas. Trabajo. Bd. 3. Berlín, 1903
• Voll. ueber die Theorie der Abelschen Transcendenten , Math. Trabajo. Bd. 4. Berlín, 1902
• Voll. ueber Variationsrechnung , Matemáticas. Trabajo. Bd. 7. Leipzig, 1927

Véase también

• Lista de cosas que llevan el nombre de Karl Weierstrass

Referencias

1. "Weierstrass". Diccionario Webster's Unabridged de Random House .
2. Amigo. Das Aussprachewörterbuch. 7. Auflaje. Bibliographisches Institut, Berlín 2015, ISBN  978-3-411-04067-4
3. Weierstrass, Karl Theodor Wilhelm. (2018). En Helicon (Ed.), The Hutchinson unabridged encyclopedia with atlas and weather guide . [En línea]. Abington: Helicon. Disponible en: http://libezproxy.open.ac.uk/login?url= Enlace consultado el 8 de julio de 2018.
4. O'Connor, JJ; Robertson, EF (octubre de 1998). "Karl Theodor Wilhelm Weierstrass". Facultad de Matemáticas y Estadística, Universidad de St Andrews, Escocia . Consultado el 7 de septiembre de 2014 .
5. Elstrodt, Jürgen (2016), König, Wolfgang; Sprekels, Jürgen (eds.), "Die prägenden Jahre im Leben von Karl Weierstraß", Karl Weierstraß (1815–1897) (en alemán), Wiesbaden: Springer Fachmedien Wiesbaden, págs. 11–51, doi :10.1007/978-3 -658-10619-5_2, ISBN 978-3-658-10618-8, consultado el 12 de agosto de 2023
6. Biermann, Kurt-R.; Schubring, Gert (1996). "Einige Nachträge zur Biographie von Karl Weierstraß. (Alemán) [Algunas posdatas de la biografía de Karl Weierstrass]". Historia de las matemáticas . San Diego, CA: Prensa académica. págs. 65–91.
7. Diccionario de biografía científica . Gillispie, Charles Coulston, American Council of Learned Societies. Nueva York. 1970. p. 223. ISBN 978-0-684-12926-6.OCLC 89822  .{{cite book}}: CS1 maint: falta la ubicación del editor ( enlace ) CS1 maint: otros ( enlace )
8. Kuznetsov, Vadim B., ed. (2002). "La vida de S. V. Kovalevskaya por Roger L. Cooke". The Kowalevski Property (Leeds, 2000) CRM Proceedings & Lecture Notes, vol. 32. American Mathematical Soc. págs. 1–19. ISBN 978-0-8218-7330-4; Véase la página 7 del libro de 2002.{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: postscript ( enlace )texto en línea
9. Grabiner, Judith V. (marzo de 1983), "¿Quién te dio la Epsilon? Cauchy y los orígenes del cálculo riguroso" (PDF) , The American Mathematical Monthly , 90 (3): 185–194, doi :10.2307/2975545, JSTOR  2975545, archivado (PDF) desde el original el 29 de noviembre de 2014
10. Cauchy, AL. (1823), "Septième Leçon – Valeurs de quelques expresiones que se presentan bajo las formas indéterminées ∞ ∞ , ∞ 0 , … {\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }},\infty ^{0},\ ldots } Relation qui existe entre le rapport aux différences finies et la fonction dérivée", Résumé des leçons données à l'école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal, París, p. 44, archivado desde el original el 4 de mayo de 2009 , consultado el 1 de mayo de 2009

Enlaces externos

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Karl Weierstrass", Archivo de Historia de las Matemáticas MacTutor , Universidad de St Andrews
• Las versiones digitalizadas de las publicaciones originales de Weierstrass están disponibles gratuitamente en línea en la biblioteca de la Brandenburgische Akademie der Wissenschaften de Berlín .
• Obras de Karl Weierstrass en el Proyecto Gutenberg
• Obras de Karl Weierstrass o sobre él en Internet Archive