En los casos límite de y entonces se simplifica a y , respectivamente.
Historia y aplicaciones
En espectroscopia, un perfil de Voigt resulta de la convolución de dos mecanismos de ensanchamiento, uno de los cuales produciría por sí solo un perfil gaussiano (normalmente, como resultado del ensanchamiento Doppler ) y el otro produciría un perfil lorentziano. Los perfiles de Voigt son comunes en muchas ramas de la espectroscopia y la difracción . Debido al coste de calcular la función de Faddeeva , el perfil de Voigt a veces se aproxima utilizando un perfil pseudo-Voigt.
Dado que las distribuciones normales y las distribuciones de Cauchy son distribuciones estables , cada una de ellas está cerrada bajo convolución (hasta el cambio de escala) y se deduce que las distribuciones de Voigt también están cerradas bajo convolución.
Función de distribución acumulativa
Utilizando la definición anterior para z , la función de distribución acumulativa (CDF) se puede encontrar de la siguiente manera:
donde es una función hipergeométrica . Para que la función se acerque a cero cuando x se acerca al infinito negativo (como debe hacer la CDF), se debe agregar una constante de integración de 1/2. Esto da para la CDF de Voigt:
El perfil de Voigt no centrado
Si el perfil gaussiano está centrado en y el perfil lorentziano está centrado en , la convolución está centrada en y la función característica es:
La función de densidad de probabilidad simplemente se desplaza respecto del perfil centrado por :
dónde:
Tanto la moda como la mediana se encuentran en .
Derivados
Utilizando la definición anterior para y , las derivadas primera y segunda se pueden expresar en términos de la función de Faddeeva como
y
respectivamente.
A menudo, es necesario ajustar uno o varios perfiles de Voigt y/o sus respectivas derivadas a una señal medida mediante mínimos cuadrados no lineales , por ejemplo, en espectroscopia . A continuación, se pueden utilizar derivadas parciales adicionales para acelerar los cálculos. En lugar de aproximar la matriz jacobiana con respecto a los parámetros , , y con la ayuda de diferencias finitas , se pueden aplicar las expresiones analíticas correspondientes. Con y , estas se dan por:
para el perfil voigt original ;
para la derivada parcial de primer orden ; y
para la derivada parcial de segundo orden . Dado que y desempeñan un papel relativamente similar en el cálculo de , sus respectivas derivadas parciales también parecen bastante similares en términos de su estructura, aunque dan como resultado perfiles de derivadas totalmente diferentes. De hecho, las derivadas parciales con respecto a y muestran más similitud ya que ambas son parámetros de ancho. Todas estas derivadas implican solo operaciones simples (multiplicaciones y sumas) porque son computacionalmente costosas y se obtienen fácilmente al calcular . Tal reutilización de cálculos anteriores permite una derivación con costos mínimos. Este no es el caso de la aproximación de gradiente de diferencias finitas , ya que requiere la evaluación de para cada gradiente respectivamente.
Funciones de Voigt
Las funciones de Voigt [1] U , V y H (a veces llamada función de ensanchamiento de línea ) se definen mediante
La función Tepper-García , llamada así en honor al astrofísico germano-mexicano Thor Tepper-García, es una combinación de una función exponencial y funciones racionales que aproxima la función de ensanchamiento de línea en un amplio rango de sus parámetros. [2]
Se obtiene a partir de una expansión en serie de potencias truncadas de la función de ensanchamiento de línea exacta.
En su forma computacionalmente más eficiente, la función Tepper-García se puede expresar como
donde , , y .
Por lo tanto, la función de ensanchamiento de línea puede considerarse, hasta el primer orden, como una función gaussiana pura más un factor de corrección que depende linealmente de las propiedades microscópicas del medio absorbente (codificado en ); sin embargo, como resultado del truncamiento temprano en la expansión de la serie, el error en la aproximación sigue siendo del orden de , es decir . Esta aproximación tiene una precisión relativa de
en todo el rango de longitudes de onda de , siempre que . Además de su alta precisión, la función es fácil de implementar y computacionalmente rápida. Se utiliza ampliamente en el campo del análisis de líneas de absorción de cuásares. [3]
Hay varias opciones posibles para el parámetro. [4] [5] [6] [7] Una fórmula simple, precisa al 1%, es [8] [9]
donde ahora, es una función de los parámetros de ancho completo a la mitad del máximo (FWHM) de Lorentz ( ), Gaussiano ( ) y total ( ) . El parámetro FWHM total ( ) se describe mediante:
El ancho del perfil Voigt
El ancho total a la mitad del máximo (FWHM) del perfil de Voigt se puede encontrar a partir de los anchos de los anchos gaussianos y lorentzianos asociados. El FWHM del perfil gaussiano es
La FWHM del perfil lorentziano es
Una relación aproximada (con una precisión de aproximadamente el 1,2 %) entre los anchos de los perfiles de Voigt, Gauss y Lorentz es: [10]
Por construcción, esta expresión es exacta para un gaussiano o lorentziano puro.
Una mejor aproximación con una precisión del 0,02 % se da en [11] (originalmente encontrada por Kielkopf [12] ).
Nuevamente, esta expresión es exacta para una ecuación gaussiana o lorentziana pura. En la misma publicación [11] se puede encontrar una expresión ligeramente más precisa (con un margen de error del 0,012 %), pero significativamente más complicada.
Función pseudo-Voigt (Martinelli) asimétrica
La función asimétrica pseudo-Voigt (Martinelli) se asemeja a una distribución normal dividida al tener diferentes anchos en cada lado de la posición del pico. Matemáticamente, esto se expresa como:
donde α es el peso del lorentziano y el ancho es una función dividida ( para α y para α ). En el límite α , la función Martinelli vuelve a una función pseudo Voigt simétrica. La función Martinelli se ha utilizado para modelar la dispersión elástica en instrumentos de dispersión de rayos X inelásticos resonantes . [13]
^ Tepper-García, Thorsten (2006). "Ajuste del perfil de Voigt a las líneas de absorción de cuásares: una aproximación analítica a la función de Voigt-Hjerting". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 369 (4 ) : 2025–2035. arXiv : astro-ph/0602124 . doi : 10.1111/j.1365-2966.2006.10450.x . S2CID 16981310.
^ Lista de citas encontradas en el Sistema de Datos Astrofísicos (ADS) de SAO/NASA: https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2006MNRAS.369.2025T/citations
^ Wertheim GK, Butler MA, West KW, Buchanan DN (1974). "Determinación del contenido gaussiano y lorentziano de formas lineales experimentales". Review of Scientific Instruments . 45 (11): 1369–1371. Bibcode :1974RScI...45.1369W. doi :10.1063/1.1686503.
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^ Ida T, Ando M, Toraya H (2000). "Función pseudo-Voigt extendida para aproximar el perfil de Voigt". Revista de cristalografía aplicada . 33 (6): 1311–1316. doi :10.1107/s0021889800010219. S2CID 55372305.
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^ John F. Kielkopf (1973), "Nueva aproximación a la función de Voigt con aplicaciones al análisis de perfiles de líneas espectrales", Journal of the Optical Society of America , 63 (8): 987, Bibcode :1973JOSA...63..987K, doi :10.1364/JOSA.63.000987
^ Martinelli, L.; Biało, I.; Hong, X.; Oppliger, J.; et al. (2024). "Correlaciones de carga estática y dinámica desacopladas en La2−xSrxCuO4". arXiv : 2406.15062 [cond-mat.str-el].
Enlaces externos
http://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf, biblioteca numérica C para funciones de error complejas, proporciona una función voigt(x, sigma, gamma) con una precisión de aproximadamente 13 a 14 dígitos.
El artículo original es: Voigt, Woldemar, 1912, ''Das Gesetz der Intensitätsverteilung Innerhalb der Linien eines Gasspektrums'', Sitzungsbericht der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, 25, 603 (ver también: http://publikationen.badw.de/de /003395768)